备战2026年浙江中考数学一轮复习 第16讲 锐角三角函数（讲义）

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第16讲 锐角三角函数 ( 课标要求 ) 1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值； 2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题； 3.进一步体会数形结合和函数思想的运用. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的正弦sinα＝ ； ∠α的余弦cosα＝ ； ∠α的正切tanα＝ ； 2．同角三角函数之间的关系： sin2A＋cos2A＝ ，tanA＝． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sinα＝cos ，cosα＝sin ． (2)tanα·tan ＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而 ，锐角的余弦值随着角度的增大而 ． (4)对于锐角A有0＜sinA＜1， ＜cosA＜ ，tanA＞0. 4．特殊的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系： (1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2． (2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边与角的关系：sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． ( 考点精析 ) ■考点一　锐角三角函数的概念► 【例1.1】（2025•景宁县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝4，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【例1.2】（2024•镇海区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2024•江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． ■考点二　特殊的锐角三角函数值► 【例2.1】（2025•汉台区二模）已知，则锐角A的度数是（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【例2.2】（2025•梁溪区三模）cos60°的值是（　　） A． B． C． D． 【例2.3】（2025•齐河县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【例2.4】（2025•宁江区一模）计算：sin60°•tan45°+3cos60°•tan30°． ■考点三　解直角三角形► 【例3.1】（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 【例3.2】（2025•乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 【例3.3】（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，，BD＝DC＝4，∠ADC＝45°． （1）求线段AC的长； （2）求tan∠ABC的值． 【例3.4】（2025•富阳区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝10，． （1）求AD的长； （2）若BD＝2CD，求tanC的值． ■考点四　解直角三角形的应用► 【例4.1】（2025•上城区校级三模）如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 【例4.2】（2024•眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 　　 米． 【例4.3】（2025•宁海县二模）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为53°，楼房顶端A处俯角为37°，BS＝140米． （1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离． （2）求楼房高度AB． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果精确到1米） 【例4.4】（2025•定海区一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm． （1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点A到地面的距离．（精确到0.1cm，，） ( 巩固训练 ) 1．（2025•金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7.5 2．（2025•南陵县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3．（2025•普陀区三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•杭州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（　　） A．60sin51° B．60cos51° C． D．60tan51° 6．（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60° 7．（2025•怀宁县模拟）已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　） A． B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ 8．46．（2025•温州模拟）如图，小温通过“SmartMeasure”软件测得手机镜头点A离地面的高度AB＝x，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角α，顶端D点仰角β，则可得到小旗杆的高度为（　　） A．（sinα+sinβ）x B．（tanα+tanβ）x C． D． 9．（2025•杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　 ． 10．（2025•楚雄州模拟）在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，则cosA＝　　 ． 11．（2025•辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，则树AB的高约为　　 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）． 12．（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 　　 ． 13．（2025•浙江模拟）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和菱形镶嵌而成，A，B，C为多边形的顶点，则cos∠ABC的值为 　　 ． 14．（2025•利辛县一模）计算：2sin60°﹣tan45°+4cos30°． 15．（2025•黄岩区二模）在△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，． （1）求AB的长； （2）若AB﹣BD＝2，求sin∠ADB的值． 16．（2025•绍兴三模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝． （1）求线段AE的长； （2）求sin∠DAE的值． 17．（2025•浙江模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°． （1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 18．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第16讲 锐角三角函数 ( 课标要求 ) 1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值； 2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题； 3.进一步体会数形结合和函数思想的运用. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的正弦sinα＝； ∠α的余弦cosα＝； ∠α的正切tanα＝ 2．同角三角函数之间的关系： sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)． (2)tanα·tan(90°－α)＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小． (4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 4．特殊的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系： (1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2． (2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边与角的关系：sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． ( 考点精析 ) ■考点一　锐角三角函数的概念► 【例1.1】（2025•景宁县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝4，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义解答． 【解析】解：由勾股定理得，AB＝＝＝5， ∴cosB＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 【例1.2】（2024•镇海区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意设BC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝， ∴sinA＝＝， ∴设BC＝4a，AB＝5a， ∴AC＝＝＝3a， ∴tanA＝＝＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例1.3】（2024•江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义得出tanB＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解析】解：∵tanB＝＝， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB＝＝5x， ∴sinA＝＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． ■考点二　特殊的锐角三角函数值► 【例2.1】（2025•汉台区二模）已知，则锐角A的度数是（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值直接求解即可． 【解析】解：∵A为锐角，且sinA＝， ∴∠A＝30°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【例2.2】（2025•梁溪区三模）cos60°的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值求解． 【解析】解：cos60°＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【例2.3】（2025•齐河县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值分别求出∠A，∠B，再根据三角形内角和定理解答即可． 【解析】解：由题意得：cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0， ∴cosA＝，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例2.4】（2025•宁江区一模）计算：sin60°•tan45°+3cos60°•tan30°． 【思路点拨】先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加法即可得． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． ■考点三　解直角三角形► 【例3.1】（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 【思路点拨】依题意画出示意图，根据正切函数的定义得tanA＝＝，再根据AC＝即可得出BC的长． 【解析】解：如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴tanA＝＝， ∵AC＝， ∴BC＝AC＝． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键． 【例3.2】（2025•乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 【思路点拨】（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J．解直角三角形求出AJ可得结论； （2）求出BC，再利用面积法求解． 【解析】解：（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J． 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC•sin60°＝，CJ＝AC•cos60°＝1， 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴AJ＝BJ＝， ∴AB＝AJ＝； （2）过点C作CK⊥AB于点K． 由（1）可知BC＝BJ+CJ＝1+， ∵•AB•CK＝•BC•AJ， ∴CK＝＝， ∴点C到线段AB的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求解． 【例3.3】（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，，BD＝DC＝4，∠ADC＝45°． （1）求线段AC的长； （2）求tan∠ABC的值． 【思路点拨】（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和DE的长，从而求出CE的长，然后在Rt△AEC中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）根据已知可得BE＝7，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解析】解：（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E， 在Rt△ADE中，∠ADC＝45°，AD＝3， ∴AE＝AD•sin45°＝3×＝3，DE＝AD•cos45°＝3×＝3， ∵CD＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣3＝1， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝， ∴线段AC的长为； （2）∵BD＝4，DE＝3， ∴BE＝BD+DE＝4+3＝7， 在Rt△ABE中，AE＝3， ∴tan∠ABE＝＝， ∴tan∠ABC的值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例3.4】（2025•富阳区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝10，． （1）求AD的长； （2）若BD＝2CD，求tanC的值． 【思路点拨】（1）根据垂直定义可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理可得：BD＝8，从而可得CD＝4，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝10，， ∴AD＝AB•sinB＝10×＝6； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8， ∵BD＝2CD， ∴CD＝BD＝4， 在Rt△ACD中，tanC＝＝＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． ■考点四　解直角三角形的应用► 【例4.1】（2025•上城区校级三模）如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 【思路点拨】根据线段中点的定义可得OA＝AB＝120cm，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解析】解：∵O为AB的中点，AB＝240cm， ∴OA＝AB＝120（cm）， 在Rt△AOH中，∠BAH＝α， ∴OH＝OA•sinα＝120•sinα（cm）， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例4.2】（2024•眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 　（4﹣2）　 米． 【思路点拨】过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，解直角三角形即可得到结论． 【解析】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H， 则∠BEH＝∠DCF， 在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BCF＝＝， 设BH＝x米，EH＝2x米， ∴BE＝＝x＝10， ∴x＝2， ∴BH＝2米，EH＝4米， ∵∠EAH＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴AH＝＝4（米）， ∴AB＝AH﹣BH＝（4﹣2）（米）， 答：大树AB的高度为（4﹣2）米． 故答案为：（4﹣2）． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例4.3】（2025•宁海县二模）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为53°，楼房顶端A处俯角为37°，BS＝140米． （1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离． （2）求楼房高度AB． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果精确到1米） 【思路点拨】（1）过S作SF⊥BC于点F，根据题意可得：∠GSB＝53°，∠GSF＝90°，从而可得∠FSB＝37°，然后在Rt△FSB中，利用锐角三角函数的定义求出SF的长，即可解答； （2）过A作AE⊥SF于点E，在Rt△BFS中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而可求出AE的长，然后在Rt△EAS中，利用锐角三角函数的定义求出SE的长，最后进行计算即可解答． 【解析】解：（1）如图：过S作SF⊥BC于点F， 由题意得：∠GSB＝53°，∠GSF＝90°， ∴∠FSB＝∠GSF﹣∠GSB＝37°， ， ∴SF＝BS•cos∠FSB≈140×0.8＝112（米）， ∴无人机距离地面约为112米； （2）过A作AE⊥SF于点E， 在Rt△BFS中，sin∠BSF＝， ∴BF＝BS•sin∠FSB≈140×0.6＝84（米）， 由题意可知四边形AEFB为矩形， ∴AE＝BF＝84米， ， ∴SE＝AE•tan∠SAE＝84×0.75＝63（米）， ∴EF＝SF﹣SE＝112﹣63＝49（米）， ∴AB＝EF＝49米， 即楼房高约为49米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的 应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例4.4】（2025•定海区一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm． （1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点A到地面的距离．（精确到0.1cm，，） 【思路点拨】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，由含30°角的直角三角形的性质得BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm），即可得出答案； （2）过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，求出∠BCF°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝60°，则BF＝CF＝4（cm），AE＝6（cm），BE＝6（cm），求出点A到地面的距离EG的长，即可解决问题． 【解析】解：（1）如图②，过点C作CM⊥AB，垂足为M，则∠BMC＝90°， ∵∠ABC＝60°，BC＝8cm， ∴∠BCM＝30°， ∴BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm）， ∴DM＝CM+CD＝（4+4）cm， 即点A到地面的距离为（4+4）cm； （2）如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F， ∵∠BCD＝135°，∠ABC＝105°， ∴∠BCF＝135°﹣90°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝105°﹣45°＝60°， ∴BF＝CF＝BC＝4（cm），AE＝AB×sin∠ABF＝12×＝6（cm），BE＝AB＝6（cm）， ∴点A到地面的距离为EG＝BF+FG﹣BE＝4+4﹣6＝（4cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7.5 【思路点拨】根据正弦函数的定义即可直接求解． 【解析】解：∵sinA＝＝， 设BC＝4x，AB＝5x， ∴AC＝3x， ∴3x＝6， 解得x＝2， ∴AB＝10． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 2．（2025•南陵县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解析】解：由条件可知， 设BC＝4x，AB＝5x， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键． 3．（2025•普陀区三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴cosA＝sinB＝， 故选：B． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 4．（2025•衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，在Rt△ABM中结合正切的定义即可解决问题． 【解析】解：如图所示， 令小正方形的边长为a， 在Rt△ABM中， tanB＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 5．（2025•杭州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（　　） A．60sin51° B．60cos51° C． D．60tan51° 【思路点拨】过点A作AD⊥BC，构造Rt△ADB，则AD的长度就是点A到BC的距离，利用求出AD的长即可． 【解析】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB＝90°， ∵∠B＝51°，AB＝60， ∴， ∴AD＝60sin51°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 6．（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60° 【思路点拨】根据正方形网格中小正方形的边长为1得AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF和Rt△BHE中，由正切函数定义得tan∠DAC＝tan∠EBA＝≠，然后再根据∠DAC和∠EBA都是锐角得∠DAC＝∠EBA≠30°，由此即可得出答案． 【解析】解：如图所示： ∵正方形网格中小正方形的边长为1， ∴AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°， 在Rt△ADF中，tan∠DAC＝＝＝≠， 在Rt△BHE中，tan∠EBA＝＝≠， ∴tan∠DAC＝tan∠EBA， 又∵∠DAC和∠EBA都是锐角， ∴∠DAC＝∠EBA≠30°， ∴∠DAC+∠EBA≠60°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特征和三角函数的定义是解决问题的关键． 7．（2025•怀宁县模拟）已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　） A． B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ 【思路点拨】AB．根据锐角的余弦函数和正切函数的增减性判断即可； C．通过比较与1的大小判断即可； D．通过比较与1的大小判断即可． 【解析】解：∵0°＜0＜45° ∴sinθ随θ的增大而增大， 0＜cosθ＜， ∴A不正确，不符合题意； ∵tanθ随θ的增大而增大， ∴0＜tanθ＜1， ∴B不正确，不符合题意； ∵＝tanθ，0＜tanθ＜1， ∴0＜＜1， ∴sinθ＜cosθ， ∴C不正确，不符合题意； ∵＝cosθ， ∵＜cosθ＜1， ∴＜＜1， ∴sinθ＜tanθ， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性等，掌握锐角三角函数的增减性是本题的关键． 8．（2025•温州模拟）如图，小温通过“SmartMeasure”软件测得手机镜头点A离地面的高度AB＝x，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角α，顶端D点仰角β，则可得到小旗杆的高度为（　　） A．（sinα+sinβ）x B．（tanα+tanβ）x C． D． 【思路点拨】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝x，AE＝CB，AE∥BC，从而可得∠EAC＝∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解析】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AB＝CE＝x，AE＝CB，AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB＝α， 在Rt△ABC中，BC＝＝， ∴AE＝BC＝， 在Rt△AED中，∠DAE＝β， ∴DE＝AE•tanβ＝•tanβ＝， ∴DC＝DE+CE＝x+＝x（1+）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2025•杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　 ． 【思路点拨】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可． 【解析】解：如图所示： ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10， ∴AC＝ ＝ ＝6， ∴sinB＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 10．（2025•楚雄州模拟）在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，则cosA＝　　 ． 【思路点拨】设AB＝5x，AC＝13x，利用cosA＝sinC＝即可求得答案． 【解析】解：如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinC＝ 则sinC＝， ， cosA＝sinC＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 11．（2025•辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，则树AB的高约为　7.4　 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）． 【思路点拨】在Rt△ABC中，由AB＝BC×tan∠CAB即可求解． 【解析】解：由题意得AB⊥BC，∠ACB＝51°，BC＝6m， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，即tan51°＝， AB≈6×1.23＝7.4（m）， 故答案为：7.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 12．（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 　10　 ． 【思路点拨】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用面积法求解． 【解析】解：过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠C＝90°，cos∠CAD＝＝， ∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝5k， 设点B到AD的距离为h，则有×13k×h＝×26×5k， 解得h＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 13．（2025•浙江模拟）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和菱形镶嵌而成，A，B，C为多边形的顶点，则cos∠ABC的值为 　　 ． 【思路点拨】根据题意，结合图形，根据正六边形的性质，表示出BC和EF长，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再利用三角函数得到结果． 【解析】解：如图，连接EF，交BC于M点，设正六边形的边长为a， ∴BD＝DC＝2a， ∴BC＝4a， ∵正六边形中，∠ECF＝120°， ∴∠ECM＝60°， ∵在Rt△ECM中，EC＝a，EM＝EC•sin∠ECM， ∴EM＝a•sin60°＝， ∴EF＝2EM＝a， ∴AC＝EF＝a， ∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ∴AB＝＝a， ∴cos∠ABC＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，菱形、正六边形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 14．（2025•利辛县一模）计算：2sin60°﹣tan45°+4cos30°． 【思路点拨】将sin60°＝，tan45°＝1，cos30°＝代入，然后化简合并即可得出答案． 【解析】解：原式＝2×﹣1+4× ＝﹣1+2 ＝3﹣1． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 15．（2025•黄岩区二模）在△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，． （1）求AB的长； （2）若AB﹣BD＝2，求sin∠ADB的值． 【思路点拨】（1）根据∠C的正切及BC的长即可解决问题． （2）先求出BD的长，再进一步求出AD的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中， tanC＝． ∵tanC＝，BC＝8， ∴AB＝． （2）∵AB＝4，AB﹣BD＝2， ∴BD＝2． 在Rt△ABD中， AD＝， ∴sin∠ADB＝． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切及正弦的定义是解题的关键． 16．（2025•绍兴三模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝． （1）求线段AE的长； （2）求sin∠DAE的值． 【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC＝15，然后根据斜边上的中线性质求AE； （2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD＝，则可得到DE＝CE﹣CD＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC＝＝， ∴BC＝×9＝15， ∵点E是斜边BC的中点， ∴AE＝BC＝； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在Rt△ADC中，∵cosC＝＝， ∴CD＝×9＝， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BC＝， ∴DE＝CE﹣CD＝﹣＝， 在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活由于勾股定理、互余关系和三角函数关系． 17．（2025•浙江模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°． （1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【思路点拨】（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，根据垂直定义可得∠AGO＝90°，再根据题意可得：AC∥OD，从而可得∠DOG＝∠AGO＝90°，进而可得∠AOG＝30°，然后根据线段的中点定义可得OA＝4米，从而在Rt△AOG中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设OG交A1C1于点H，根据题意可得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，从而可得∠A1＝37°，然后在RtΔOA1H中，利用锐角三角函数的定义求出A1H的长，最后进行计算即可解答． 【解析】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G， ∴∠AGO＝90°， 由题意得：AC∥OD， ∴∠DOG＝∠AGO＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， ∵O为AB的中点， ∴OA＝AB＝4（米）， 在Rt△AOG中， ∴AG＝AO＝2（米），OG＝AG＝2≈3.5（米）， ∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为3.5米； （2）设OG交A1C1于点H， 由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝4米， ∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°， 在RtΔOA1H中，A1H＝OA1•cos37°＝4×0.8≈3.2（米）， ∵AG＝2米， ∴A1H﹣AG＝3.2﹣2＝1.2（米）， ∴点A上升的高度约为1.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 【思路点拨】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出，建立方程，即可求解； （2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解析】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×＝5， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，EC＝， ∴， 解得：x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $