专题03一元二次方程和它的解同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

专题03 一元二次方程和它的解同步培优讲义 【题型1 一元二次方程的定义】 2 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 3 【题型3 判断是否是一元二次方程】 5 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 7 【题型5 一元二次方程的解的估算】 8 【题型6 化成一元二次方程的一般式】 10 【解答题5道】 12 一、一元二次方程的定义 1. 严格定义 只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是2（次），且等式两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2. 定义核心三要素（缺一不可，高频考点） ① 只含一个未知数：方程中只有一个字母代表未知数（如x、y），不能有两个及以上不同未知数（如不是一元二次方程）； ② 未知数的最高次数是2：方程中未知数的最高次项的次数为2，且最高次项的系数不能为0（若系数为0，最高次数会降低，不再是二次方程）； ③ 等式两边都是整式：分母中不能含有未知数，根号下不能含有未知数（如、都不是一元二次方程）。 二、一元二次方程的一般形式 1. 一般形式（标准形式） （其中a、b、c为常数，且）。 2. 各部分名称（重点区分） ① ：二次项，其中a叫做二次项系数，必须满足（这是一元二次方程的核心前提，若a=0，方程就不是二次方程）； ② ：一次项，其中b叫做一次项系数，b可以为0（当b=0时，方程变为，仍是一元二次方程）； ③ c：常数项，c可以为0（当c=0时，方程变为，仍是一元二次方程）。 3. 易错提醒（高频易错点） ① 一般形式必须将所有项移到等式左边，右边化为0，且二次项系数a不能为0； ② 移项时要注意符号变化，如方程，化为一般形式是（移项时3x变-3x，-1变+1）； ③ 二次项系数、一次项系数是“连同符号”的，如方程，一次项系数是-5，不是5；方程，二次项系数是-2，不是2。 三、一元二次方程的解（根） 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 补充说明：一元二次方程的解（根）可以有两个（相等或不相等），也可以没有实数解（后续会学习）；“解”和“根”的含义一致，可通用。 2. 核心方法：判断一个数是否为方程的根 步骤：① 将这个数代入方程的左边和右边；② 分别计算左边和右边的结果；③ 若左边=右边，则这个数是方程的根；若左边≠右边，则不是方程的根。 【题型1 一元二次方程的定义】 【典例1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练3】．一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 【典例2】．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【跟踪训练1】．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【跟踪训练2】．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【跟踪训练3】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【题型3 判断是否是一元二次方程】 【典例3】．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【跟踪训练1】．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【跟踪训练3】．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 【典例4】．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【跟踪训练1】．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【跟踪训练2】．若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【跟踪训练3】．若关于的一元二次方程有一个根为1，则_____． 【题型5 一元二次方程的解的估算】 【典例5】．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【跟踪训练1】．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 化成一元二次方程的一般式】 【典例6】．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【跟踪训练1】．一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．用求根公式解一元二次方程时，其中a，b，c的值分别是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【解答题5道】 1．关于的方程是一元二次方程，求的值． 2．已知是方程的一个根，求的值． 3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 4．阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 5．请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程和它的解同步培优讲义 【题型1 一元二次方程的定义】 2 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 3 【题型3 判断是否是一元二次方程】 5 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 7 【题型5 一元二次方程的解的估算】 8 【题型6 化成一元二次方程的一般式】 10 【解答题5道】 12 一、一元二次方程的定义 1. 严格定义 只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是2（次），且等式两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2. 定义核心三要素（缺一不可，高频考点） ① 只含一个未知数：方程中只有一个字母代表未知数（如x、y），不能有两个及以上不同未知数（如不是一元二次方程）； ② 未知数的最高次数是2：方程中未知数的最高次项的次数为2，且最高次项的系数不能为0（若系数为0，最高次数会降低，不再是二次方程）； ③ 等式两边都是整式：分母中不能含有未知数，根号下不能含有未知数（如、都不是一元二次方程）。 二、一元二次方程的一般形式 1. 一般形式（标准形式） （其中a、b、c为常数，且）。 2. 各部分名称（重点区分） ① ：二次项，其中a叫做二次项系数，必须满足（这是一元二次方程的核心前提，若a=0，方程就不是二次方程）； ② ：一次项，其中b叫做一次项系数，b可以为0（当b=0时，方程变为，仍是一元二次方程）； ③ c：常数项，c可以为0（当c=0时，方程变为，仍是一元二次方程）。 3. 易错提醒（高频易错点） ① 一般形式必须将所有项移到等式左边，右边化为0，且二次项系数a不能为0； ② 移项时要注意符号变化，如方程，化为一般形式是（移项时3x变-3x，-1变+1）； ③ 二次项系数、一次项系数是“连同符号”的，如方程，一次项系数是-5，不是5；方程，二次项系数是-2，不是2。 三、一元二次方程的解（根） 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 补充说明：一元二次方程的解（根）可以有两个（相等或不相等），也可以没有实数解（后续会学习）；“解”和“根”的含义一致，可通用。 2. 核心方法：判断一个数是否为方程的根 步骤：① 将这个数代入方程的左边和右边；② 分别计算左边和右边的结果；③ 若左边=右边，则这个数是方程的根；若左边≠右边，则不是方程的根。 【题型1 一元二次方程的定义】 【典例1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 【跟踪训练1】．下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案. 【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程； B、是一元二次方程； C、含有2个未知数，不是一元二次方程； D、方程化简，得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 【跟踪训练2】．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 【跟踪训练3】．一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题关键． 将方程化为标准形式 ，即可识别一次项系数． 【详解】解：方程 移项，得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 【典例2】．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为标准形式，再计算各项系数之和即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴系数， ∴系数和． 故选D． 【跟踪训练1】．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可． 此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且． 解， 得或， ∴或． ∵， ∴， 因此． 【跟踪训练2】．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【跟踪训练3】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 【题型3 判断是否是一元二次方程】 【典例3】．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 【跟踪训练1】．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【跟踪训练2】．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【跟踪训练3】．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 【典例4】．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 【跟踪训练1】．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 【跟踪训练2】．若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 【跟踪训练3】．若关于的一元二次方程有一个根为1，则_____． 【答案】2026 【分析】利用方程根的定义建立等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程，得， ∴． 【题型5 一元二次方程的解的估算】 【典例5】．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【跟踪训练1】．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 【跟踪训练2】．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 【跟踪训练3】．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解的确定，熟练掌握“通过函数值的变化趋势确定方程解的区间”是解题的关键． 通过对比表格中的取值与1.1的大小关系，确定方程解的区间． 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 【题型6 化成一元二次方程的一般式】 【典例6】．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 【跟踪训练1】．一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 【跟踪训练2】．用求根公式解一元二次方程时，其中a，b，c的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将方程化为的形式，再确定系数 ， ， 的值即可得到答案． 【详解】解：把原方程化为一般式得， ∴， ， ， 故选：A． 【跟踪训练3】．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【解答题5道】 1．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 2．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得，，再两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，且 ∴， ∴． 3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 4．阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 5．请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $