2.1 一元二次方程和它的解（知识梳理+3题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

2.1 一元二次方程和它的解 基础知识梳理 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 注意：由定义求参数 根据“一元二次方程”的定义，方程必须满足： ①是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2； ④二次项系数 。 2. 一元二次方程的一般形式 ：二次项系数，（这是判断一元二次方程的关键）。 ：一次项系数。 ：常数项。 注意：化一元二次方程的一般式的步骤： ①去分母（若有分母）； ②去括号； ③移项（把所有项移到左边）； ④合并同类项； ⑤按 、、常数项的顺序排列，写成 的形式。 3. 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 注意：判断是否为方程的解 将未知数的值代入方程，若左边 = 右边，则该值是方程的解；否则不是。 典例精讲 典例1：一元二次方程的定义 题目：下列方程中，哪些是一元二次方程？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【解析】(1) 只含一个未知数 ，最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程。 (2) 含有两个未知数 、，是二元一次方程，不是一元二次方程。 (3) 分母中含有未知数 ，是分式方程，不是一元二次方程。 (4) 只含一个未知数 ，最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程。 【答案】(1)、(4) 是一元二次方程；(2)、(3) 不是。 变式1下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【解析】A：未说明 ，当 时不是一元二次方程。 B：整理得 ，是一元二次方程。 C：分母中含有未知数，是分式方程。 D：含有两个未知数，是二元二次方程。 【答案】B。 典例2：由一元二次方程的定义求参数 题目：若方程 是关于 的一元二次方程，求 的取值范围。 【解析】要使方程是一元二次方程，二次项系数不能为0： 解得： 【答案】。 变式2若方程 是关于 的一元二次方程，求 的最小整数值。 【解析】。 大于 的最小整数是 。 【答案】 的最小整数值为 。 典例3：判断是否是一元二次方程的解 题目：判断 是否是方程 的解。 【解析】将 代入方程左边： 左边 = 右边，因此 是方程的解。 【答案】是。 变式3 判断 是否是方程 的解。 【解析】将 代入方程左边： 左边 右边，因此 不是方程的解。 【答案】不是。 典例4：由一元二次方程的解求参数 题目：已知 是方程 的一个解，求 的值。 【解析】将 代入方程： 【答案】。 变式4已知 是方程 的一个解，求 的值。 【解析】将 代入方程： 【答案】。 典例5：化成一元二次方程的一般式 题目：将方程 化成一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【解析】去括号： 移项、合并同类项： 一般式：。 二次项系数：；一次项系数：；常数项：。 【答案】一般式为 ，二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 变式5 将方程 化成一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【解析】去括号： 移项、合并同类项： 一般式：。 二次项系数：；一次项系数：；常数项：。 【答案】一般式为 ，二次项系数，一次项系数 ，常数项 。 【核心技巧】 · 判断一元二次方程：紧扣“一个未知数”“最高次数2”“整式方程”“二次项系数不为0”四个要点。 · 由定义求参数：根据“二次项系数不为0”列不等式求解。 · 判断解：代入方程，验证“左边=右边”。 · 化成一般式：严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项”的步骤操作。 【易错提醒】 · 误区1：忽略“二次项系数不为0”的条件。如方程 ，只有当 时才是一元二次方程。 · 误区2：认为“含有 项的方程就是一元二次方程”。如果 项的系数为0，就不是一元二次方程。 · 误区3：在判断解时，只看形式，不代入验证。必须将值代入方程，看左右两边是否相等。 · 误区4：化成一般式时，移项忘记变号，导致符号错误。 题型一．一元二次方程的定义 1．（2025秋•浙江月考）下列哪个方程是关于x的一元二次方程（　　） A．2x﹣1＝0 B．x+y＝5 C．x2﹣3＝0 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），逐一判断每个选项是否符合． 【解答】解：A、∵方程2x﹣1＝0中未知数最高次数为1， ∴不是一元二次方程，不符合题意； B、∵方程x+y＝5含有两个未知数， ∴不是一元二次方程，不符合题意； C、∵方程x2﹣3＝0只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程，符合题意； D、∵方程不是整式方程， ∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 2．（2024春•西湖区校级月考）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3．（2024春•镇海区校级期中）若方程□﹣2＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．﹣2x B．22 C．2x2 D．2y2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可得． 【解答】解：A．﹣2x﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意； B．22﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意； C．2x2﹣2＝x，是一元二次方程，此选项符合题意； D．2y2﹣2＝x，是二元二次方程，此选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025春•拱墅区校级月考）已知方程（m﹣1）x2+3x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由此求得m的取值范围． 【解答】解：依题意得：m﹣1≠0， 解得m≠1． 故选：A． 5．（2025春•永康市校级月考）已知是关于x的一元二次方程，则a等于 　±1　 ． 【答案】±1． 【分析】根据定义得到a2+1＝2，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴a2+1＝2， 解得a＝±1， 故答案为：±1． 6．（2024春•桐乡市月考）m＝　1　 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】1 【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1， 故答案为：1． 7．证明：关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+3ax+1＝0无论a为何值，该方程都是一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可． 【解答】证明：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4≥4， ∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0， ∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程． 题型二．一元二次方程的一般形式 8．（2025春•镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　） A．4 B．0 C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可． 【解答】解：9x2+4x＝3可化为9x2+4x﹣3＝0， 所以常数项为﹣3， 故选：D． 9．（2020秋•咸丰县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 10．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【解答】解：由9x2＝5﹣4x得9x2+4x﹣5＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，﹣5， 故选：B． 11．（2025春•义乌市期中）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．土1 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的常数项为0、一元二次方程的定义得出a2﹣1＝0且a﹣1≠0，从而求出a的值． 【解答】解：若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的常数项为0， 则a2﹣1＝0， 解得a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：C． 12．（2025春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是﹣3， 故答案为：﹣3． 13．方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　6x2﹣5x﹣11＝0　 ；其中二次项系数是　6　 ． 【答案】6x2﹣5x﹣11＝0；6． 【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可． 【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5， 去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5， 移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0， 合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0． 故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0， 二次项系数为：6． 故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6． 14．写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）　 ． 【答案】x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）． 【分析】由方程有一个根为2，可构造出方程（x﹣1）（x﹣2）＝0，再将其变形为一般形式即可． 【解答】解：构造方案（x﹣1）（x﹣2）＝0， 即x2﹣3x+2＝0． 故答案为：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）． 题型三．一元二次方程的解 15．（2025秋•天台县期末）若x＝1是方程x2+bx﹣1＝0的解，则b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+b﹣1＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+bx﹣1＝0得1+b﹣1＝0， 解得b＝0． 故选：B． 16．（2025秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有一个根是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】将x＝3代入一元二次方程得9﹣6﹣m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝3是方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：A． 17．已知m是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则﹣2m2+2m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】直接把x＝m代入方程中，进行计算即可解答． 【解答】解：因为m为方程x2﹣x﹣4＝0的解， 所以m2﹣m﹣4＝0． 所以m2﹣m＝4， 所以﹣2m2+2m＝﹣2（m2﹣m）＝﹣8． 故选：D． 18．（2025•嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】根据已知易得：m2﹣2m﹣2＝0，从而可得m2﹣2m＝2，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， ∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029， 故选：C． 19．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 20．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可． 【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得 a﹣1+a2﹣a＝0， 解得：a1＝1，a2＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 一元二次方程和它的解 基础知识梳理 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 注意：由定义求参数 根据“一元二次方程”的定义，方程必须满足： ①是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2； ④二次项系数 。 2. 一元二次方程的一般形式 ：二次项系数，（这是判断一元二次方程的关键）。 ：一次项系数。 ：常数项。 注意：化一元二次方程的一般式的步骤： ①去分母（若有分母）； ②去括号； ③移项（把所有项移到左边）； ④合并同类项； ⑤按 、、常数项的顺序排列，写成 的形式。 3. 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 注意：判断是否为方程的解 将未知数的值代入方程，若左边 = 右边，则该值是方程的解；否则不是。 典例精讲 典例1：一元二次方程的定义 题目：下列方程中，哪些是一元二次方程？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 变式1下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 典例2：由一元二次方程的定义求参数 题目：若方程 是关于 的一元二次方程，求 的取值范围。 变式2若方程 是关于 的一元二次方程，求 的最小整数值。 典例3：判断是否是一元二次方程的解 题目：判断 是否是方程 的解。 变式3 判断 是否是方程 的解。 典例4：由一元二次方程的解求参数 题目：已知 是方程 的一个解，求 的值。 变式4已知 是方程 的一个解，求 的值。 典例5：化成一元二次方程的一般式 题目：将方程 化成一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 变式5 将方程 化成一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【核心技巧】 · 判断一元二次方程：紧扣“一个未知数”“最高次数2”“整式方程”“二次项系数不为0”四个要点。 · 由定义求参数：根据“二次项系数不为0”列不等式求解。 · 判断解：代入方程，验证“左边=右边”。 · 化成一般式：严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项”的步骤操作。 【易错提醒】 · 误区1：忽略“二次项系数不为0”的条件。如方程 ，只有当 时才是一元二次方程。 · 误区2：认为“含有 项的方程就是一元二次方程”。如果 项的系数为0，就不是一元二次方程。 · 误区3：在判断解时，只看形式，不代入验证。必须将值代入方程，看左右两边是否相等。 · 误区4：化成一般式时，移项忘记变号，导致符号错误。 题型一．一元二次方程的定义 1．（2025秋•浙江月考）下列哪个方程是关于x的一元二次方程（　　） A．2x﹣1＝0 B．x+y＝5 C．x2﹣3＝0 D． 2．（2024春•西湖区校级月考）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 3．（2024春•镇海区校级期中）若方程□﹣2＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．﹣2x B．22 C．2x2 D．2y2 4．（2025春•拱墅区校级月考）已知方程（m﹣1）x2+3x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意数 5．（2025春•永康市校级月考）已知是关于x的一元二次方程，则a等于　 　． 6．（2024春•桐乡市月考）m＝　 　 时，关于x的方程是一元二次方程． 7．证明：关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+3ax+1＝0无论a为何值，该方程都是一元二次方程． 题型二．一元二次方程的一般形式 8．（2025春•镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　） A．4 B．0 C．3 D．﹣3 9．（2020秋•咸丰县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 10．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 11．（2025春•义乌市期中）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+a2﹣1＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．土1 B．1 C．﹣1 D．0 12．（2025春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是　 　 ． 13．方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是　6x2﹣5x﹣11＝0　 ；其中二次项系数是　 　． 14．写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：　 　 ． 题型三．一元二次方程的解 15．（2025秋•天台县期末）若x＝1是方程x2+bx﹣1＝0的解，则b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 16．（2025秋•临海市期末）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有一个根是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 17．已知m是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则﹣2m2+2m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 18．（2025•嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 19．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　 　 ． 20．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $