专题01二次根式的意和性质同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

专题01二次根式的意和性质义同步培优讲义 【题型1 二次根式的识别】 2 【题型2 求二次根式中的参数】 4 【题型3 二次根式有意义的条件】 6 【题型4 求二次根式的值】 7 【题型5 利用二次根式的性质化简】 9 【题型6 最简二次根式的判断】 11 【题型7 化为最简二次根式】 13 【题型8 已知最简二次根式求参数】 14 【解答题6题】 16 一、二次根式的定义 1. 严格定义：形如（其中）的代数式，叫做二次根式。 2. 核心特征（缺一不可）： ① 必须含有“二次根号”（根号左上角无数字时，默认是二次根号，即平方根的算术平方根）； ② 被开方数必须是非负数（正数或0），因为负数没有平方根，无法构成有意义的二次根式； ③ 二次根式的结果（算术平方根）一定是非负数，即（）。 二、二次根式有意义、无意义的条件 核心依据：二次根式有意义的前提是被开方数非负，无意义的前提是被开方数为负。 1. 单一二次根式（最基础题型） 条件：令被开方数，求解未知数的取值范围。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：由，解得。 2. 含分式的二次根式（易错题型） 条件：需同时满足两个要求——① 二次根式有意义（被开方数）；② 分式有意义（分母≠0）。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：根据题意，得，解得且。 3. 含零次幂的二次根式（拓展题型） 条件：需同时满足三个要求——① 二次根式有意义；② 零次幂有意义（底数≠0）；③ 其他代数式有意义（如分式分母≠0）。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：根据题意，得，解得且。 3、 二次根式的非负性 1. 性质：若，则，即二次根式的结果一定是非负数（算术平方根的本质属性）。 2. 常见非负数的组合应用（高频考点）： 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（因为非负数最小为0，只有所有非负数都为0时，和才为0）。 常见非负数类型：① 二次根式（）；② 绝对值；③ 偶次方（n为正整数，如、）。 四、核心性质1：（） 1. 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。 2. 关键要点： ① 前提条件：不可省略！若，无意义，该性质不成立； ② 可逆用：若，则，可将非负数转化为二次根式的平方形式，方便后续化简（如）。 五、核心性质2： 1. 文字表述：一个实数的平方的算术平方根，等于这个实数的绝对值。 2. 关键要点（与性质1的核心区别，易错重点）： ① 取值范围不同：性质2中是全体实数（无论正负，均为非负数，均有意义）；性质1中； ② 化简步骤：先将转化为，再根据的正负性去掉绝对值符号，不能直接写成； ③ 结果特征：无论取何值，的结果始终是非负数（因为绝对值是非负数）。 六、性质延伸：因式的外移与内移 基于性质1和性质2，可实现根号内外因式的移动，核心用于二次根式的初步化简。 1. 因式外移：被开方数中含有能开得尽方的因数/因式时，将其算术平方根移到根号外面。 步骤：① 分解被开方数（找能开尽方的因数/因式）；② 利用（后续会学，提前应用）拆分；③ 移出能开尽方的部分。 2. 因式内移：将根号外面的正因式平方后，移到根号里面（负因式不可内移，否则二次根式无意义）。 步骤：① 将根号外的正因式平方；② 与被开方数相乘，写入根号内。 七、与的异同点（易错难点，对比记忆） 对比维度 取值范围 （否则无意义） 为全体实数 运算结果 （） （分两种情况，始终非负） 意义 非负数的算术平方根的平方 实数的平方的算术平方根 相同点 结果均为非负数；当时，两者结果相等（均等于） 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【跟踪训练1】．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪训练3】．下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式中的参数】 【典例2】．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【跟踪训练1】．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．若实数x，y满足，则的值为__________． 【跟踪训练3】．若二次根式的值为0，则的值为________． 【题型3 二次根式有意义的条件】 【典例3】．要使二次根式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【跟踪训练2】．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【跟踪训练3】．已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【题型4 求二次根式的值】 【典例4】．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【跟踪训练2】．当时，二次根式的值为_________． 【跟踪训练3】．已知实数，满足，求的值． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】．若，，则用含，的代数式表示是_____． 【跟踪训练2】．若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 【题型6 最简二次根式的判断】 【典例6】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【跟踪训练3】．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【题型7 化为最简二次根式】 【典例7】．把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 【跟踪训练3】．下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 已知最简二次根式求参数】 【典例8】．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【跟踪训练1】．若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【跟踪训练2】．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【跟踪训练3】．若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【解答题6题】 1．已知实数x，y满足，求的立方根． 2．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 3.【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 4．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 5．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 6．根据二次根式的定义和性质，解答下列问题． (1)若二次根式在实数范围内有意义，求实数的取值范围； (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式的意和性质义同步培优讲义 【题型1 二次根式的识别】 2 【题型2 求二次根式中的参数】 4 【题型3 二次根式有意义的条件】 6 【题型4 求二次根式的值】 7 【题型5 利用二次根式的性质化简】 9 【题型6 最简二次根式的判断】 11 【题型7 化为最简二次根式】 13 【题型8 已知最简二次根式求参数】 14 【解答题6题】 16 一、二次根式的定义 1. 严格定义：形如（其中）的代数式，叫做二次根式。 2. 核心特征（缺一不可）： ① 必须含有“二次根号”（根号左上角无数字时，默认是二次根号，即平方根的算术平方根）； ② 被开方数必须是非负数（正数或0），因为负数没有平方根，无法构成有意义的二次根式； ③ 二次根式的结果（算术平方根）一定是非负数，即（）。 二、二次根式有意义、无意义的条件 核心依据：二次根式有意义的前提是被开方数非负，无意义的前提是被开方数为负。 1. 单一二次根式（最基础题型） 条件：令被开方数，求解未知数的取值范围。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：由，解得。 2. 含分式的二次根式（易错题型） 条件：需同时满足两个要求——① 二次根式有意义（被开方数）；② 分式有意义（分母≠0）。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：根据题意，得，解得且。 3. 含零次幂的二次根式（拓展题型） 条件：需同时满足三个要求——① 二次根式有意义；② 零次幂有意义（底数≠0）；③ 其他代数式有意义（如分式分母≠0）。 示例：若有意义，求x的取值范围。 解：根据题意，得，解得且。 3、 二次根式的非负性 1. 性质：若，则，即二次根式的结果一定是非负数（算术平方根的本质属性）。 2. 常见非负数的组合应用（高频考点）： 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（因为非负数最小为0，只有所有非负数都为0时，和才为0）。 常见非负数类型：① 二次根式（）；② 绝对值；③ 偶次方（n为正整数，如、）。 四、核心性质1：（） 1. 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。 2. 关键要点： ① 前提条件：不可省略！若，无意义，该性质不成立； ② 可逆用：若，则，可将非负数转化为二次根式的平方形式，方便后续化简（如）。 五、核心性质2： 1. 文字表述：一个实数的平方的算术平方根，等于这个实数的绝对值。 2. 关键要点（与性质1的核心区别，易错重点）： ① 取值范围不同：性质2中是全体实数（无论正负，均为非负数，均有意义）；性质1中； ② 化简步骤：先将转化为，再根据的正负性去掉绝对值符号，不能直接写成； ③ 结果特征：无论取何值，的结果始终是非负数（因为绝对值是非负数）。 六、性质延伸：因式的外移与内移 基于性质1和性质2，可实现根号内外因式的移动，核心用于二次根式的初步化简。 1. 因式外移：被开方数中含有能开得尽方的因数/因式时，将其算术平方根移到根号外面。 步骤：① 分解被开方数（找能开尽方的因数/因式）；② 利用（后续会学，提前应用）拆分；③ 移出能开尽方的部分。 2. 因式内移：将根号外面的正因式平方后，移到根号里面（负因式不可内移，否则二次根式无意义）。 步骤：① 将根号外的正因式平方；② 与被开方数相乘，写入根号内。 七、与的异同点（易错难点，对比记忆） 对比维度 取值范围 （否则无意义） 为全体实数 运算结果 （） （分两种情况，始终非负） 意义 非负数的算术平方根的平方 实数的平方的算术平方根 相同点 结果均为非负数；当时，两者结果相等（均等于） 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，需依据“形如且根指数为2的式子是二次根式”来判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【跟踪训练2】．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 【跟踪训练3】．下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式形如（）的特征，判断各选项被开方数的正负性即可求解． 【详解】解：A、被开方数，属于二次根式； B、被开方数，不满足二次根式的定义，不属于二次根式； C、被开方数，属于二次根式； D、∵，∴，被开方数非负，属于二次根式． 故选：B． 【题型2 求二次根式中的参数】 【典例2】．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 【跟踪训练1】．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【跟踪训练2】．若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【跟踪训练3】．若二次根式的值为0，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 【题型3 二次根式有意义的条件】 【典例3】．要使二次根式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0． ∴对于，可得， 解不等式得． 【跟踪训练1】．若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 【跟踪训练2】．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 【跟踪训练3】．已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【答案】 64 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件确定x的取值，再求出y的值，最后进行幂的运算求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 将代入， 得， ∴． 故答案为：64． 【题型4 求二次根式的值】 【典例4】．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【跟踪训练1】．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【跟踪训练2】．当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【跟踪训练3】．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案. 【详解】∵，∴①错误； ∵（算术平方根为非负数），∴②错误； ∵，∴③正确； ∵，∴④错误； 综上，正确的等式只有1个， 故选：A. 【跟踪训练1】．若，，则用含，的代数式表示是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再用字母表示数即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，将被开方数分解为平方数与非平方数的乘积，再结合已知条件转化即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 【跟踪训练3】．化简： (1)_____； (2)_____； (3)_____； (4)_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，； 【题型6 最简二次根式的判断】 【典例6】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练1】．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 【跟踪训练2】．写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符合条件的二次根式． 【详解】∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数， ∴是最简二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练3】．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 【题型7 化为最简二次根式】 【典例7】．把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 【跟踪训练1】．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 【跟踪训练2】．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，设直角边为未知数，运用勾股定理求出直角边长，再计算三角形的周长． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为， 根据勾股定理可得， ∴， ∴， ∵边长为正数， ∴， ∴该三角形的周长为． 【跟踪训练3】．下列各式化成最简二次根式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的化简，关键是掌握最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，而选项中的中还能继续化简，不是最简二次根式，故A错误； ，选项中的分母含有根号，不符合最简二次根式的要求，故B错误； ，该结果满足最简二次根式的两个条件，故C正确； ，选项中的化简错误，故D错误； 故选：C． 【题型8 已知最简二次根式求参数】 【典例8】．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 【跟踪训练1】．若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练2】．若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 【跟踪训练3】．若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【解答题6题】 1．已知实数x，y满足，求的立方根． 【答案】4 【分析】先利用二次根式有意义的条件，求出x的值，代入后求y的值，然后求出的值，最后求出其立方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵64的立方根为， ∴的立方根为4． 2．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 3.【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． （1）．解： （2）．解：由， 得 解得 ． （3）．解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 5．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 6．根据二次根式的定义和性质，解答下列问题． (1)若二次根式在实数范围内有意义，求实数的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件进行求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件先求出x的范围，再进行化简即可． 【详解】（1）解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $