6.4.3.2正弦定理知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.2正弦定理知识归纳与试题检测(学生版) 【1】教材知识归纳 正弦定理、余弦定理 正弦定理 内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即①_________=②_________ 变形：（1）③_________，④_________，⑤_________；（2）⑥_________ （3）在中，（其中R为外接圆的半径），即⑦_________，⑧_________ 余弦定理 内容：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍．即⑨_________，⑩_________，⑪_________ 变形：⑫_________，⑬_________，⑭_________ 三角形面积公式 （a，b，c边上的高分别为） ⑮_________=⑯_________ （R是的外接圆的半径） ⑰_________（r是内切圆的半径） 三角形解的情况 在中，已知a，b和A时，解的情况如下： （1）A为锐角：当或时，有1解；当时，有2解；当时，三角形无解 （2）A为钝角或直角：当时，有1解；当时，三角形无解 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 2．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 二、多选题 9．（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 11．已知中，内角所对的边分别为，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 三、填空题 12．在中，，是边上一点，且，若，则________． 13．在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 14．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 四、解答题 15．的内角所对的边分别为，若，求角． 16．已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 17．在中，已知且，试判断该三角形的形状． 18．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 19．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3.2正弦定理知识归纳与试题检测(详解版) 【1】教材知识归纳 正弦定理、余弦定理 正弦定理 内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即①_________=②_________ 变形：（1）③_________，④_________，⑤_________；（2）⑥_________ （3）在中，（其中R为外接圆的半径），即⑦_________，⑧_________ 余弦定理 内容：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍．即⑨_________，⑩_________，⑪_________ 变形：⑫_________，⑬_________，⑭_________ 三角形面积公式 （a，b，c边上的高分别为） ⑮_________=⑯_________ （R是的外接圆的半径） ⑰_________（r是内切圆的半径） 三角形解的情况 在中，已知a，b和A时，解的情况如下： （1）A为锐角：当或时，有1解；当时，有2解；当时，三角形无解 （2）A为钝角或直角：当时，有1解；当时，三角形无解 【答案】 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 2．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】正弦定理及辨析、充要条件的证明 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 3．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 5．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7．如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、扇形面积的有关计算 【分析】应用三角形面积公式计算求解. 【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为， 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、射影公式 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 二、多选题 9．（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 11．已知中，内角所对的边分别为，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】AC 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】因为，所以由二倍角公式得， 在中，可得，则，得到， 解得，得到，故A正确， 对于B，由题意得，由余弦定理得， 解得（负根舍去），故B错误， 对于C，由三角形面积公式得， 则的面积为，故C正确， 对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得， 则外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．在中，，是边上一点，且，若，则________． 【答案】/0.5 【知识点】正弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、已知模求参数 【分析】设，则，由，可得，再结合正弦定理求解即可. 【详解】不妨设， 则，由题知， 又因为, 所以 ， 即有， 整理得，解得或（舍）， 所以． 故答案： 13．在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】由且，可得， 则由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则， 设外接圆半径为，则，得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 14．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 四、解答题 15．的内角所对的边分别为，若，求角． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【详解】由及正弦定理知， 整理得， 即． 故由余弦定理可知，又，所以． 16．已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】(1)7 (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【详解】（1）设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. （2）设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 17．在中，已知且，试判断该三角形的形状． 【答案】该三角形是以为直角的直角三角形 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理角化边分别得到，，联立即可判断. 【详解】由正弦定理可得：． ，① 又，由正弦定理得．② 由①②，得． ∴该三角形是以为直角的直角三角形． 18．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 19．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理可求得，即可知； （2）选择条件①由可求得，再利用三角形面积公式计算可得结果； 选择条件②时，由可得，利用正弦定理可得，结合恒等变换以及三角形面积公式计算即可； 选择条件③时，因为，，不存在这样的三角形，不合题意. 【详解】（1）由正弦定理，可得 又因为，因此， 又因为 因此 （2）由（1）中，代入得； 选①时，， 由得， 又因为，因此，故； 而， 因此三角形面积为； 选②时，，因为，因此， 由正弦定理可得； 而， 因此三角形面积为； 不能选③，因为此时，不是三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $