第9章平面直角坐标系（讲义）（知识点梳理+核心考点+综合测试）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

第9章平面直角坐标系（讲义）人教版 ☘ 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1）理解平面直角坐标系的构成：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点、正方向、单位长度； （2）能根据坐标在坐标系内描点，也能由点写出坐标； （3）记住四个象限的划分及各象限内点的坐标符号特征； （4）初步认识坐标轴上点的坐标特点。 ◆ 预习难点 （1）区分横坐标、纵坐标的顺序与符号； （2）坐标轴上的点不属于任何象限，易混淆； （3）用坐标表示实际位置（如方位、路线图）的应用。 ⛳ 重点知识●梳理 【知识点一、平面直角坐标系的组成】 1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。（如下图） （1）x 轴（横轴）：水平的数轴，向右为正方向。 （2）y 轴（纵轴）：竖直的数轴，向上为正方向。 （3）原点：两坐标轴的交点，坐标为 (0,0)。 【知识点二、点的坐标】 1.有序数对：有顺序的两个数 a、b 组成的数对，记作 (a,b)。 2.点的坐标： （1）横坐标：过平面内一点向 x 轴作垂线，垂足表示的数； （2）纵坐标：过平面内一点向 y 轴作垂线，垂足表示的数； （3）书写：先横后纵，横坐标纵坐标。 （4）平面内的点与有序实数对一一对应。 【知识点三、象限划分与坐标符号】 平面被坐标轴分成四个象限，按逆时针顺序：（如下图） 第一象限：(+,+)；第二象限：(−,+)； 第三象限：(−,−)；第四象限：(+,−)。 ★注意：x 轴、y 轴上的点不属于任何象限。 x 轴上的点：纵坐标为 0，即 (x,0) y 轴上的点：横坐标为 0，即 (0,y) 【知识点四、特殊位置点的坐标特征】 （1）.原点：(0,0) ； （2）.x 轴上：(a,0)； （3）.y 轴上：(0,b) （4）.一、三象限角平分线上：横、纵坐标相等，x=y （5）.二、四象限角平分线上：横、纵坐标互为相反数，x=−y 【知识点五、点到坐标轴的距离】 1.点 P(x,y) 到 x 轴距离：∣y∣ 2.点 P(x,y) 到 y 轴距离：∣x∣ 【知识点六、对称点的坐标规律】 1.关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标相反(x,y)→(x,−y) 2.关于 y 轴对称：纵坐标相同，横坐标相反(x,y)→(−x,y) 3.关于 原点对称：横、纵坐标都相反(x,y)→(−x,−y) 【知识点七、用坐标表示平移】 设点 P(x,y)，将点p向左、右各平移a个单位，向上、下各平移b个单位得到的新坐标为： 1.向右平移 a 个单位：(x+a,y)； 2.向左平移 a 个单位：(x−a,y) 3.向上平移 b 个单位：(x,y+b)； 4.向下平移 b 个单位：(x,y−b) 【知识点八、坐标方法的简单应用】 1.表示地理位置： （1） 直角坐标系法：，建立坐标系，用坐标表示位置； （2） 方位角与距离法：用方向角和距离定位。（如雷达监测） 2.几何图形的面积计算： 利用坐标求点到轴的距离，结合几何公式计算面积。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1写出直角坐标系中点的坐标 例1．已知，长方形中，，，，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 变式1．点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为______． 变式2．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 题型2求点到坐标轴的距离 例2．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则的面积为_____________． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 变式2．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为______． 题型3判断点所在的象限 例3．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，点位于第__________象限． 变式2．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 题型4已知点所在的象限求参数 例4．点在轴上，则点的坐标为 A． B． C． D． 变式1．已知点在坐标轴上，则_____． 变式2．已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标． 题型5坐标系中描点 例5．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．长为3，宽为2的长方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则长方形内部（不含边界）的整点个数不可能是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 变式2．（1）在平面直角坐标系中，作出下列各点，，，，并把各点连起来． （2）画出先向上平移4个单位，再向右平移2个单位的图形． （3）求的面积． 题型6坐标与图形综合 例6．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则________． 变式2．如图，由点确定的的面积为4，求的值． 题型7实际问题中用坐标表示位置 例7．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 变式2．在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 题型8用方向角和距离确定物体的位置 例8．点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．西偏北方向上 变式1．若地在地的南偏东方向，距离地处，则地在地的__________方向，距离地__________处． 变式2．如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 题型9根据方位描述确定物体的位置 例9．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 变式1．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 变式2．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 题型10求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例10．若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点、、都落在网格的顶点上．    (1)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，点、、的对应点分别为、、，在平面直角坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 题型11由平移方式确定点的坐标 例11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则__________，__________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点P，点N的对应点为点Q），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． (1)若点P与点N恰好重合，则 ， ； (2)若，且平移后的面积最大，则此时 ， ． 题型12已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例12．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 变式1．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为______． 变式2．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 题型13已知图形的平移，求点的坐标 例13．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 变式2．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 题型14已知平移后的坐标求原坐标 例14．在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 变式2．如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 题型15坐标系中的平移 例15．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 变式1．在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为_______． 变式2．如图，在制作电脑动画时，有三只小蜗牛分别从A、B、C三点出发，沿着相同的方向并以相同的速度爬行．当位于点C的小蜗牛爬到点处时，点A和点B处的小蜗牛分别爬到什么位置？请在图中标出它们的位置． 题型16坐标系中的动点问题（不含函数） 例16．中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式1．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为______． 变式2．在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 题型17中点坐标 例17．如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 变式1．点和点的中点坐标为________． 变式2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 题型18点坐标规律探索 例18．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 变式2．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 💧 强化巩固●过关练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与x轴平行，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 3．振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 4．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点所在的象限是______． 8．在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，距离原点5个单位长度，则点A的坐标为______． 9．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 11．象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 三、解答题 13．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，补充原点O和y轴； (2)写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 14．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 16．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 17．如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． (1)车站的坐标为 ； (2)现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； (3)在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山，则这一总路线的长度为 单位长度． 18．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章平面直角坐标系（讲义）人教版 ☘ 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1）理解平面直角坐标系的构成：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点、正方向、单位长度； （2）能根据坐标在坐标系内描点，也能由点写出坐标； （3）记住四个象限的划分及各象限内点的坐标符号特征； （4）初步认识坐标轴上点的坐标特点。 ◆ 预习难点 （1）区分横坐标、纵坐标的顺序与符号； （2）坐标轴上的点不属于任何象限，易混淆； （3）用坐标表示实际位置（如方位、路线图）的应用。 ⛳ 重点知识●梳理 【知识点一、平面直角坐标系的组成】 1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。（如下图） （1）x 轴（横轴）：水平的数轴，向右为正方向。 （2）y 轴（纵轴）：竖直的数轴，向上为正方向。 （3）原点：两坐标轴的交点，坐标为 (0,0)。 【知识点二、点的坐标】 1.有序数对：有顺序的两个数 a、b 组成的数对，记作 (a,b)。 2.点的坐标： (1)横坐标:过平面内一点向 x 轴作垂线，垂足表示的数； （2）纵坐标:过平面内一点向 y 轴作垂线，垂足表示的数； （3）书写：先横后纵，横坐标,纵坐标。 （4）平面内的点与有序实数对一一对应。 【知识点三、象限划分与坐标符号】 平面被坐标轴分成四个象限，按逆时针顺序：（如下图） 第一象限：(+,+)；第二象限：(−,+)； 第三象限：(−,−)；第四象限：(+,−)。 ★注意：x 轴、y 轴上的点不属于任何象限。 x 轴上的点：纵坐标为 0，即 (x,0) y 轴上的点：横坐标为 0，即 (0,y) 【知识点四、特殊位置点的坐标特征】 （1）.原点：(0,0) ； （2）.x 轴上：(a,0)； （3）.y 轴上：(0,b) （4）.一、三象限角平分线上：横、纵坐标相等，x=y （5）.二、四象限角平分线上：横、纵坐标互为相反数，x=−y 【知识点五、点到坐标轴的距离】 1.点 P(x,y) 到 x 轴距离：∣y∣ 2.点 P(x,y) 到 y 轴距离：∣x∣ 【知识点六、对称点的坐标规律】 1.关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标相反(x,y)→(x,−y) 2.关于 y 轴对称：纵坐标相同，横坐标相反(x,y)→(−x,y) 3.关于 原点对称：横、纵坐标都相反(x,y)→(−x,−y) 【知识点七、用坐标表示平移】 设点 P(x,y)，将点p向左、右各平移a个单位,向上、下各平移b个单位得到的新坐标为： 1.向右平移 a 个单位：(x+a,y)； 2.向左平移 a 个单位：(x−a,y) 3.向上平移 b 个单位：(x,y+b)； 4.向下平移 b 个单位：(x,y−b) 【知识点八、坐标方法的简单应用】 1.表示地理位置： （1） 直角坐标系法：，建立坐标系，用坐标表示位置； （2） 方位角与距离法：用方向角和距离定位。（如雷达监测） 2.几何图形的面积计算： 利用坐标求点到轴的距离，结合几何公式计算面积。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1写出直角坐标系中点的坐标 例1．已知，长方形中，，，，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的性质，关键是利用长方形对边平行且相等的特征确定未知顶点的坐标．首先分析已知三点的位置：、在轴上，、在轴上，与垂直，符合长方形邻边垂直的性质，由此推导点的坐标． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，且，． 已知，，， ∴轴且长度为2， ∴轴且长度为2， ∴点的横坐标为； 又∵轴且长度为4， ∴轴且长度为4， ∴点的纵坐标为； 综上，点的坐标为． 故选：C． 变式1．点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，可确定点的横坐标为，再分点在点上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：直线轴，点的坐标为， 点的横坐标为， ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 即此时点的坐标为， 当点在点下方时，点的纵坐标为， 即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 变式2．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值即可得解． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故选：B． 题型2求点到坐标轴的距离 例2．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则的面积为_____________． 【答案】3 【分析】画出图形，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 【答案】6 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 变式2．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查不同象限内点的坐标和点到坐标轴的距离．理解点到x轴距离等于纵坐标绝对值是解题关键． （1）根据点在y轴上，可得，求解即可； （2）根据点P到x轴的距离是6，可得，，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：（1）∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：∵点到x轴的距离为6， ∴， ∴， 当时，，，∴点P坐标为； 当时，，，∴点P坐标为； 故答案为：或． 题型3判断点所在的象限 例3．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限即可判断． 【详解】解：A、，横纵坐标都为正，在第一象限，不符合题意； B、，横纵坐标都为负，在第三象限，不符合题意； C、，横坐标为正纵坐标为负，在第四象限，不符合题意； D、，横坐标为负纵坐标为正，符合第二象限点的特征，符合题意． 变式1．在平面直角坐标系中，点位于第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标特征判断即可． 【详解】解：点A的横坐标，纵坐标， 因此点A位于第四象限． 故答案为：四． 变式2．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 【答案】点不可能在第三象限，见解析 【分析】本题主要考查点的坐标，根据第三象限的点的横坐标和纵坐标均小于0解答即可． 【详解】解：当时，解得， 则， ∴， ∴点不可能在第三象限. 题型4已知点所在的象限求参数 例4．点在轴上，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再代入计算纵坐标，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 变式1．已知点在坐标轴上，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查坐标轴上的点坐标的特征，由，排除在轴上的可能，则点在轴上，即． 【详解】解：∵， ∴点不在轴上， 又∵点在坐标轴上， ∴点在轴上， ∴，即． 故答案为：． 变式2．已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标性质，熟练掌握坐标系性质是解题关键； （1）根据轴上点的纵坐标为0，即可解决问题． （2）根据题意建立关于的等式，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：点的横坐标比纵坐标大3， ， 解得， ，， 点坐标为． 题型5坐标系中描点 例5．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．长为3，宽为2的长方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则长方形内部（不含边界）的整点个数不可能是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题意画出示意图，即可解答． 【详解】解：如图，当长方形顶点都是整点时， 则长方形内部（不含边界）的整点个数为2个， 如图，当长方形顶点都不是整点时， 则长方形内部（不含边界）的整点个数为6个或3个或4个， 则长方形内部（不含边界）的整点个数不可能是5个， 故选：C． 变式1．在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 变式2．（1）在平面直角坐标系中，作出下列各点，，，，并把各点连起来． （2）画出先向上平移4个单位，再向右平移2个单位的图形． （3）求的面积． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）5 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，平面直角坐标系中图形的平移，求三角形的面积等知识． （1）先描出，，三个点，再顺次连接即可求解； （2）根据平移的规律分别得到，，，分别描出三个点，顺次连接即可求解； （3）利用割补法即可求解． 【详解】解：（1）点，，位置如图，连接，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）的面积为． 题型6坐标与图形综合 例6．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴轴， ∵长方形对边平行且相等， ∴， ∴轴， ∴，即， 故选：D． 变式1．在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【详解】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 变式2．如图，由点确定的的面积为4，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中求三角形的面积，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由的面积为4，得到，代入求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， 即， ， 解得 或（不符合题意，舍去） 答：的值为4． 题型7实际问题中用坐标表示位置 例7．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 变式1．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规则找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【详解】解：∵白①的位置是，黑①的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三个黑棋的两头位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 变式2．在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点C的坐标为 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，读出点的坐标，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据点的坐标建立直角坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示： （2） 由（1）得点C的坐标为 ． 题型8用方向角和距离确定物体的位置 例8．点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．西偏北方向上 【答案】B 【分析】本题考查方位角的相对性，利用两点相对位置的方向相反、角度相等的性质求解，正确理解方位角定义是关键. 【详解】解：∵点A在点B的南偏东方向上， ∴根据方位角的相对性，观测点互换后，方向相反，角度相等， ∴点B在点A的北偏西方向上． 故选：B． 变式1．若地在地的南偏东方向，距离地处，则地在地的__________方向，距离地__________处． 【答案】 北偏西 【分析】本题主要考查了用方位角加距离表示位置，根据方位角的相对性，地在地的南偏东方向，则地在地的相反方向，即北偏西方向，距离不变． 【详解】解：如下图所示， 地在地的南偏东方向，距离地处， 地在地北偏西方向，距离地处． 故答案为：北偏西，． 变式2．如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）他平均每分钟走75米． 【分析】本题考查了比例尺，方向角，速度、时间与路程之间的关系．根据图形结合方向角的定义求解即可． 【详解】解：（1）小青先向正西方向行，再向北偏西方向行到小红家． （2）小力先向南偏东方向行，再向正南方向行到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，走了， ， 答：他平均每分钟走75米． 题型9根据方位描述确定物体的位置 例9．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．钱塘明月号楼室 B．广州塔南偏西方向 C．东经，北纬 D．庆春电影院号厅的排座 【答案】B 【分析】本题考查了确定位置，解题的关键是根据坐标确定位置需要两个数据，对各选项分析判断后求解． 【详解】解：A、钱塘明月号楼室，位置明确，故本选项不符合题意； B、只有南偏西的方向，没有距离等补充数据，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意； C、东经，北纬，位置明确，故本选项不符合题意； D、庆春电影院号厅的排座，位置明确，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式1．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 变式2．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 题型10求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例10．若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移坐标变化，解题关键是掌握点平移时坐标变化规律． 根据向左平移横坐标减去平移距离即可求解． 【详解】解：若点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后对应的点的坐标为，即． 故选：A． 变式1．将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点、、都落在网格的顶点上．    (1)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，点、、的对应点分别为、、，在平面直角坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移的性质找到点、、的对应点、、，然后顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）根据坐标系可得：． 【点睛】本题考查了平移作图，写出点的坐标，掌握数形结合是解题的关键． 题型11由平移方式确定点的坐标 例11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】掌握平移时点的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，即可计算求解． 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为，即． 变式1．将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则__________，__________． 【答案】 0 7 【详解】解：将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点， ∴， ∴． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点P，点N的对应点为点Q），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，． (1)若点P与点N恰好重合，则 ， ； (2)若，且平移后的面积最大，则此时 ， ． 【答案】(1)3，2 (2)0，5 【分析】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的规律． （1）根据点P与点N恰好重合，得到线段向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段，从而得出，； （2）根据线段上任一点在平移后的对应点为，，，得出只能向右平移或向上平移，根据无论如何平移，线段的长度不变，得出当上的高最大时，面积最大，即可得点N距离最远时，面积最大，根据，结合图形，得出当向上平移5个单位，水平位置不动时，点N距离最远，面积最大，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵点P与点N恰好重合，线段向右平移3个单位，向上平移2个单位到线段， ∵线段上任一点在平移后的对应点为， ∴，． 故答案为：3，2． （2）解：∵线段上任一点在平移后的对应点为，其中，， ∴只能向右平移或向上平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大，即点N距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向上平移5个单位，水平位置不动时，点N 距离最远，面积最大， ∴，． 故答案为：0，5． 题型12已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例12．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 变式1．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查点平移的规律：纵坐标上加下减，横坐标左减右加，根据题意可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，对应的点，的坐标分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)， (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 【分析】本题主要考查了点的坐标的平移、写出直角坐标系中的坐标点、确定图形平移的方式等知识点，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键． （1）根据点A，在平面直角坐标系中的位置确定其坐标即可； （2）根据和位置的确定平移方式即可解答． 【详解】（1）解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：，． （3） 解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 题型13已知图形的平移，求点的坐标 例13．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 变式1．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 变式2．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 题型14已知平移后的坐标求原坐标 例14．在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减． 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 变式1．平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 变式2．如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．    (1)画出三角形，并写出、、的坐标； (2)已知内部一点P的坐标为，若点P随一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，则______，______． (3)已知点P在坐标轴上，以、、P为顶点的三角形面积为三角形ABC面积的一半，则P点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，；； (2)，0 (3)或或或 【分析】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，得出，，求解即可； （3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，；；；    （2）解：由题意，得，， ∴，， 故答案为：，0． （3）解：如图，    ∵， ∴当点P在y轴上时， 解得：， ∴， ∴，； 当点P在x轴上时，， 解得：， ∴， ∴，； 综上，点P的坐标为或或或． 题型15坐标系中的平移 例15．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上点的纵坐标相等．熟练掌握平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， ， 解得， 故答案为：1． 变式2．如图，在制作电脑动画时，有三只小蜗牛分别从A、B、C三点出发，沿着相同的方向并以相同的速度爬行．当位于点C的小蜗牛爬到点处时，点A和点B处的小蜗牛分别爬到什么位置？请在图中标出它们的位置． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平移作图，首先判断出平移方式，然后作出点A和点B平移后的点和点即可． 【详解】解：∵当位于点C的小蜗牛爬到点处时， ∴平移方式为向右平移11个单位，向上平移2个单位， ∴如图所示，点和点即为所求． 题型16坐标系中的动点问题（不含函数） 例16．中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9， 故选：D． 变式1．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 变式2．在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①②或 (3)①② 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，非负性等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，然后写出点的坐标即可； （2）①由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可；②根据平行线的性质得解即可； （3）①由题易得，进而易得；②分两种情况讨论，的面积占总面积的或，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，，； （2）解：①由垂线段最短可知，当时，最短， 如图，设与轴交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； ②如图，当点在轴右侧时， ∵轴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在轴左侧时， 同理可知：， ∴； 综上所述：或； （3）解：①如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴，轴，则， ∴， ∴； ②， 若，如图： 则，即，解得：， ∴， ∴； 若，如图： 则，即，解得：，（舍去）， 综上所述：； 题型17中点坐标 例17．如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 变式1．点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 变式2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）直接根据衍生点的定义求解． （2）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知点T的坐标为，即； （2）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，则 ∴E点坐标为． 题型18点坐标规律探索 例18．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，再结合横坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵， ∴在类似，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标为． 变式2．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 💧 强化巩固●过关练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与x轴平行，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等的性质，构建方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行 ∴点与点的纵坐标相等，即， ∴． 2．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形缩放的面积变化规律，需明确横、纵坐标同乘一个数时，图形在两个坐标轴方向的缩放比例与面积缩放比例的关系． 【详解】解：∵将图形各个点的横坐标、纵坐标都乘3， ∴图形在轴方向的缩放比例为3，在轴方向的缩放比例也为3， 又∵平面图形缩放后，面积的缩放比例为各坐标轴方向缩放比例的乘积， ∴所得图形的面积是原图形的倍， 故选：B． 3．振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题考查的是方向角，准确理解方向角的定义及确定物体间相对位置是解题的关键，根据图中的角度标识及方位角的判定规则，确定从点看点的方位． 【详解】解：由图可知，从点看点的方向是南偏东． 故选：． 4．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 5．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点， 当，则，，， ∵，即点P不是线段的中点，故A选项错误； ∵点， ∴， ∴不是定值，故B选项错误； ∵轴，点的纵坐标为，， ∴， ∵，， 当时， 则或， 解得：或， 即有2个m的值，故C选项错误； 当时，则或（无解）， 解得：， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点所在的象限是______． 【答案】四 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标所在象限的符号特征是解题的关键． 根据点的坐标所在象限的符号特征求解即可． 【详解】解：点P的横坐标，纵坐标，符合第四象限的坐标符号特征， ∴点P在第四象限． 故答案为：四． 8．在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，距离原点5个单位长度，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点在轴上的坐标特点，距离的意义，熟练掌握特点和意义是解题的关键．根据x轴上点的坐标特征，结合点在x轴负半轴的位置及点到原点的距离，确定点A的横纵坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 又点A在轴负半轴上，且距离原点5个单位长度， ∴． ∴点A的坐标为， 故答案为：． 9．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 11．象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是_______． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【详解】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标，计算矩形的各边长度，确定矩形的周长，用总长度除以周长，根据余数判定位置即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， ，, , ， 故终点一定在线段上，设其坐标为， 根据题意，得， 解得， 这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为． 三、解答题 13．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，补充原点O和y轴； (2)写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【分析】（1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： （2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为； （3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 14．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 15．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)点E在点C的正南方向，距离点处 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）点D，E ，F的位置如图所示 （3）． 点E在点C的正南方向，距离点处 16．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 17．如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． (1)车站的坐标为 ； (2)现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； (3)在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山，则这一总路线的长度为 单位长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，两点间距离公式，线段垂直平分线的判定，解题关键是根据已知条件，画出平面直角坐标系． （1）根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案； （2）可知小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点，即可求解； （3）根据两点间距离公式求出各路线长，再相加即可． 【详解】（1）解∶ 由题意得，建立平面直角坐标系，如图∶ 车站的坐标为， 故答案为∶； （2）解∶ 小凉亭到猴山、大门、车站的距离都相等， 小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点， 小凉亭的坐标为， 故答案为∶ （3）解∶ 由坐标系得大门坐标为，虎山坐标为，而孔雀园坐标，车站的坐标，小凉亭的坐标 大门到小游亭的距离为∶ ，小游亭到虎山的距离为∶ ， 总路线的长度为∶ ， 故答案为∶ ． 18．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 故答案为：E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $