二次根式单元复习（交互动画）八年级数学

null二次根式的乘除典型例题 题型1：二次根式的乘除法则直接计算 计第：亚÷®× 【答案】-2 【解答】解：√12÷√3-√48× =√4-16 =2-4 =-2. 题型2：二次根式乘除法则的逆用化简 化简V-4)×(-81)的结果是() A.18 B.-18 C.±18 D.以上都不对 答案：A 题型3：最简二次根式的识别 下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.V0.5 B.√9a C.Va2+b2 【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能 开得尽方的因数或因式，逐项分析判断如下： 4:v05=2 被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意： B:√9a=3vā，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意： C:√a2+b2,被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意： D:2 被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意， 故选：C 题型4：根据乘除法则成立的条件求字母取值范围 等式票-票成立的x的取值范周是13}· 【答案】-1<x≤3. 【解答】解：：3-x≥0且1+x>0, .-1<x≤3. 故答案为：-1<x≤3， 突破1：二次根式的乘除混合运算 计第：V④s-V27x厚 【详解】v压±V2历×目 45 V27×/ 453 √27×写 =√1 =1 突破2：二次根式的大小比较 比较大小：53与3V5,下列说法正确的是（) A.5V3>3V5 B.5V3<3V5 C.5V3=35 D.无法比较 答案：A 突破3：二次根式乘除法的实际应用 发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的 经验公式是v=16df,其中v表示车速（单位：km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离 (单位：m),f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d=20m,f=1.2,则肇事汽 车的车速大约是多少？(6≈2.45，结果精确到1km/h) 【详解】解：，d=20,f=1.2代入v=16√df, .v=16×√20×1.2=16×2V6=32V6, V6≈2.45， .v≈32×2.45≈78km/h), 答：肇事汽车的车速大约是78km/. 突破4：二次根式的规律探究（乘除型） 通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1： 1+= 3+1 15+1 4×=2层特例2：、2+--9×=3层特例3：3+- 、16×-4应用发现的运规律2024+品×V4052的值（ A.2024 B.2025V2 C.2023 D.2023V2 【详解】解：特例1： 特例2： 2+= 8+1= 4 9x=3 特例3： 3+5=、 以上规律为： n+ 1 n(m+2)+1 n+2 n+2 +P×=+) 当n=2024时， 2024+ ×V4052-2025×V402-2025v2 1 故选：B.二次根式及其性质典型例题 题型1：二次根式的概念识别 在下列各式中，一定是二次根式的是() A.V2 B.V-10 C.va2+1 D.Va 【解答】解：A、是三次根式；故本选项符合题意； B、被开方数-10<0，不是二次根式：故本选项不符合题意： C、被开方数+1>0，符合二次根式的定义；故本选项符合题意： D、被开方数a<0时，不是二次根式；故本选项不符合题意： 故选：C 题型2：二次根式有意义的条件求字母取值范围 若代数式 =元有意义，则x的取值范围是x<3· 1 【解答】解：代数式 1 有意义的x的取值范围是3-x>0, 3-x 解得x<3, 故答案为：x<3. 题型3：二次根式的基本性质计算 已知1≤a≤2，化简Va2-2a+1+la-2=1_. 【解答】解：由条件可知a-1≥0，a-2≤0， ∴.原式=a-1+a-2 =a-1-(a-2)=a-1-t2=1. 故答案为：1. 题型4：非负数的性质应用 已知va+2+Vb-1=0,那么(b)2025=() A.-1 B.1 C.2 D.-2 【解答】解：，'Va+2+Vb-1=0, ,.+2=0,b-1=0 解得：a=-2,b=1, ∴.(a+b)2025=（-2+1)2025=-1, 故选：A. 突破1：结合数轴化简二次根式 己知a、b、c在数轴上的位置如图：化简Va2-la+bl+√c-a)严+Ib+c=（) 6→ A.atb-c B.2b+2c-a C.2c-a D.2b-a 【解答】解：由数轴得：a<b<0<c,d>lcl>b, .∴.+b<0,c-a>0,b+c>0, ,.原式=-a-(-a-b)+c-+bc=-+什b+c-a+b+c=2b+2c-a, 故选：B 突破2：结合三角形三边关系化简二次根式 若2、5、n为三角形的三边长，则化简√3-n)2+√(8-n)的结果为() A.5 B.2n-11 C.11-2n D.-5 【解答】解：由三角形三边关系可知：3<<7， ,∴.3-<0,8-n>1, 原式=3-+8-刊 =-(3-n)+(8-1) =-3+什8-n =5, 故选：A 突破3：二次根式的概念求字母的整数值 已知n是正整数，v20n是整数，则n的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解：√20m=V4×5n=2V5n, ,√20n是整数， n的最小值是5， 故选：D. 突破4：逆用二次根式性质在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式：x4-6x2+9 答案：(x+V3)(x-V3二次根式的加减典型例题 题型1：同类二次根式的识别 下列各组二次根式是同类二次根式的是() A.V2与V12 B.屋与5 C.V4与V⑧ D.V6与V3 【解答】解：A、√12=V4×3=23 则v2与√12不是同类二次根式，不符合题意： 瓜厚号 则与V3是同类二次根式，符合题意： C、√4=2，√8=2W2, 则V4与√⑧不是同类二次根式，不符合题意： D、√6与√3不是同类二次根式，不符合题意： 故选：B 题型2：二次根式的加减直接计算 计算：豆+竖-(-哥 【解答1解：V豆+学（语受 =4w2+竖-V5 3 -2+2 题型3：二次根式的加减乘除混合运算（基础） 计算： 5+3层-v, (2W18÷V2-V32+3×V6: 【详解】1)解：3+3后应 =V3+V-2W3 =0 (2)√1⑧÷√2-32+3×√6 =V9-4W2+18 =3-4v2+3y2 =3-√2 题型4：利用乘法公式进行二次根式运算 计算：(3+3)3-V3)+(1+V7)2. 【详解】解：(3+v3)(3-v3)+(1+V7) =32-(3)+(1+27+7) =9-3+1+27+7 =14+2V7 突破1：二次根式的复杂混合运算 观察下列各式： 5+2V6=(2+3)+2V2×3=(W2)2+(3)2+22×V3=(W2+3)2, 8+2W7=(1+7)+2V1×7=12+(W72+2×1×V7=(1+V7)2,…请运用以上的 方法化简V7+2√10= 【详解】解：√7+210=√5+2+2√10 =J5⑤2+(W22+2xV5×2 =√W5+V22 =V5+V2: 故答案为：V5+√2. 突破2：二次根式的化简求值 化简23-610+4W3-2V2的结果是（) A.3+V2 B.3-2V2 C.3+2v2 D.3-2 【详解】解：原式= 23-610+4,(2-1)2 23-6/10+42-4 23-642+6= 23-6(2+V2)2 23-12-6v2-11-6v2 =3-V2)2=3-V2, 故选：D. 突破3：整体思想在二次根式求值中的应用 已知x+y=5w=4求xE+y的省， 【详解】x+y=-5<0,xy=4>0, .X<0,y<0, ∴.原式=x 层+y厚-x受-y受-2网 y 'Xy=4. 原式=-2×√4=-2×2=-4. 突破4：二次根式的分母有理化 1×(V2-1) 1 1×(V3-V2) 阅读下面计算过程：22=V2-1:W2万=V3-V2: 1×(5-2) 5*25+222=V5-2. 试求：（本石的值为 (2)求1+元十Z本5+3+4++20z+22+v20的值. (3)若a=2求Q3-42+a+4的值. V7-v6 【详解】(1)本6=+69而=V7-V6, (2)原式=√2-1+3-√2+√4-V3+…+2023-√2022+√2024-√2023 =√2024-1 =2W506-1; 1 V5+2 (3)“a=点s-i+啊5+2. .a-2=√，∴.(a-2)2=5, .a3-4a2+a+4 =a(a2-4a)+a+4 =a(a2-4a+4)-3a+4 =5a-3a+4=2a+4 =2(W5+2)+4=2W5+8. 突破5：二次根式的整数部分与小数部分应用 己知4，=V5,将4的整数部分加上4，的小数部分的倒数得到a,再将a的整数部分加上a1 的小数部分的倒数得到a2,以此类推可得到4,4，，4。·如5的整数部分为2，小 数部分为5.2.所4-2+石。5+4.根福以上信总，下列说法正确的有《) ①a,=V5+12;②a的小数部分为V5-2;③a,-a2=V5+2; 1 49 ④a-5a同a,-5ja-+(a.-5jav520 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【详解】解：由题意得，4=2+，=5+4，整数部分为6，小数部分为V5-2, "V5-2 42=6+- 5-26+V5+2=5+8,整数部分为10，小数部分为5-2 a10+520+5+2三5+2，整数部分为14，小数部分为2 a,=14+,14+V5+2=V5+16,整数部分为18，小数部分为5-2， √5-2 4=18+5-218+5+2=5+20,整数部分为2，小数部分为5-2， 1 2+522+5+2三5+24，整数部分为26，小数部分为V5 a,=V5+4n,小数部分是V5-2, ∴.①4=√5+12，正确： ②a的小数部分为√5-2，正确： ③a,-42=(V5+4×23)-(N5+4×22)=4,错误： 1 ①(a-5a-5+a5ja-万*a-51a5 1 1 1 1(1+1 1 8×1616×24 +.+392x400641×22×3 .+49×50 49 3200’正确：故选：C 突破6：二次根式的综合应用（几何+代数） 一个三角形的三边长分别为5， x 5 (1)求它的周长（用含x的式子表示）： (2)请你给一个适当的x值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面 积.（海伦公式：S=√p(p-a)p-b)(p-c),其中a,b,c分别是三角形的三边长，记 p=atbtc) 2 【详解】山解：一个三角形的三边长分别为气y后m,得 它的长-得6+积 =V5+V5+ 2 =5v5 2 (2)解：由题意得V5要是整数， 当x=20时， 5W5x_5V100 2 =25,符合题意， 2 .此时三边长分别为10,10,5， p=10+10+525 2 255515 $=2222 =25v15 4