单元培优讲义：专题02 比例（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题02 比例 考点梳理 1 考点一、比例的认识 1 考点二、比例的应用 2 考点三、比例尺 2 考点四、图形的放大和缩小 3 例题讲解 3 题型一、比例的意义 3 题型二、比例的基本性质 5 题型三、解比例 5 题型四、比例的应用 9 题型五、图上距离与实际距离的换算 10 题型六、比例尺的意义及应用 11 题型七、应用比例尺画图 12 题型八、图形的放大和缩小 14 培优练习 16 练习一、比例的意义 16 练习二、比例的基本性质 19 练习三、解比例 21 练习四、比例的应用 26 练习五、图上距离与实际距离的换算 28 练习六、比例尺的意义及应用 30 练习七、应用比例尺画图 33 练习八、图形的放大和缩小 37 考点梳理 考点一、比例的认识 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：在比例2:3 = 4:6中，2和6是外项，3和4是内项。 2. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示：若a:b = c:d（b、d均不为0），则ad = bc。 3. 判断两个比能否组成比例 (1)方法一：计算两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；反之不能。 (2)方法二：根据比例的基本性质，若两个比的内项积等于外项积，则能组成比例；反之不能。 考点二、比例的应用 1. 解比例的意义 求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的方法 根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再解方程求出未知项。具体步骤： （1）设未知项为x； （2）根据比例的基本性质，把比例改写成外项积等于内项积的形式（即方程）； （3）解方程求出x的值； （4）检验结果是否符合比例的意义。 3. 用比例解决实际问题 关键是找出题目中两种相关联的量，再根据比例关系列出比例式求解。 考点三、比例尺 1. 比例尺的意义 图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。公式：比例尺。 2. 比例尺的分类 (1)按表现形式分：数值比例尺（如1:1000）和线段比例尺（在图上用一条线段表示实际距离，如“”表示图上1厘米代表实际10米）。 (2)按缩放关系分：缩小比例尺（图上距离小于实际距离，如1:500000）和放大比例尺（图上距离大于实际距离，如20:1，常用于精密零件图纸）。 3. 比例尺的表示方法 (1)数值比例尺通常写成前项或后项是1的比，例如1:50000（缩小比例尺）或50:1（放大比例尺）。 (2)线段比例尺需明确标注每段线段代表的实际距离，如“”表示图上1厘米对应实际50千米。 4. 图上距离与实际距离的计算 (1)已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离=实际距离比例尺。 (2)已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离=图上距离比例尺。（注意单位统一，通常将实际距离的单位换算为厘米后计算，结果再换算回合适单位） 考点四、图形的放大和缩小 1. 图形放大或缩小的意义 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2. 图形放大或缩小的特点 (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比例）； (2)对应角的大小不变（因为形状不变，角度不会改变）； (3)图形的周长比等于放大或缩小的比例，面积比等于放大或缩小比例的平方。 3. 图形放大或缩小的方法 （1）确定放大或缩小的比例（如按2:1放大，即各边长度变为原来的2倍；按1:3缩小，即各边长度变为原来的）； （2）分别计算原图形各边的长度与比例的乘积，得到放大或缩小后图形各边的长度； （3）按计算出的新长度画出图形，确保对应角大小不变。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】在比例4∶9=20∶45中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 【答案】4；45；9；20 【分析】组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【详解】比例中，两端的两项分别是4与45，是这个比例的外项；中间的两项分别是9与20，是这个比例的内项。 在比例中，4和45是外项，9和20是内项。 【练习1】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 【答案】（1）（2）（3）；6∶9＝8∶12；1.4∶2＝4.2∶6；＝ 【分析】根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，分别计算每组中两个比的内项积和外项积是否相等，进而确定能否组成比例。 （1）6∶9和8∶12，把9和8看作内项，把6和12看作外项。 （2）1.4∶2和4.2∶6，把2和4.2看作内项，把1.4和6看作外项。 （3）和，把和看作内项，把和看作外项。 （4）和，把和看作内项，把和看作外项。 【详解】（1）6∶9和8∶12 9×8＝72 6×12＝72 所以6∶9和8∶12能组成比例，比例为6∶9＝8∶12。 （2）1.4∶2和4.2∶6 2×4.2＝8.4 1.4×6＝8.4 所以1.4∶2和4.2∶6能组成比例，比例为1.4∶2＝4.2∶6。 （3）和 所以和能组成比例，比例为＝。 （4）和 即内项积不等于外项积，所以和不能组成比例。 （1）（2）（3）中的比能组成比例，比例为6∶9＝8∶12，1.4∶2＝4.2∶6，＝。 题型二、比例的基本性质 【例题2】如果7＝8（、不为0），则∶＝( )∶( )。 【答案】 7 8 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把7＝8改写成比例式，一个外项是，内项是的比例，则和相乘的数8就作为比例的另一个外项，和相乘的数7就作为比例的另一个内项，据此写出比例。 【详解】如果7＝8（、不为0），则∶＝7∶8。 【练习2】在一个比例中，两个内项的积是24，一个外项是最小的合数，另一个外项是( )。 【答案】6 【分析】一个数，除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，据此解答。 【详解】最小的合数是4。 24÷4＝6 在一个比例中，两个内项的积是24，一个外项是最小的合数，另一个外项是6。 题型三、解比例 【例题3】解方程。            【答案】＝19.2；＝2； 【分析】对于方程，依据比例基本性质转化方程，根据“两内项之积＝两外项之积”，可得。先算0.6×8＝4.8，方程变为。根据等式的性质，在两边同时除以即可解得的值。 对于方程，依据比例基本性质转化方程，根据“两内项之积＝两外项之积”，可得0.45 ＝1.8×0.5。先算1.8×0.5＝0.9，方程变为0.45 ＝0.9。根据等式的性质，两边同时除以0.45即可解得的值。 对于方程，依据比例基本性质转化方程，根据“两内项之积＝两外项之积”，可得。先算，方程变为。根据等式的性质，两边同时除以即可解得的值。 【详解】 解： ＝19.2 解：0.45 ＝1.8×0.5 0.45 ＝0.9 ＝0.9÷0.45 ＝2 解： 【练习3】解方程。                       【答案】；； ； 【分析】（1）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以4； （2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （3）分数形式的比例中，交叉相乘，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以3.3； （4）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 题型四、比例的应用 【例题4】某汽车生产厂设计制作了一个赛车模型，模型的长与赛车实际长度的比是1∶50。赛车的实际长度是500厘米，模型的长度是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】设模型的长度是x厘米，因为模型的长与赛车实际长度的比是1∶50，所以可以列出比例：x∶500＝1∶50，根据比例的基本性质解出比例，即可求出模型的长度是多少厘米。 比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 【详解】解：设模型的长度是x厘米。 x∶500＝1∶50 50x＝500×1 50x＝500 x＝500÷50 x＝10 答：模型的长度是10厘米。 【练习4】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？（用比例解） 【答案】9克 【分析】依据蜂蜜与水的质量比保持不变这一关键条件。已知蜂蜜与水的质量比是3：20，设所用蜂蜜的质量为x克，此时蜂蜜与水的质量比可表示为x：60，这两个比应相等，由此可列出比例式：3∶20＝x∶60。然后依据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”和等式的性质2解答即可。 【详解】解：设用了x克蜂蜜。 3∶20＝x∶60 20x＝3×60 20x＝180 20x÷20＝180÷20 x＝9 答：用了9克蜂蜜。 题型五、图上距离与实际距离的换算 【例题5】一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 【答案】 1200 600 3 【分析】观察题目，每空单位都是厘米，所以首先根据“1厘米＝10毫米”将零件的实际长度的单位换算为厘米，得到60毫米＝6厘米，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”进行计算即可。 【详解】比例尺：200∶1＝200；100∶1＝100；1∶2＝ 60毫米＝6厘米 6×200＝1200（厘米） 6×100＝600（厘米） 6×＝3（厘米） 一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画1200厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画600厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画3厘米。 【练习5】在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据实际距离×比例尺＝图上距离，求出在比例尺为1∶20000的地图上的距离。 【详解】1厘米∶300米 ＝1厘米∶30000厘米 ＝1∶30000 20÷ ＝20×30000 ＝600000（厘米） 600000×＝30（厘米） 答：在比例尺为1∶20000的地图上，甲。乙两地之间的距离是30厘米。 题型六、比例尺的意义及应用 【例题6】坐落于西安市未央区的西安北客站是亚洲最大高铁站之一，西成（西安至成都）高铁就从这里出发，实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活梦想。在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为( )千米。 【答案】660 【分析】两地的实际距离＝图上距离÷比例尺，然后根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，得到1千米＝100000厘米，从小单位往大单位化，除以进率。 【详解】6.6÷ ＝6.6×10000000 ＝66000000（厘米） 66000000÷100000 ＝660（千米）。 因此，在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为660千米。 【练习6】在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【答案】12小时 【分析】先根据比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，用18厘米除以即可计算出北京到西安的实际距离，然后根据1千米＝1000米＝100000厘米，将该距离单位从厘米转换为千米，用北京到西安的实际距离除以自驾的速度90千米/小时即可求出从北京到西安需要多少小时。 【详解】18÷=18×6000000＝108000000（厘米） 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷90＝12（小时） 答：从北京到西安需要12小时。 题型七、应用比例尺画图 【例题7】修建一个长100米、宽40米的长方形泳池，按比例尺1∶2000在下面画出泳池的平面图。（标出泳池的长、宽，在图的上面写出计算过程） 【答案】见详解 【分析】先根据1米＝100厘米，将长和宽的单位换算成厘米，再根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，求出这个游泳池长和宽的图上距离，最后根据图上距离画图并标出泳池的长、宽，据此解答。 【详解】100米＝10000厘米 40米＝4000厘米 长：10000×＝5（厘米） 宽：4000×＝2（厘米） 即泳池的平面图的长为5厘米，宽为2厘米。 泳池的平面图如图： 【练习7】某中心广场四周建筑物如下图所示。 （1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）电影院在中心广场（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）m。 （3）游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m。请在右图中用“☆”标出游乐场的所在地。 【答案】（1）1∶10000 （2）西；北；45；100 （3）画图见详解 【分析】（1）已知医院距中心广场的图上距离是2cm，实际距离是200m，先将实际距离单位换算为厘米，200米＝20000厘米，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，可得比例尺为。 （2）根据图中方向标识和角度信息，以中心广场为观测点，电影院在中心广场西偏北方向上，角度为45°；已知比例尺为，量出电影院图上距离为1cm，根据实际距离＝图上距离：比例尺，可得实际距离为（厘米），10000厘米＝100米。 （3）已知游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m，先将实际距离300m换算为30000cm，根据图上距离＝实际距离×比例尺，可得图上距离为（厘米），然后以中心广场为观测点，在南偏东60°方向上量取3cm的长度确定游乐场位置并标注，据此画图。 【详解】（1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是。 （2）电影院在中心广场西偏北45°方向上，距离是100m。 （3）答：画图如下： 题型八、图形的放大和缩小 【例题8】在下面的方格纸上画出长方形按2∶1放大后的图形，画出三角形按1∶3缩小后的图形。 【答案】图见详解 【分析】根据图形放大和缩小的意义，把长方形的长和宽均放大到原来的2倍，所得到的图形就是原图形按放大后的图形。 根据图形放大和缩小的意义，把三角形的两直角边均缩小到原来的，所得到的图形就是原图形按缩小后的图形。 【详解】长方形： 三角形： 作图如下： 【练习8】把图A按1∶4缩小，图B按2∶1放大。 【答案】见详解 【分析】图A是一个长为8、宽为4的长方形，按1∶4缩小，原来长方形的长和宽都除以4，即是缩小后长方形的长和宽，据此画出缩小后的长方形。 图B是一个底为2、高为3的三角形，按2∶1放大，原来三角形的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 【详解】缩小后长方形的长：8÷4＝2 缩小后长方形的宽：4÷4＝1 缩小后长方形的长为2、宽为1，如下图。 放大后三角形的底：2×2＝4 放大后三角形的高：3×2＝6 放大后三角形的底为4、高为6，如下图。 培优练习 练习一、比例的意义 1．下面（    ）中的两个比能组成一个比例。 A．8∶7和14∶16 B．0.6∶0.2和9∶3 C．19∶11和10∶7 D．6∶7和 【答案】B 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中两个比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】A．8∶7＝8÷7＝ 14∶16＝14÷16＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； B．0.6∶0.2＝0.6÷0.2＝3 9∶3＝9÷3＝3 3＝3，比值相等，能组成比例； C．19∶11＝19÷11＝ 10∶7＝10÷7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； D．6∶7＝6÷7＝ ∶＝÷＝×7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例。 故答案为：B 2．4∶3和0.2∶0.15( )（填“能”或“不能”）组成比例；用21的因数组成一个比例是( )。 【答案】 能 （后一空答案不唯一） 【分析】判断两个比能不能组成比例，可以根据比例的基本性质：两内项的积＝两外项的积；先找出21的所有因数，再根据比例的意义写出比例即可。 【详解】（1）因为，所以和能组成比例； （2）21的因数有1、3、7、21，因为，，可以组成比例： 3．下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【答案】①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝； 【分析】根据“两内项之积等于两外项之积”判定哪组中的两个比可以组成比例。 【详解】①0.8∶0.4和3.2∶1.6中0.8×1.6＝1.28，3.2×0.4＝1.28， 3.2×0.4＝0.8×1.6，即0.8∶0.4和3.2∶1.6可以组成比例。 ②和10∶ 6中，，，即和10∶ 6不可以组成比例。 ③和中，，即，即和不可以组成比例。 ④48∶16和中，，即48∶16和可以组成比例。 即①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝。 4．用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成的比例，单位：cm） 【答案】一共可以组成8个比例。 、、、 、、、 【分析】依据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，一一列举出所有比例。 【详解】6与4作为外项：、、、； 8与3作为外项：、、、。 答：一共可以组成8个比例： 、、、、 、、、。 练习二、比例的基本性质 1．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第一个比的后项加上30，两个内项的积，用第一个比的后项增加30后两个内项的积除以35，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【详解】（10＋30）×21 ＝40×21 ＝840 840÷35－6 ＝24－6 ＝18 所以第二个比的后项应加上18才能使该比例成立。 故答案为：D 【点睛】本题的解题关键是：先算出第一个比的后项加30后的数值，再依据比例内项积等于外项积，求出变化后第二个比的后项，最后用该数值减去原后项，得到需添加的数。 2．根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 【答案】 3.6∶1.8＝3∶1.5 1.8∶3.6＝1.5∶3 【分析】在比例a∶b＝c∶d中，a和d是外项，b和c是内项，且外项之积等于内项之积，即a×d＝b×c。反过来，若有a×d＝b×c，则可以把a、d作为外项，b、c作为内项组成比例；也可以把a、d作为内项，b、c作为外项组成比例。 对于，把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项，根据比例的基本性质可得：3.6∶1.8＝3∶1.5。如把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项，根据比例的基本性质可得：1.8∶3.6＝1.5∶3。 【详解】把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项。 3.6∶1.8＝3∶1.5 把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项。 1.8∶3.6＝1.5∶3 根据写出两个不同的比例是：3.6∶1.8＝3∶1.5和1.8∶3.6＝1.5∶3。（答案不唯一） 3．在比例里，两个外项的积是18，其中一个内项是2，另一个内项是( )。 【答案】9 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；由题可知，两个外项的积是18，则两个内项的积是18，用积18除以内项2，即可求出另一个内项，据此解答。 【详解】18÷2＝9 即另一个内项是9。 4．在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是( )。 【答案】40 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，因此只需计算两个内项的乘积即可。已知两个内项分别是5和8，所以两个外项的积等于这两个内项的积。 【详解】 所以，在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是40。 5．一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 【答案】/0.25 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，最小的合数是4，整数的倒数是这个整数分之一，据此确定另一个外项。 【详解】一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），根据分析，则另一个外项是。 6．如果a∶b＝5∶7，那么a×( )＝b×( )，如果5a＝4b（a，b都不为0），那么a∶b＝( )。 【答案】7；5； 【分析】根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，来解答。 【详解】比例中，a与7是外项，可相乘；b与5是内项，可相乘。 改写比例时，a作为外项，5也要作为外项；b作为内项，4也要作为内项。 如果，那么，如果（a，b都不为0），那么 练习三、解比例 1．解比例，＝，x＝（    ）。 A．2 B．8 C．2.25 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质，将比例转化为方程：2.5x＝25×0.2，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以2.5即可。 【详解】＝ 解：2.5x＝25×0.2 2.5x÷2.5＝5÷2.5 x＝2 故答案为：A 【点睛】牢记比例的基本性质是解题关键。 2．在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是( )或( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”，设第四个数为x，即：x＝×；x＝×；解出方程即可。 【详解】解：设第四个数为x。 x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×2 x＝ x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×6 x＝ 所以在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是或。 （答案不唯一） 3．若1.5a＝2b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )，若b＝6，那么a＝( )。 【答案】 4∶3 8 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把1.5a＝2b改写成比例式，一个外项是a，内项是b的比例，则和a相乘的数1.5就作为比例的另一个外项，和b相乘的数2就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。把b＝6代入比例式中，再解比例，求出a的值。 【详解】由1.5a＝2b可得： a∶b＝2∶1.5 ＝（2÷0.5）∶（1.5÷0.5） ＝4∶3 若b＝6，则： a∶6＝4∶3 解：3a＝6×4 3a＝24 a＝24÷3 a＝8 若1.5a＝2b（a、b均不为0），那么a∶b＝（4∶3），若b＝6，那么a＝（8）。 4．解比例。                                      【答案】；；； 【分析】，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以7解答即可。 ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以解答即可。 ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以0.9解答即可。 ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以1.8解答即可。 【详解】 解： 解： 解： 解： 5．解比例。                             （2－x）∶5＝3∶20 【答案】x＝10；x＝2；x＝1.25 【分析】根据比例的基本性质，先把比例化为方程：x＝×48，然后方程两边同时乘； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：1.2x＝3×0.8，然后方程两边同时除以1.2； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：20×（2－x）＝5×3，然后方程两边先同时除以20，再同时加上x，最后两边同时减去0.75。 【详解】 解：x＝×48 x＝8 x×＝8× x＝10    解：1.2x＝3×0.8 1.2x＝2.4 1.2x÷1.2＝2.4÷1.2 x＝2 （2－x）∶5＝3∶20 解：20×（2－x）＝5×3 20×（2－x）＝15 20×（2－x）÷20＝15÷20 2－x＝0.75 2－x＋x＝0.75＋x 0.75＋x－0.75＝2－0.75 x＝1.25 练习四、比例的应用 1．合金是由两种或两种以上的金属与金属或非金属经一定方法所合成的具有金属特性的物质。一块合金中铜与锌的质量比是3∶8，其中含铜18克，含锌多少克？（用比例解） 【答案】48克 【分析】根据铜与锌的质量比一定，设含锌x克，可列出比例式3∶8＝18∶x，利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）求解，据此解答。 【详解】解：设含锌x克 3∶8＝18∶x 3x＝8×18 3x＝144 3x÷3＝144÷3 x＝48 答：含锌48克。 2．KT板宣传以低成本、高适配性和快速部署的优势，实现多场景、短周期的精准信息传播与品牌曝光。某手机商店门口放着一个模型长度与实际长度按12∶1的比例制作的新款手机KT板模型。已知一款手机模型的长度是180厘米。这款手机的实际长度是多少厘米？（列比例解答） 【答案】15厘米 【分析】设这款手机的实际长度是x厘米，根据模型长度与实际长度是12∶1，列出比例式，再解比例即可。 【详解】解：设这款手机的实际长度是x厘米。 180∶x＝12∶1 12x＝180 12x÷12＝180÷12 x＝15 答：这款手机的实际长度是15厘米。 3．6月5日是世界环境日，某学校举行了“守护绿色家园”环保志愿者活动。五年级派出40名志愿者，六年级派出的志愿者人数与五年级的人数比是3∶4，六年级派出了多少名志愿者？（用比例解） 【答案】30名 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可，设六年级派出了x名志愿者，根据六年级派出的志愿者人数∶五年级派出的志愿者人数＝3∶4，列出比例解答即可。 【详解】解：设六年级派出了x名志愿者。 x∶40＝3∶4 4x＝40×3 4x÷4＝120÷4 x＝30 答：六年级派出了30名志愿者。 4．手机积分是通过消费话费金额获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费活动，1500积分可兑换30元话费，李老师换了50元话费，她花了多少积分？（用比例解答） 【答案】2500积分 【分析】根据题意，已知1500积分兑换30元，设兑换50元需要积分，可列比例式，根据比例性质解比例即可求出的值。 【详解】解：设兑换50元话费需要积分。 答：她花了2500积分。 5．一种农药。药液与水的比是1∶150，如果配置1208千克的农药，需要药液多少千克？（用比例解） 【答案】8千克 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设需要药液x千克，根据药液∶农药＝1∶（1＋150），列出比例解答即可。 【详解】解：设需要药液x千克。 x∶1208＝1∶（1＋150） x∶1208＝1∶151 151x＝1208×1 151x÷151＝1208÷151 x＝8 答：需要药液8千克。 练习五、图上距离与实际距离的换算 1．在比例尺为∶100000的地图上，5厘米表示的实际距离是 （    ）。 A．0.5千米 B．5千米 C．50千米 D．500千米 【答案】B 【分析】比例尺1∶100000代表图上1厘米对应实际100000厘米。根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，将图上距离5厘米代入计算，得出实际距离，最后再进行单位换算。 【详解】5×100000＝500000（厘米） 500000÷100000＝5（千米） 所以5厘米表示的实际距离是5千米。 故答案为：B 2．把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是( )；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是( )km。 【答案】 1∶4000000 200 【分析】根据线段比例尺可知，图上距离1cm表示实际距离40km。 根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时需统一单位；再根据线段比例尺的含义，求图上5cm表示的实际距离，就是求5个40km是多少，用乘法计算。 【详解】1cm∶40km＝1∶4000000 40×5＝200（km） 这个线段比例尺写成数值比例尺是1∶4000000。如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是200km。 3．在学校综合楼的平面图上，用2cm表示实际长度6m，这幅平面图的比例尺是( )在这幅图上量得教室的长是4.2cm，那么这间教室的实际长是( )m。 【答案】 1∶300 12.6 【分析】根据“比例尺＝图上距离：实际距离”，可直接求得这幅平面图的比例尺；再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求得教室的实际长度。 【详解】 （cm） 所以在学校综合楼的平面图上，用2cm表示实际长度6m，这幅平面图的比例尺是在这幅图上量得教室的长是4.2cm，那么这间教室的实际长是12.6m。 4．体育课上，同学们练习跳远，下面是海海跳远的脚印图。先量一量，再算一算海海实际跳了多远。 【答案】175cm 【分析】 先测量出起跳线到后脚脚后跟的距离，再根据实际距离＝图上距离÷ 比例尺，据此解答。 【详解】量得海海跳远的图上距离是3.5cm （cm） 答：海海实际跳了175cm。 5．一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】图上距离＝比例尺×实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据新的比例尺，求出图上距离。 【详解】30千米＝3000000厘米 15÷ ＝15×3000000 ＝45000000（厘米） 45000000×＝9（厘米） 答：甲、乙两地之间的距离应该画9厘米。 练习六、比例尺的意义及应用 1．在一张比例尺是1∶100的设计图上，量得一个长方形建筑物的长是30cm，宽是20cm。这个建筑物的实际占地面积是( )m2。 【答案】600 【分析】已知长方形建筑物长、宽的图上尺寸和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，分别求出长、宽的实际尺寸，并根据进率换算单位，然后根据长方形的面积＝长×宽，即可求出这个建筑物的实际面积。 【详解】实际长：（厘米）；3000厘米＝30米 实际宽：（厘米）；2000厘米＝20米 面积：（平方米） 综上所述，这个建筑物实际占地面积是600平方米。 2．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【答案】 10时36分 【分析】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离∶实际距离。已知比例尺为1∶2000000，即图上1厘米代表实际2000000厘米，图上距离是量得甲乙两地相距3.6厘米，所以实际距离＝图上距离×比例尺的后项，因为1千米＝100000厘米，求出实际距离；根据时间＝路程÷速度，已知路程，速度为每小时45千米，用路程除以速度可得到行驶时间。用出发的时刻加上行驶时间，求出到达时刻。 【详解】甲、乙两地的实际距离：3.6×2000000＝7200000（厘米） 1千米＝100000厘米，7200000＝72千米。 行驶时间：72÷45＝1.6（小时） 1小时＝60分，0.6×60＝36（分），1.6小时＝1小时36分。 到达时间：9时＋1小时36分＝10时36分 答：上午10时36分可以到达乙地。 3．能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 【答案】110千米/时 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，即图上1厘米代表实际距离20000000厘米。已知图上距离是3.3厘米，要求实际距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算。由于计算结果的单位是厘米，而问题要求的单位是千米，计算后根据进行单位换算，最后根据路程÷时间－甲车的速度即可求出乙车的速度。 【详解】（厘米） （千米/时） 答：乙车的平均速度是110千米/时。 4．在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 【答案】1210km 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出两地实际距离，再根据总路程÷相遇时间＝速度和，因为速度比＝路程比，用速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数即可。 【详解】（厘米） （千米/时） （千米） 答：甲车行驶了1210千米。 【点睛】本题综合考察相遇问题，按比分配问题，比例的应用，需要对各知识点非常熟悉，灵活运用。 5．李老师14：30从市坐动车去市，动车每小时行驶270千米。如果是晴天，李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”还是“满天繁星”？ 【答案】落日余晖 【分析】已知比例尺1∶36000000＝，表示图上1厘米代表实际距离36000000厘米。图上距离是3厘米。根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，可得实际距离为3÷＝3×36000000＝108000000厘米。因为1千米＝100000厘米，所以108000000厘米为108000000÷100000＝1080千米。 已知动车速度是每小时270千米，根据“时间＝路程÷速度”，可得行驶时间为1080÷270＝4小时。李老师14：30＝14时30分，从A市出发，经过4小时后，到达时间是14时30分＋4小时＝18时30分。“落日余晖”表示的是傍晚，“满天繁星”表示的是晚上。18时30分是在傍晚，晴天时看到的景象通常是“落日余晖”。 【详解】1∶36000000＝ 3÷ ＝3×36000000 ＝108000000（厘米） 1千米＝100000厘米 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷270＝4（小时） 14：30＝14时30分 14时30分＋4小时＝18时30分 答：李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”。 练习七、应用比例尺画图 1．医院在学校东偏北30°方向，距离学校1km处；超市在学校西偏南45°方向，距离学校0.5km处。通过测量将图中的比例尺补充完整，并标出超市的位置。 【答案】500；1000；见解析 【分析】用直尺测量图中学校到医院的线段长度，得到图上距离。根据线段比例尺的含义，可将图中的比例尺补充完整。再根据超市距离学校的实际距离，求出超市距离学校的图上距离。以学校为观测点，根据超市在学校西偏南45°方向和计算出的图上距离，在图上标出超市的位置即可。 【详解】从图中测量，医院与学校的图上距离大约是2厘米。因此，比例尺为图上距离2厘米代表实际距离1千米，即1厘米代表0.5千米。0.5千米＝500米，即图上距离1厘米代表实际距离500米，由此图中的比例尺补充500，1000。 超市距离学校0.5千米处，即超市到学校的图上距离为1厘米，如图所示： 2．光明小学的音乐室的形状是一个长16米，宽10米的长方形，请你用1∶500的比例尺通过计算，在方框中画出它的平面图。 【答案】见详解 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据分别求出音乐教室平面图上的长与宽，再根据长与宽的值画图即可。 【详解】16米＝1600厘米 1600×＝3.2（厘米） 10米＝1000厘米 1000×＝2（厘米） 画图如下： 3．如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 【答案】（1）2000；1∶200000 （2）见详解 【分析】（1）根据已知的图上距离和实际距离求出图上1cm代表的实际距离，再根据，得出比例尺； （2）先根据比例尺算出博物馆到育才小学的图上距离，再结合方向在图上进行标注。 【详解】（1）4000÷2＝2000（m） 4000m＝400000cm 图上1cm表示实际距离2000m，这幅图的比例尺是1∶200000。 （2）6000m＝600000cm 解：设图上距离为cm。 博物馆到育才小学的图上距离为3cm。 画图如下： 4．智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 【答案】（1）1∶10000 （2）200米 （3）见详解 【分析】（1）先从图上量出A点到出发点的图上距离，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出这幅图的比例尺。注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）先从图上量出B点距离出发点的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出B户距离出发点的实际距离，再根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可。 （3）已知D户位于出发点东偏南45°方向400米处，先把400米换算成40000厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出D户距离出发点的图上距离。 以图上的“上北下南，左西右东”为准，以出发点为观测点，根据方向、角度和距离在图中画出D户的位置。 【详解】（1）量得A点到出发点的图上距离是3厘米。（以实际测量为准） 3厘米∶300米 ＝3厘米∶（300×100）厘米 ＝3∶30000 ＝（3÷3）∶（30000÷3） ＝1∶10000 答：这幅图的比例尺是1∶10000。 （2）量得B点距离出发点的图上距离是2厘米。（以实际测量为准） 2÷ ＝2×10000 ＝20000（厘米） 2000厘米＝200米 答：B点距离出发点的实际距离是200米。 （3）400米＝40000厘米 40000×＝4（厘米） 如图： 练习八、图形的放大和缩小 1．如图，将左边的大三角形按( )∶( )缩小，可以得到下边的小三角形。 【答案】 1 3 【分析】观察图形，大三角形的高为6cm，底为9cm；小三角形的高为2cm，底为3cm。小三角形的高与大三角形的高的比为2∶6，小三角形的底与大三角形的底的比为3∶9，然后化简即可。 【详解】小三角形的高与大三角形的高的比：2∶6＝（2÷2）∶（6÷2）＝1∶3 小三角形的底与大三角形的底的比：3∶9＝（3÷3）∶（9÷3）＝1∶3 所以大三角形按1∶3缩小，可以得到小三角形。 2．一个长是5cm，宽是4cm的长方形，将它按3∶1放大，得到图形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 54 180 【分析】将长方形按3：1放大，则各边长度扩大到原来的3倍。原长方形的长5cm和宽4cm分别乘3，得到放大后的长15cm和宽12cm，再根据长方形的周长和面积公式计算即可解答。 【详解】放大后的长：5×3＝15（cm） 放大后的宽：4×3＝12（cm） 周长： （15＋12）×2 ＝27×2 ＝54（cm） 面积：15×12＝180（cm2） 一个长是5cm，宽是4cm的长方形，将它按3∶1放大，得到图形的周长是54cm，面积是180cm2。 3．将如图的图形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，请画出缩小后的图形。 【答案】图见详解 【分析】按1∶2的比例画出长方形和三角形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽以及三角形的三边都缩小到原来的，据此作图即可。 【详解】如下图所示： 4．按要求画一画。 （1）将长方形①放大，使放大后的图形②与原图形对应线段长的比为2∶1，画出图形②。 （2）在方格纸中画一个长方形③，使它的长与宽的比为4∶3。 【答案】图见详解 【分析】（1）将长方形①的长和宽同时扩大到原来的2倍，画出放大后的图形②； （2）根据长与宽的比，选择合适的方格数（如长 4 格、宽 3 格），在方格纸中画出长方形③。（答案不唯一） 【详解】（1）先观察长方形①：长方形①的长占 3 个方格，宽占 2 个方格；按2：1放大后，长变为个方格，宽变为个方格；在方格纸中，画出长 6 格、宽 4 格的长方形，即为图形②。 （2）选择长为 4 个方格、宽为 3 个方格（长与宽的比为4：3），在方格纸的空白区域画出该长方形，即为图形③（答案不唯一）。 如下图： 5．先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 【答案】见解析 【分析】梯形按1∶2缩小，则梯形各边都缩小到原来的，据此画出缩小后的梯形；按3∶1放大，则各边都放大到原来的3倍，据此画出放大后的图形。 【详解】根据分析，作图如下： 6．分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 【答案】图见详解； 8平方厘米；72平方厘米；2平方厘米 9倍； 【分析】首先数出原平行四边形的边长，分别根据放大和缩小的比例计算出新的边长，画出相应的图形；然后利用平行四边形面积＝底×高，分别计算原平行四边形和放大、缩小后图形的面积；最后，计算放大后和缩小后图形的面积与原平行四边形的面积之间的倍数关系。 【详解】原平行四边形的底是4厘米，高是2厘米； 按3∶1放大后的底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米）； 按1∶2缩小后的底是4÷2＝2（厘米），高是2÷2＝1（厘米）。 如图： 原平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 放大后图形的面积：12×6＝72（平方厘米） 缩小后图形的面积：2×1＝2（平方厘米） 72÷8＝9 2÷8＝ 答：原平行四边形的面积是8平方厘米，放大后的面积是72平方厘米，缩小后的面积是2平方厘米，放大后图形的面积是原平行四边形面积的9倍，缩小后图形的面积是原平行四边形面积的。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题02 比例 考点梳理 1 考点一、比例的认识 1 考点二、比例的应用 2 考点三、比例尺 2 考点四、图形的放大和缩小 3 例题讲解 3 题型一、比例的意义 3 题型二、比例的基本性质 3 题型三、解比例 4 题型四、比例的应用 4 题型五、图上距离与实际距离的换算 4 题型六、比例尺的意义及应用 5 题型七、应用比例尺画图 5 题型八、图形的放大和缩小 6 培优练习 7 练习一、比例的意义 7 练习二、比例的基本性质 7 练习三、解比例 8 练习四、比例的应用 9 练习五、图上距离与实际距离的换算 10 练习六、比例尺的意义及应用 11 练习七、应用比例尺画图 12 练习八、图形的放大和缩小 13 考点梳理 考点一、比例的认识 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：在比例2:3 = 4:6中，2和6是外项，3和4是内项。 2. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示：若a:b = c:d（b、d均不为0），则ad = bc。 3. 判断两个比能否组成比例 (1)方法一：计算两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；反之不能。 (2)方法二：根据比例的基本性质，若两个比的内项积等于外项积，则能组成比例；反之不能。 考点二、比例的应用 1. 解比例的意义 求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的方法 根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再解方程求出未知项。具体步骤： （1）设未知项为x； （2）根据比例的基本性质，把比例改写成外项积等于内项积的形式（即方程）； （3）解方程求出x的值； （4）检验结果是否符合比例的意义。 3. 用比例解决实际问题 关键是找出题目中两种相关联的量，再根据比例关系列出比例式求解。 考点三、比例尺 1. 比例尺的意义 图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。公式：比例尺。 2. 比例尺的分类 (1)按表现形式分：数值比例尺（如1:1000）和线段比例尺（在图上用一条线段表示实际距离，如“”表示图上1厘米代表实际10米）。 (2)按缩放关系分：缩小比例尺（图上距离小于实际距离，如1:500000）和放大比例尺（图上距离大于实际距离，如20:1，常用于精密零件图纸）。 3. 比例尺的表示方法 (1)数值比例尺通常写成前项或后项是1的比，例如1:50000（缩小比例尺）或50:1（放大比例尺）。 (2)线段比例尺需明确标注每段线段代表的实际距离，如“”表示图上1厘米对应实际50千米。 4. 图上距离与实际距离的计算 (1)已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离=实际距离比例尺。 (2)已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离=图上距离比例尺。（注意单位统一，通常将实际距离的单位换算为厘米后计算，结果再换算回合适单位） 考点四、图形的放大和缩小 1. 图形放大或缩小的意义 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2. 图形放大或缩小的特点 (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比例）； (2)对应角的大小不变（因为形状不变，角度不会改变）； (3)图形的周长比等于放大或缩小的比例，面积比等于放大或缩小比例的平方。 3. 图形放大或缩小的方法 （1）确定放大或缩小的比例（如按2:1放大，即各边长度变为原来的2倍；按1:3缩小，即各边长度变为原来的）； （2）分别计算原图形各边的长度与比例的乘积，得到放大或缩小后图形各边的长度； （3）按计算出的新长度画出图形，确保对应角大小不变。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】在比例4∶9=20∶45中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 【练习1】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 题型二、比例的基本性质 【例题2】如果7＝8（、不为0），则∶＝( )∶( )。 【练习2】在一个比例中，两个内项的积是24，一个外项是最小的合数，另一个外项是( )。 题型三、解比例 【例题3】解方程。            【练习3】解方程。                       题型四、比例的应用 【例题4】某汽车生产厂设计制作了一个赛车模型，模型的长与赛车实际长度的比是1∶50。赛车的实际长度是500厘米，模型的长度是多少厘米？ 【练习4】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？（用比例解） 题型五、图上距离与实际距离的换算 【例题5】一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 【练习5】在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 题型六、比例尺的意义及应用 【例题6】坐落于西安市未央区的西安北客站是亚洲最大高铁站之一，西成（西安至成都）高铁就从这里出发，实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活梦想。在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为( )千米。 【练习6】在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 题型七、应用比例尺画图 【例题7】修建一个长100米、宽40米的长方形泳池，按比例尺1∶2000在下面画出泳池的平面图。（标出泳池的长、宽，在图的上面写出计算过程） 【练习7】某中心广场四周建筑物如下图所示。 （1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）电影院在中心广场（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）m。 （3）游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m。请在右图中用“☆”标出游乐场的所在地。 题型八、图形的放大和缩小 【例题8】在下面的方格纸上画出长方形按2∶1放大后的图形，画出三角形按1∶3缩小后的图形。 【练习8】把图A按1∶4缩小，图B按2∶1放大。 培优练习 练习一、比例的意义 1．下面（    ）中的两个比能组成一个比例。 A．8∶7和14∶16 B．0.6∶0.2和9∶3 C．19∶11和10∶7 D．6∶7和 2．4∶3和0.2∶0.15( )（填“能”或“不能”）组成比例；用21的因数组成一个比例是( )。 3．下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 4．用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成的比例，单位：cm） 练习二、比例的基本性质 1．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 2．根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 3．在比例里，两个外项的积是18，其中一个内项是2，另一个内项是( )。 4．在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是( )。 5．一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 6．如果a∶b＝5∶7，那么a×( )＝b×( )，如果5a＝4b（a，b都不为0），那么a∶b＝( )。 练习三、解比例 1．解比例，＝，x＝（    ）。 A．2 B．8 C．2.25 2．在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是( )或( )。 3．若1.5a＝2b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )，若b＝6，那么a＝( )。 4．解比例。                                      5．解比例。                             （2－x）∶5＝3∶20 练习四、比例的应用 1．合金是由两种或两种以上的金属与金属或非金属经一定方法所合成的具有金属特性的物质。一块合金中铜与锌的质量比是3∶8，其中含铜18克，含锌多少克？（用比例解） 2．KT板宣传以低成本、高适配性和快速部署的优势，实现多场景、短周期的精准信息传播与品牌曝光。某手机商店门口放着一个模型长度与实际长度按12∶1的比例制作的新款手机KT板模型。已知一款手机模型的长度是180厘米。这款手机的实际长度是多少厘米？（列比例解答） 3．6月5日是世界环境日，某学校举行了“守护绿色家园”环保志愿者活动。五年级派出40名志愿者，六年级派出的志愿者人数与五年级的人数比是3∶4，六年级派出了多少名志愿者？（用比例解） 4．手机积分是通过消费话费金额获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费活动，1500积分可兑换30元话费，李老师换了50元话费，她花了多少积分？（用比例解答） 5．一种农药。药液与水的比是1∶150，如果配置1208千克的农药，需要药液多少千克？（用比例解） 练习五、图上距离与实际距离的换算 1．在比例尺为∶100000的地图上，5厘米表示的实际距离是 （    ）。 A．0.5千米 B．5千米 C．50千米 D．500千米 2．把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是( )；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是( )km。 3．在学校综合楼的平面图上，用2cm表示实际长度6m，这幅平面图的比例尺是( )在这幅图上量得教室的长是4.2cm，那么这间教室的实际长是( )m。 4．体育课上，同学们练习跳远，下面是海海跳远的脚印图。先量一量，再算一算海海实际跳了多远。 5．一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 练习六、比例尺的意义及应用 1．在一张比例尺是1∶100的设计图上，量得一个长方形建筑物的长是30cm，宽是20cm。这个建筑物的实际占地面积是( )m2。 2．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 3．能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 4．在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 5．李老师14：30从市坐动车去市，动车每小时行驶270千米。如果是晴天，李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”还是“满天繁星”？ 练习七、应用比例尺画图 1．医院在学校东偏北30°方向，距离学校1km处；超市在学校西偏南45°方向，距离学校0.5km处。通过测量将图中的比例尺补充完整，并标出超市的位置。 2．光明小学的音乐室的形状是一个长16米，宽10米的长方形，请你用1∶500的比例尺通过计算，在方框中画出它的平面图。 3．如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 4．智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 练习八、图形的放大和缩小 1．如图，将左边的大三角形按( )∶( )缩小，可以得到下边的小三角形。 2．一个长是5cm，宽是4cm的长方形，将它按3∶1放大，得到图形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 3．将如图的图形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，请画出缩小后的图形。 4．按要求画一画。 （1）将长方形①放大，使放大后的图形②与原图形对应线段长的比为2∶1，画出图形②。 （2）在方格纸中画一个长方形③，使它的长与宽的比为4∶3。 5．先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 6．分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $