单元培优讲义：专题01 圆柱与圆锥（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题01 圆柱与圆锥 考点梳理 1 考点一、面的旋转 1 考点二、圆柱的表面积 2 考点三、圆柱的体积 3 考点四、圆锥的体积 3 例题讲解 3 题型一、点、线、面、体之间的联系 3 题型二、圆柱和圆锥的认识及特征 4 题型三、圆柱的展开图 4 题型四、圆柱的侧面积 5 题型五、圆柱的表面积 5 题型六、圆柱的体积 6 题型七、圆柱与圆锥体积的关系 6 题型八、圆锥的体积 6 培优练习 7 练习一、点、线、面、体之间的联系 7 练习二、圆柱和圆锥的认识及特征 7 练习三、圆柱的展开图 9 练习四、圆柱的侧面积 9 练习五、圆柱的表面积 10 练习六、圆柱的体积 11 练习七、圆柱与圆锥体积的关系 13 练习八、圆锥的体积 14 考点梳理 考点一、面的旋转 1. 点、线、面、体的关系 (1)点动成线：将一个点沿着一定方向移动，轨迹形成一条线（如笔尖在纸上移动形成线条）。 (2)线动成面：将一条线（直线或曲线）沿着与其不平行的方向移动，轨迹形成一个面（如长方形纸条绕一边旋转一周形成圆柱的侧面）。 (3)面动成体：将一个平面图形沿着与其所在平面不平行的方向移动或旋转，轨迹形成一个立体图形（如长方形绕一条边旋转形成圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥）。 2. 圆柱的形成与各部分名称 (1)形成：以长方形的一条边为轴，将长方形旋转一周，所形成的立体图形就是圆柱。这条轴称为圆柱的“轴”，与轴相对的另一条边旋转形成的曲面称为圆柱的“侧面”，长方形的另外两条边旋转形成的两个圆形平面称为圆柱的“底面”。 (2)各部分名称： ①　底面：圆柱有两个底面，是完全相同的圆形，所在平面互相平行。 ②　侧面：围成圆柱的曲面，展开后通常是一个长方形（或正方形）。 ③　高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3. 圆锥的形成与各部分名称 (1)形成：以直角三角形的一条直角边为轴，将直角三角形旋转一周，所形成的立体图形就是圆锥。这条轴称为圆锥的“轴”，另一条直角边旋转形成的曲面称为圆锥的“侧面”，直角三角形的斜边旋转形成圆锥的顶点，与轴垂直的直角边旋转形成的圆形平面称为圆锥的“底面”。 (2)各部分名称： ①　底面：圆锥有一个底面，是圆形。 ②　侧面：围成圆锥的曲面，展开后是一个扇形。 ③　顶点：圆锥顶端的尖点。 ④　高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 考点二、圆柱的表面积 1. 圆柱表面积的定义 圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积之和，包括两个底面的面积和一个侧面的面积，即：圆柱表面积=侧面积+2个底面积。 2. 圆柱侧面积的计算 (1)侧面展开图：将圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个长方形（当圆柱的底面周长等于高时，展开图是正方形）。 (2)长方形与圆柱的关系：长方形的长等于圆柱底面的周长（C=2πr或C=πd），长方形的宽等于圆柱的高（h）。 (3)侧面积公式：因为长方形面积=长×宽，所以圆柱侧面积=底面周长×高，用字母表示为：S侧=Ch=2πrh=πdh（其中r为底面半径，d为底面直径，h为圆柱的高）。 3. 圆柱底面积的计算 圆柱的底面是圆形，根据圆的面积公式，底面积=πr²，因此两个底面积之和为2πr²。 4. 圆柱表面积的综合公式 结合侧面积和底面积，圆柱表面积公式为：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²=2πr(h+r)。 考点三、圆柱的体积 1. 圆柱体积的定义 圆柱的体积是指圆柱所占空间的大小。 2. 圆柱体积公式的推导 (1)转化思想：将圆柱沿着底面直径和高切开，分成若干等份（如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方体。分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。 (2)长方体与圆柱的关系：拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积（S），长方体的高等于圆柱的高（h）。 (3)体积公式：因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh。若已知底面半径r，可进一步表示为V=πr²h（因为底面积S=πr²）。 考点四、圆锥的体积 1. 圆锥体积的定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小。 2. 圆锥体积公式的推导（实验法） (1)实验过程：用同底等高的圆柱形容器和圆锥形容器进行实验。将圆锥形容器装满水（或沙子），倒入圆柱形容器中，发现正好倒满3次。 (2)结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 (3)体积公式：若圆锥的底面积为S，高为h，则圆锥体积=×底面积×高，用字母表示为：V=Sh。若已知底面半径r，可表示为V=πr²h。 3. 关键条件说明 圆锥体积公式“V=Sh”的成立前提是“等底等高”，即圆锥与圆柱的底面面积相等，高也相等。若未明确“等底等高”，则不能直接用此关系进行体积计算。 例题讲解 题型一、点、线、面、体之间的联系 【例题1】下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习1】下面图形中，（    ）绕轴旋转一周所形成的图形是圆锥。 A． B． C． D． 题型二、圆柱和圆锥的认识及特征 【例题2】将如图的长方形旋转一周得到的图形是( )，这个图形的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【练习2】如图所示是一个圆锥，该圆锥有( )条高，高是( )cm，底面积是( )cm2。 题型三、圆柱的展开图 【例题3】下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【练习3】一个圆柱体，侧面展开图是正方形，它的边长是12.56厘米，圆柱的底面半径是（    ）厘米。 A．0.3 B．10 C．2 D．3 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】量得一个圆柱的底面周长是94.2cm，高是25cm，这个圆柱的侧面积是( )。 【练习4】王叔叔用铁皮做一根圆柱形通风管，通风管长7dm，横截面的直径为4dm。做这根通风管至少需要多少平方分米的铁皮？ 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求圆柱的表面积。 【练习5】一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径为4分米，高为7分米。做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） 题型六、圆柱的体积 【例题6】在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【练习6】一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 题型七、圆柱与圆锥体积的关系 【例题7】一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，那么圆锥体积是( )cm3，圆柱体积是( )cm3。 【练习7】如图，瓶子瓶口的面积和高脚杯杯口的面积相等，如果将瓶子装满水倒入高脚杯中，能倒满（    ）杯。 A．6 B．5 C．4 D．7 题型八、圆锥的体积 【例题8】计算下面图形的体积。（单位：cm）   【练习8】一个圆锥形稻谷堆，量得它的底面直径为2米，高为1.5米，如果每立方米的稻谷重750千克，这堆稻谷共重多少千克？ 培优练习 练习一、点、线、面、体之间的联系 1．以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 2．下面各图形中，绕任意一边旋转一周能得到圆柱的是（    ）。 A．梯形 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形 3．将如图的长方形绕直线l旋转一周，得到的图形是( )，它的底面直径是( )cm，高是( )cm。 4．上面图形旋转一周所形成的图形是下面的哪一个，连一连。 练习二、圆柱和圆锥的认识及特征 1．把下面这些图形分别卷起来，能卷成圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 2．圆柱的每个底面是( )的两个( )。 3．嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由( )和( )组成的。 4．一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 5．为配合商场搞促销，某饮料厂需定制一种能够摆放12个饮料罐的小包装纸箱（如下图）。已知这种饮料罐的形状为圆柱形，外底面直径是7厘米，高是12厘米，你知道这种纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米吗？ 6．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 练习三、圆柱的展开图 1．一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 （    ）平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 2．下面图（    ）是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 3．把一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )，当圆柱的( )等于( )时，侧面展开是一个正方形。 练习四、圆柱的侧面积 1．用一张长4cm，宽3cm的长方形纸围成一个圆柱形纸筒，它的侧面积是（    ）。 A．37.68cm2 B．12.56cm2 C．18.84cm2 D．12cm2 2．一个圆柱体的侧面展开是一个边长是7cm的正方形。这个圆柱的侧面积是( )cm2。 3．一个圆柱的侧面积是251.2cm2，高是8cm，底面半径是( )cm。 4．滚筒式粘毛器是必不可少的家居好物，可以用来清理衣服上的灰尘，也可以用来清理宠物掉落的毛发。小乐妈妈购买了一个粘毛器，滚筒长20cm，半径为3.5cm，它每滚动一周清理的面积是( )cm2。 5．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 练习五、圆柱的表面积 1．一个圆柱的展开图如图（单位：厘米），它的表面积是（    ）平方厘米。 A．36π B．60π C．66π D．72π 2．一个圆柱体，底面直径和高都是6厘米，侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 3．一个圆柱形铁块的侧面积是，高是，它的底面半径是( )cm，表面积是( )。 4．求下列圆柱的表面积。（单位：cm） （1）   （2） 5．花城广场新建了一个圆柱形音乐喷泉，喷泉水池内部的底面直径是5m，池深0.9m。现在要在水池内壁和底部都抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 6．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚长10米，横截面是一个直径为4米的半圆形。覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？ 练习六、圆柱的体积 1．一个圆柱形零件的体积是，高是20cm，底面直径是（    ）cm。 A．12.56 B．6.28 C．4 D．2 2．一个圆柱的高是4.8dm，底面积是6cm2，这个圆柱的体积是( )cm3。 3．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 4．某小学教学楼门前的圆柱形大柱子高是4m，底面周长是3.14m。柱子的侧面积是( )，体积是( )。 5．计算下面图形的体积。（单位：cm） 6．求出下面几何体的体积。（单位：dm） 7．手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 8．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开。”大雪过后，海海家院子里的圆形石桌上积了一层雪（如下图）。这些雪的体积大约是75.36dm3，雪的厚度大约是多少分米？ 9．一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 10．一个圆柱形蓄水池，底面直径是2米，深3米。在蓄水池的周围和底面抹上水泥。 （1）抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池可以容纳多少立方米水？ 11．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 练习七、圆柱与圆锥体积的关系 1．用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 2．下面的圆柱（    ）与圆锥体积相等。 A． B． C． D． 3．如图，把一个体积是48立方分米的圆柱形木块，削成两个相同的圆锥形木块，则一个圆锥形木块的体积是（    ）立方分米。 A．8 B．16 C．10 D．24 4．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积之和是，圆锥的体积是( )。 5．一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 练习八、圆锥的体积 1．一个圆锥的底面直径是2dm，体积是12.56dm3，这个圆锥的高是( )dm。 2．“孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。”渔翁头上戴着一个圆锥形斗笠，如下图所示。这顶斗笠平放在桌面上所占空间的大小是( )。 3．如图，将直角三角形分别以，两条直角边为轴旋转一周，所成的两个立体图形的体积分别是( )和( )。 4．求圆锥体的体积。 5．中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 6．把一个底面直径为6dm、高为15dm的圆锥形金属零件熔化后，锻制成一个和它等高的圆柱。这个圆柱的底面积为多少平方分米？ 7．一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 8．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计算时间的。下图就是一个沙漏，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下面，那么共计量了多少分钟？（单位：厘米） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题01 圆柱与圆锥 考点梳理 1 考点一、面的旋转 1 考点二、圆柱的表面积 2 考点三、圆柱的体积 3 考点四、圆锥的体积 3 例题讲解 3 题型一、点、线、面、体之间的联系 3 题型二、圆柱和圆锥的认识及特征 4 题型三、圆柱的展开图 5 题型四、圆柱的侧面积 7 题型五、圆柱的表面积 7 题型六、圆柱的体积 8 题型七、圆柱与圆锥体积的关系 9 题型八、圆锥的体积 11 培优练习 12 练习一、点、线、面、体之间的联系 12 练习二、圆柱和圆锥的认识及特征 14 练习三、圆柱的展开图 17 练习四、圆柱的侧面积 18 练习五、圆柱的表面积 20 练习六、圆柱的体积 23 练习七、圆柱与圆锥体积的关系 29 练习八、圆锥的体积 32 考点梳理 考点一、面的旋转 1. 点、线、面、体的关系 (1)点动成线：将一个点沿着一定方向移动，轨迹形成一条线（如笔尖在纸上移动形成线条）。 (2)线动成面：将一条线（直线或曲线）沿着与其不平行的方向移动，轨迹形成一个面（如长方形纸条绕一边旋转一周形成圆柱的侧面）。 (3)面动成体：将一个平面图形沿着与其所在平面不平行的方向移动或旋转，轨迹形成一个立体图形（如长方形绕一条边旋转形成圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转形成圆锥）。 2. 圆柱的形成与各部分名称 (1)形成：以长方形的一条边为轴，将长方形旋转一周，所形成的立体图形就是圆柱。这条轴称为圆柱的“轴”，与轴相对的另一条边旋转形成的曲面称为圆柱的“侧面”，长方形的另外两条边旋转形成的两个圆形平面称为圆柱的“底面”。 (2)各部分名称： ①　底面：圆柱有两个底面，是完全相同的圆形，所在平面互相平行。 ②　侧面：围成圆柱的曲面，展开后通常是一个长方形（或正方形）。 ③　高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 3. 圆锥的形成与各部分名称 (1)形成：以直角三角形的一条直角边为轴，将直角三角形旋转一周，所形成的立体图形就是圆锥。这条轴称为圆锥的“轴”，另一条直角边旋转形成的曲面称为圆锥的“侧面”，直角三角形的斜边旋转形成圆锥的顶点，与轴垂直的直角边旋转形成的圆形平面称为圆锥的“底面”。 (2)各部分名称： ①　底面：圆锥有一个底面，是圆形。 ②　侧面：围成圆锥的曲面，展开后是一个扇形。 ③　顶点：圆锥顶端的尖点。 ④　高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 考点二、圆柱的表面积 1. 圆柱表面积的定义 圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积之和，包括两个底面的面积和一个侧面的面积，即：圆柱表面积=侧面积+2个底面积。 2. 圆柱侧面积的计算 (1)侧面展开图：将圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个长方形（当圆柱的底面周长等于高时，展开图是正方形）。 (2)长方形与圆柱的关系：长方形的长等于圆柱底面的周长（C=2πr或C=πd），长方形的宽等于圆柱的高（h）。 (3)侧面积公式：因为长方形面积=长×宽，所以圆柱侧面积=底面周长×高，用字母表示为：S侧=Ch=2πrh=πdh（其中r为底面半径，d为底面直径，h为圆柱的高）。 3. 圆柱底面积的计算 圆柱的底面是圆形，根据圆的面积公式，底面积=πr²，因此两个底面积之和为2πr²。 4. 圆柱表面积的综合公式 结合侧面积和底面积，圆柱表面积公式为：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²=2πr(h+r)。 考点三、圆柱的体积 1. 圆柱体积的定义 圆柱的体积是指圆柱所占空间的大小。 2. 圆柱体积公式的推导 (1)转化思想：将圆柱沿着底面直径和高切开，分成若干等份（如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方体。分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。 (2)长方体与圆柱的关系：拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积（S），长方体的高等于圆柱的高（h）。 (3)体积公式：因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh。若已知底面半径r，可进一步表示为V=πr²h（因为底面积S=πr²）。 考点四、圆锥的体积 1. 圆锥体积的定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小。 2. 圆锥体积公式的推导（实验法） (1)实验过程：用同底等高的圆柱形容器和圆锥形容器进行实验。将圆锥形容器装满水（或沙子），倒入圆柱形容器中，发现正好倒满3次。 (2)结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 (3)体积公式：若圆锥的底面积为S，高为h，则圆锥体积=×底面积×高，用字母表示为：V=Sh。若已知底面半径r，可表示为V=πr²h。 3. 关键条件说明 圆锥体积公式“V=Sh”的成立前提是“等底等高”，即圆锥与圆柱的底面面积相等，高也相等。若未明确“等底等高”，则不能直接用此关系进行体积计算。 例题讲解 题型一、点、线、面、体之间的联系 【例题1】下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，由于长方形或正方形的特征，它的上、下两个面是以长方形或正方形的另一条边为半径的两个完全一样的圆，与轴平行的一边通过旋转形成一个曲面，这样就得到一个圆柱，据此解答。 【详解】 根据分析可知，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是。 故答案为：C 【练习1】下面图形中，（    ）绕轴旋转一周所形成的图形是圆锥。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，才能得到圆锥。 【详解】 下面图形中，绕轴旋转一周所形成的图形是圆锥。 故答案为：D 题型二、圆柱和圆锥的认识及特征 【例题2】将如图的长方形旋转一周得到的图形是( )，这个图形的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 圆柱/圆柱体 10 2 【分析】长方形绕着一条边旋转一周，会形成一个圆柱。从图中可知，长方形的长为5cm，当绕着长方形的一条宽（长度为2cm的边）所在的直线旋转时，长方形的长5cm就成为了圆柱底面的半径。那么底面直径为5×2＝10cm。长方形的宽2cm，在旋转过程中，这条宽的长度就是圆柱的高。 【详解】长方形绕着一条边旋转一周，会形成一个圆柱。长方形的长为圆柱底面半径，宽为圆柱的高。 5×2＝10（cm） 长方形旋转一周得到的图形是圆柱，这个图形的底面直径是10cm，高是2cm。 【练习2】如图所示是一个圆锥，该圆锥有( )条高，高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 1 4 28.26 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此确定圆锥的高；看图可知，圆锥的底面直径是6cm，根据圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 该圆锥有1条高，高是4cm，底面积是28.26cm2。 题型三、圆柱的展开图 【例题3】下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 【练习3】一个圆柱体，侧面展开图是正方形，它的边长是12.56厘米，圆柱的底面半径是（    ）厘米。 A．0.3 B．10 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由圆柱侧面展开图的特征可知，当圆柱的侧面展开是正方形时，正方形的边长既等于圆柱的底面周长，也等于圆柱的高，则圆柱的底面周长是12.56厘米，利用“”求出圆柱的底面半径，据此解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 所以，圆柱的底面半径是2厘米。 故答案为：C 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】量得一个圆柱的底面周长是94.2cm，高是25cm，这个圆柱的侧面积是( )。 【答案】2355 【分析】已知量得一个圆柱的底面周长是94.2cm，高是25cm，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，即可算出这个圆柱的侧面积，据此解答。 【详解】（平方厘米） 这个圆柱的侧面积是2355平方厘米。 【练习4】王叔叔用铁皮做一根圆柱形通风管，通风管长7dm，横截面的直径为4dm。做这根通风管至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】87.92平方分米 【分析】圆柱形通风管只有侧面没有顶面和底面，所以求需要的铁皮面积就是求圆柱的侧面积。圆柱侧面积=底面周长×高，底面圆周长=π×直径，已知通风管长7分米（即高为7分米），横截面直径为4分米，代入数据计算即可。 【详解】底面圆周长：（分米） 侧面积：（平方分米） 答：做这根通风管至少需要87.92平方分米的铁皮。 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求圆柱的表面积。 【答案】244.92cm2 【分析】由图可知，圆柱的底面半径是3cm，高是10cm，利用“”求出该圆柱的表面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝244.92（cm2） 圆柱的表面积是244.92cm2。 【练习5】一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径为4分米，高为7分米。做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） 【答案】101平方分米 【分析】由于水桶无盖，因此它的表面积仅包括一个底面的面积和侧面的面积，无需计算上盖的面积。那么圆柱形铁皮水桶的表面积为：S＝πr2＋2πrh（r是底面半径，h是高，π取3.14），已知底面直径为4分米，半径为4÷2＝2分米，高为7分米。把数据代入公式计算即可解答。 【详解】4÷2＝2分米 3.14×22＋2×3.14×2×7 ＝3.14×4＋87.92 ＝12.56＋87.92 ＝100.48（平方分米） 根据实际需要，100.48平方分米向上取整为101平方分米。 答：做这个水桶至少需要101平方分米的铁皮。 题型六、圆柱的体积 【例题6】在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【分析】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 【练习6】一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 【答案】0.785/ 【分析】从图中可知，长方形铁皮的长51.4厘米是由2个圆的直径d和圆柱的底面周长πd组成，据此列出方程，求出圆的直径d； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出这个茶桶的容积，并根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位。 【详解】解：设圆的直径是d厘米。 2d＋3.14d＝51.4 5.14d＝51.4 5.14d÷5.14＝51.4÷5.14 d＝10 茶桶的容积： 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 785立方厘米＝0.785升 这个茶桶的容积是（0.785）升。 题型七、圆柱与圆锥体积的关系 【例题7】一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，那么圆锥体积是( )cm3，圆柱体积是( )cm3。 【答案】 6 18 【分析】等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，即圆柱体积比圆锥体积大2倍，所以等底等高时，V柱＝3V锥，那么V柱－V锥＝3V锥－V锥＝2V锥。已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，也就是V柱－V锥＝12cm3，又因为V柱－V锥＝2V锥，所以2V锥＝12，则圆锥体积为12÷2＝6cm3。因为V柱＝3V锥，所以圆柱体积为3×6＝18cm3。 【详解】等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，即圆柱体积比圆锥体积大2倍。 V柱－V锥＝3V锥－V锥＝2V锥 V柱－V锥＝12（cm3） V柱－V锥＝2V锥 2V锥＝12（cm3） 12÷2＝6（cm3） 3×6＝18（cm3） 圆锥体积是6cm3，圆柱体积是18cm3。 【练习7】如图，瓶子瓶口的面积和高脚杯杯口的面积相等，如果将瓶子装满水倒入高脚杯中，能倒满（    ）杯。 A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】A 【分析】观察图形，瓶子（圆柱）的总高是7＋7＝14cm，高脚杯（圆锥）的高是7cm，瓶子相当于2个等底、高为7cm的圆柱，此时2个圆柱和圆锥等底等高；圆柱体积是与其等底等高圆锥体积的3倍，所以每一段圆柱的体积是高脚杯体积的3倍 ，即一段圆柱的水可以倒满3杯圆锥（高脚杯），则2段圆柱总共能倒3×2＝6杯。据此解答。 【详解】3×2＝6（杯） 所以能倒满6杯。 故答案为：A 题型八、圆锥的体积 【例题8】计算下面图形的体积。（单位：cm）   【答案】615.44 【分析】根据圆锥的体积公式，代入数据即可。 【详解】 （） 答：图形的体积是615.44。 【练习8】一个圆锥形稻谷堆，量得它的底面直径为2米，高为1.5米，如果每立方米的稻谷重750千克，这堆稻谷共重多少千克？ 【答案】1177.5千克 【分析】圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式求出圆锥形谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量即可解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×1.5××750 ＝3.14×12×1.5××750 ＝3.14×1×1.5××750 ＝4.71××750 ＝1.57×750 ＝1177.5（千克） 答：这堆稻谷共重1177.5千克。 培优练习 练习一、点、线、面、体之间的联系 1．以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】圆柱的特征：有两个底面，是圆形，一个侧面，是曲面；以长方形的一条边所在的直线为轴，把长方形旋转一周可以得到一个圆柱。 【详解】以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个圆柱。 故答案为：B 2．下面各图形中，绕任意一边旋转一周能得到圆柱的是（    ）。 A．梯形 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】圆柱是以长方形的一条边所在的直线为旋转轴，其余三边绕旋转轴旋转一周而形成的几何体。关键条件是旋转时，图形中与旋转轴相对的另一边必须与轴保持垂直且距离相等，这样旋转后的轨迹才能形成规则的圆形底面和顶面，从而构成圆柱。 【详解】A．梯形上下底不相等，绕某边旋转时，对边到轴的距离不相等，形成的立体图形是圆台或复杂曲面，而非圆柱。 B．绕边旋转会形成圆锥，而非圆柱。 C．普通平行四边形邻边不垂直。绕某边旋转时，对边到轴的距离会变化（如倾斜边的端点与轴的距离不同），形成的立体图形不是圆柱。 D．正方形是特殊的长方形，四条边长度相等且邻边互相垂直。绕任意一条边旋转时，与旋转轴相对的另一边始终与轴垂直，且距离（边长）相等，因此旋转后形成的立体图形是圆柱。 故答案为：D 3．将如图的长方形绕直线l旋转一周，得到的图形是( )，它的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 圆柱 4 5 【分析】根据题意，将一个长方形绕着长所在的直线旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的宽，圆柱的高等于长方形的长。 【详解】底面直径：2×2＝4（cm） 长方形绕直线l旋转一周，得到的图形是圆柱，它的底面直径是4cm，高是5cm。 4．上面图形旋转一周所形成的图形是下面的哪一个，连一连。 【答案】见详解 【分析】第一个图形中是正方形的一条边旋转一周，能得到圆柱；第二个图形中一个半圆绕直径旋转一周，得到球；第三个图形是一个直角三角形，沿着直角边旋转一周得到圆锥；第四个图形中是一个直角梯形的沿着直角边旋转一周得到一个圆台。据此可得出答案。 【详解】 练习二、圆柱和圆锥的认识及特征 1．把下面这些图形分别卷起来，能卷成圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的特征：圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的底面是一个圆。所以能卷成圆锥的图形需要是扇形。 【详解】A．该图形是三角形，三角形卷起来无法形成圆锥的侧面（圆锥侧面需是扇形，三角形不具备扇形的弧边特征），所以不能卷成圆锥。 B．该图形是扇形，扇形卷起来时，弧边可围成一个圆（圆锥的底面），两条半径可重合形成圆锥的面，所以能卷成圆锥。 C．该图形是长方形，长方形卷起来可形成圆柱的侧面（圆柱侧面展开是长方形），无法形成圆锥的侧面，所以不能卷成圆锥。 D．该图形是梯形，梯形卷起来既无法形成圆锥的侧面（不具备扇形特征），也不能形成圆柱等符合要求的立体图形侧面，所以不能卷成圆锥。 所以能卷成圆锥的是选项B中的。 故答案为：B 2．圆柱的每个底面是( )的两个( )。 【答案】 相同 圆 【分析】根据圆柱的特征和侧面展开图的特点：圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；两个底面之间的距离叫圆柱的高，由此解答即可。 【详解】如图： 圆柱的每个底面是相同的两个圆。 3．嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由( )和( )组成的。 【答案】 圆柱 圆锥 【分析】观察题中图片可知，火箭模型的主体主要是由圆柱和圆锥组成，据此来完成填空。 【详解】嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由圆柱和圆锥组成的。 4．一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 【答案】 圆锥 113.04 【分析】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个圆锥，直角三角形的长直角边是圆锥的高，短直角边是圆锥的底面半径，根据圆的面积公式，代入数据可得解。 【详解】 （平方厘米） 可以得到一个圆锥，得到的图形的底面积是113.04平方厘米。 5．为配合商场搞促销，某饮料厂需定制一种能够摆放12个饮料罐的小包装纸箱（如下图）。已知这种饮料罐的形状为圆柱形，外底面直径是7厘米，高是12厘米，你知道这种纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米吗？ 【答案】28厘米；21厘米；12厘米 【分析】箱的长相当于4个圆柱形饮料罐的底面直径之和，宽相当于3个圆柱形饮料罐的底面直径之和，高相当于圆柱形饮料罐的高。据此解答。 【详解】长：4×7＝28（厘米） 宽：3×7＝21（厘米） 高：1×12＝12（厘米） 答：这个纸箱的长是28厘米，宽是21厘米，高是12厘米。 6．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 【答案】252厘米 【分析】由图可知：塑料绳的长度等于4条直径＋4条高＋打结用去的长度；据此解答。 【详解】40×4＋20×4＋12 ＝160＋80＋12 ＝252（厘米） 答：扎这个盒子至少用塑料绳252厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱的特征，明确有几条直径、几条高是解题的关键。 练习三、圆柱的展开图 1．一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开，得到的平行四边形的面积是 （    ）平方厘米。 A．60 B．120 C．188.4 D．376.8 【答案】D 【分析】圆柱侧面斜着剪开是个平行四边形，平行四边形面积＝圆柱侧面积，平行四边形的底＝圆柱底面周长，平行四边形的高＝圆柱的高，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，计算出圆柱侧面积就是这个平行四边形的面积。 【详解】2×3.14×6×10 ＝6.28×6×10 ＝37.68×10 ＝376.8（平方厘米） 得到的平行四边形的面积是376.8平方厘米。 故答案为：D 2．下面图（    ）是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断哪个图是圆柱的展开图，需依据圆柱展开图的特征：圆柱侧面展开为长方形，长方形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高；上下底面是两个完全相同的圆。 【详解】A.根据，底面圆的周长为cm，长方形的长是9.42cm，长方形的长等于底面圆的周长，是圆柱的展开图。 B.根据，底面圆的周长为cm，长方形的长是12cm，长方形的长不等于底面圆的周长，不是圆柱的展开图。 C.虽然底面圆的周长与长方形的长相等，但两个底面圆展开后应该和长连接，该图是和宽连接的，不是圆柱的展开图。 D.根据，底面圆的周长为cm，长方形的长是3cm，长方形的长不等于底面圆的周长，不是圆柱的展开图。 故答案为：A 3．把一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )，当圆柱的( )等于( )时，侧面展开是一个正方形。 【答案】 底面周长 高 底面周长 高 【详解】把一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，当圆柱的底面周长等于高时，侧面展开是一个正方形。 练习四、圆柱的侧面积 1．用一张长4cm，宽3cm的长方形纸围成一个圆柱形纸筒，它的侧面积是（    ）。 A．37.68cm2 B．12.56cm2 C．18.84cm2 D．12cm2 【答案】D 【分析】根据题意，用一张长方形纸围成一个圆柱形纸筒，那么圆柱的侧面积就是长方形纸的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出它的侧面积。 【详解】4×3＝12（cm2） 它的侧面积是12cm2。 故答案为：D 2．一个圆柱体的侧面展开是一个边长是7cm的正方形。这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【答案】49 【分析】一个圆柱体的侧面展开是一个边长是7cm的正方形，说明圆柱的高是7cm，底面周长是7cm，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此列式解答即可。 【详解】7×7＝49（） 所以这个圆柱的侧面积是49。 3．一个圆柱的侧面积是251.2cm2，高是8cm，底面半径是( )cm。 【答案】5 【分析】根据圆柱底面周长＝圆柱的侧面积÷高，圆柱底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，列式计算即可。 【详解】251.2÷8＝31.4（cm） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 底面半径是5cm。 4．滚筒式粘毛器是必不可少的家居好物，可以用来清理衣服上的灰尘，也可以用来清理宠物掉落的毛发。小乐妈妈购买了一个粘毛器，滚筒长20cm，半径为3.5cm，它每滚动一周清理的面积是( )cm2。 【答案】439.6 【分析】滚筒滚动一周清理的面积等于圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为底面周长×高，其中底面周长＝2πr，高即滚筒的长度。代入半径3.5cm和长度20cm计算即可。 【详解】2×3.14×3.5×20 ＝21.98×20 ＝439.6（cm2） 所以，它每滚动一周清理的面积是439.6cm2。 5．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】9.04千克 【分析】油漆仅需涂侧面，无需涂上下底面，所以需要计算圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），共有6根柱子，所以需要涂的总面积为：2πrh×6，底面半径是4分米，高20分米，每平方米用油漆0.3千克；把数据代入计算后，把单位换算成平方米，再与0.3相乘即可解答。 【详解】2×3.14×4×20×6＝3014.4（平方分米） 1平方米＝100平方分米 3014.4÷100＝30.144（平方米） 0.3×30.144≈9.04（千克） 答：一共需要油漆大约9.04千克。 练习五、圆柱的表面积 1．一个圆柱的展开图如图（单位：厘米），它的表面积是（    ）平方厘米。 A．36π B．60π C．66π D．72π 【答案】C 【分析】根据、圆柱的侧面积公式、半径＝直径÷2、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 一个圆柱的展开图如图（单位：厘米），它的表面积是平方厘米。 故答案为：C 2．一个圆柱体，底面直径和高都是6厘米，侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 113.04 169.56 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高＝πdh，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝πdh＋2πr2，据此代入数据计算。 【详解】侧面积：3.14×6×6 ＝18.84×6 ＝113.04（平方厘米） 表面积：113.04＋3.14×（6÷2）2×2 ＝113.04＋3.14×32×2 ＝113.04＋3.14×9×2 ＝113.04＋56.52 ＝169.56（平方厘米） 则侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 3．一个圆柱形铁块的侧面积是，高是，它的底面半径是( )cm，表面积是( )。 【答案】 3 150.72 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此用圆柱的侧面积除以高，求出底面周长，再用底面周长除以圆周率，再除以2求出圆柱的底面半径，圆柱的表面积＝侧面积＋两个底面的面积，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出圆柱的底面积，再乘2就是两个底面积，再加上侧面积即可解答。 【详解】94.2÷5÷3.14÷2 ＝94.2÷3.14÷5÷2 ＝30÷5÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 3.14××2＋94.2 ＝3.14×9×2＋94.2 ＝28.26×2＋94.2 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（） 所以圆柱的底面半径是3cm，表面积是150.72。 4．求下列圆柱的表面积。（单位：cm） （1）   （2） 【答案】（1） （2） 【分析】圆柱的表面积：圆柱的表面积指的是圆柱两个底面的面积和圆柱的侧面积之和。圆柱的表面积＝圆柱两个底面的面积＋圆柱侧面的面积。圆柱侧面积＝底面周长×高。 底面圆半径是5厘米，高是12厘米，代入公式求解即可； 用底面圆的周长求出半径，，高是30厘米，代入公式求解即可。 【详解】 5．花城广场新建了一个圆柱形音乐喷泉，喷泉水池内部的底面直径是5m，池深0.9m。现在要在水池内壁和底部都抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】33.755平方米 【分析】抹水泥的面积等于底面直径是5米，高是0.9米的圆柱的侧面积和一个底面积之和，根据（d表示直径，h表示高），代入数据列式解答即可。 【详解】 （平方米） 答：抹水泥的面积是33.755平方米。 6．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚长10米，横截面是一个直径为4米的半圆形。覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？ 【答案】75.36平方米 【分析】如图所示，覆盖大棚的塑料薄膜的面积相当于圆柱的一个底面积加上圆柱侧面积的一半，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的底面积公式：S＝πr2，分别求出圆柱的一个底面积和圆柱的侧面积，再求出面积的一半，进而求出总和。 【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×10÷2 ＝3.14×22＋3.14×4×10÷2 ＝3.14×4＋3.14×4×10÷2 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方米） 答：覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜75.36平方米。 练习六、圆柱的体积 1．一个圆柱形零件的体积是，高是20cm，底面直径是（    ）cm。 A．12.56 B．6.28 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，那么底面积＝体积÷高，代入数据即可求出底面积。再根据圆的面积公式：，代入数据求出底面半径，最后根据直径＝半径×2即可求出底面直径。 【详解】（平方厘米） 半径的平方：（平方厘米） 所以半径为2厘米，那么底面直径是（厘米）。 故答案为：C 2．一个圆柱的高是4.8dm，底面积是6cm2，这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】288 【分析】圆柱体积＝底面积×高；把高的单位改成厘米后用公式可以解决问题。 【详解】4.8分米＝48厘米 （立方厘米） 一个圆柱的高是4.8dm，底面积是6平方厘米，这个圆柱的体积是288立方厘米。 3．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【分析】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【详解】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 4．某小学教学楼门前的圆柱形大柱子高是4m，底面周长是3.14m。柱子的侧面积是( )，体积是( )。 【答案】 12.56 3.14 【分析】已知圆柱的高和圆柱的底面周长，先用，求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式，求出圆柱的侧面积和体积，据此解答。 【详解】圆柱的底面半径：（m） 圆柱侧面积：（m2） 圆柱的体积：（m3） 因此，柱子的侧面积是12.56m2，体积是3.14m3。 5．计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】50.24cm3 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，计算出圆柱的体积。 【详解】3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（cm3） 这个图形的体积是50.24cm3。 6．求出下面几何体的体积。（单位：dm） 【答案】6280dm3 【分析】把两个一样的几何体合起来，就是一个底面直径是20dm，高是（15＋25）dm的圆柱的体积，根据圆柱体积＝底面积×高，代入数据，求出两个几何体合起来的体积，再除以2，即可求出一个几何体的体积，据此解答。 【详解】3.14×（20÷2）2×（15＋25）÷2 ＝3.14×102×40÷2 ＝3.14×100×40÷2 ＝314×40÷2 ＝12560÷2 ＝6280（dm3） 几何体的体积是6280dm3。 7．手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】3768立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，圆柱体积＝πh进行带入计算。 【详解】r＝d÷2＝20÷2＝10（厘米） ＝πh＝3.14××12＝3.14×100×12＝3768（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米。 8．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开。”大雪过后，海海家院子里的圆形石桌上积了一层雪（如下图）。这些雪的体积大约是75.36dm3，雪的厚度大约是多少分米？ 【答案】1.5分米 【分析】圆形石桌上积了一层雪，可看成圆柱，这些雪的体积大约是75.36立方分米，即已知圆柱的体积。求雪的厚度，即求该圆柱的高，利用，代入数据进行求解即可。 【详解】 （分米） 答：雪的厚度大约是1.5分米。 9．一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 【答案】425立方厘米 【分析】观察第一个瓶子，首先根据“圆柱的体积＝底面积×高”计算得出水的体积为25×13＝325（立方厘米），同样求出第二个瓶子未装水的体积为：25×（20－16），又已知水的体积加上瓶子未装水的体积即瓶子的体积，据此即可得出瓶子的容积。 【详解】25×13＝325（立方厘米） 25×（20－16） ＝25×4 ＝100（立方厘米） 325＋100＝425（立方厘米） 答：瓶子的容积是425立方厘米。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空白部分的体积，且水在瓶子里变换位置，水的体积是不变的。 10．一个圆柱形蓄水池，底面直径是2米，深3米。在蓄水池的周围和底面抹上水泥。 （1）抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池可以容纳多少立方米水？ 【答案】（1）21.98平方米；（2）9.42立方米 【分析】（1）由题意可知，抹水泥的面积就是圆柱的侧面积和底面积的和，根据圆柱的侧面积公式、半径＝直径÷2、圆的面积公式，代入数据计算即可。 （2）要求圆柱的容积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） （1）3.14×12＋3.14×2×3 ＝3.14×1＋3.14×2×3 ＝3.14＋18.84 ＝21.98（平方米） 答：抹水泥的面积是21.98平方米。 （2）3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝9.42（立方米） 答：这个蓄水池可以容纳9.42立方米水。 11．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】117.75立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 练习七、圆柱与圆锥体积的关系 1．用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】C 【分析】圆锥体积公式：（S为底面积，h为高），圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高）；圆锥形容器装满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变，即V柱水＝V锥水。设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆锥的高为18cm，圆柱中水的高度为h柱水。所以圆锥体积V锥水＝Sh锥，圆柱体积V柱水＝Sh柱水。因为V柱水＝V锥水，所以Sh柱水＝Sh锥，因为圆柱和圆锥底面积相等，所以h柱水＝h锥，即用乘18即可得出圆柱的水的高度。 【详解】圆锥体积： 圆柱体积：V＝Sh V柱水＝V锥水 设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆柱中水的高度为h柱水。 V锥水＝Sh锥 V柱水＝Sh柱 Sh柱水＝Sh锥 h柱水＝h锥 ×18＝6（cm） 所以水的高度是6cm。 故答案为：C 2．下面的圆柱（    ）与圆锥体积相等。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等底等高的圆锥体积是圆柱的体积的。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（r为半径，h为高），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（r为半径，h为高），即也可以表示为等底等体积的圆柱和圆锥中，圆柱的高是圆锥的高的。已知圆锥的底面直径是6厘米，则底面半径为6÷2＝3厘米，高是9厘米。据此分析各选项中的图形，进而得出正确答案。 【详解】A．圆柱底面直径6厘米，半径为6÷2＝3厘米，高9厘米，与圆锥等底等高。根据等底等高圆柱和圆锥体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍，体积不相等。 B．圆柱底面直径2厘米，半径为2÷2＝1厘米，高9厘米，底面与圆锥不同，高相同，体积不相等。 C．圆柱底面直径6厘米，半径为6÷2＝3厘米，与圆锥等底；高3厘米，是圆锥高9厘米的。根据圆柱和圆锥体积公式，此时圆柱体积与圆锥体积相等。 D．圆柱底面直径2厘米，半径为2÷2＝1厘米，高3厘米，底面和高都与圆锥不同，体积不相等。 所以与圆锥体积相等的是选项C中的图形。 故答案为：C 3．如图，把一个体积是48立方分米的圆柱形木块，削成两个相同的圆锥形木块，则一个圆锥形木块的体积是（    ）立方分米。 A．8 B．16 C．10 D．24 【答案】A 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即V圆柱＝V圆锥。把圆柱形木块削成两个相同的圆锥形木块，两个圆锥底面积与圆柱相同，高共为圆柱的高，每个圆锥高为圆柱高的一半。所以两个圆锥的体积和是圆柱体积的。已知圆柱体积是48立方分米，那么两个圆锥的体积和为48×＝16立方分米。因为两个圆锥相同，所以一个圆锥形木块的体积是用16除以2即可。 【详解】V圆柱＝V圆锥 48×＝16（立方分米） 16÷2＝8（立方分米） 一个圆锥形木块的体积是8立方分米。 故答案为：A 4．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积之和是，圆锥的体积是( )。 【答案】9 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 （） 圆锥的体积是。 5．一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】36 【分析】已知一个圆柱和一个圆锥底面积和高都相等，圆锥的体积比圆柱少24立方分米，根据等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积比圆柱的体积少的部分占圆柱体积的（1－），根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数是多少用除法，列式解答即可。 【详解】24÷（1－） ＝24÷ ＝24× ＝36（立方分米） 所以，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是36立方分米。 练习八、圆锥的体积 1．一个圆锥的底面直径是2dm，体积是12.56dm3，这个圆锥的高是( )dm。 【答案】12 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，用底面直径2dm除以2即可求出底面半径，根据底面积＝先求出圆锥的底面积，用体积12.56 dm3除以再底面积即可求出圆锥的高。 【详解】2÷2＝1（dm） 3.14×1×1＝3.14（dm2） 12.56÷÷3.14 ＝12.56×3÷3.14 ＝12（dm） 即这个圆锥的高是12dm。 2．“孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。”渔翁头上戴着一个圆锥形斗笠，如下图所示。这顶斗笠平放在桌面上所占空间的大小是( )。 【答案】5765.04 【分析】已知圆锥的底面直径，先用圆锥的底面直径除以2，求出圆锥的底面半径；再用圆锥的体积公式，求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】圆锥的底面半径：（cm） 圆锥的体积： （cm3） 因此，这顶斗笠平放在桌面上所占空间的大小是5765.04cm3 3．如图，将直角三角形分别以，两条直角边为轴旋转一周，所成的两个立体图形的体积分别是( )和( )。 【答案】 301.44 401.92 【分析】三角形ABC以AB直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径是6cm，高是8cm；BC直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径是8cm，高是6cm；根据V＝πr2h÷3计算解答。 【详解】3.14×62×8÷3 ＝3.14×36×8÷3 ＝904.32÷3 ＝301.44（） 3.14×82×6÷3 ＝3.14×64×6÷3 ＝1205.76÷3 ＝401.92（） 故所成的两个立体图形的体积分别是301.44和401.92。 4．求圆锥体的体积。 【答案】10.5m3 【分析】从图中可知，圆锥的底面积是9m2，高是3.5m，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【详解】×9×3.5 ＝3×3.5 ＝10.5（m3） 圆锥体的体积是10.5m3。 5．中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】竹笋可近似看作一个圆锥，已知圆锥的底面直径和高，利用圆锥的体积，即可求出这个竹笋的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这个竹笋的体积约是141.3立方厘米。 6．把一个底面直径为6dm、高为15dm的圆锥形金属零件熔化后，锻制成一个和它等高的圆柱。这个圆柱的底面积为多少平方分米？ 【答案】9.42平方分米 【分析】已知把一个底面直径为6dm、高为15dm的圆锥形金属零件熔化后，锻制成一个和它等高的圆柱，则圆锥的体积等于圆柱的体积，圆锥的高等于圆柱的高，为15dm，先根据圆锥的体积＝×底面积×高，求出圆锥的体积，即是圆柱的体积，再用圆柱的体积除以圆柱的高，即可解答。 【详解】 （立方分米） （平方分米） 答：这个圆柱的底面积为9.42平方分米。 7．一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【详解】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 8．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计算时间的。下图就是一个沙漏，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下面，那么共计量了多少分钟？（单位：厘米） 【答案】12分钟 【分析】先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，分别算出沙漏上部、下部沙子的体积；再用沙漏下部沙子的体积除以沙漏上部沙子的体积，表示几个1分钟，也就是共计量的时间。 【详解】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米） ×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米）    37.68÷3.14＝12（分钟） 答：共计量了12分钟。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $