精品解析：北京市第四中学2026年八年级数学春季开学收心自测

数学 1. 篆刻是一种传统的艺术形式，因古代印章多采用篆书入印而得名，它是书法和镌刻（包括凿、铸）的结合，下列四幅篆刻作品中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证，数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行作答即可. 【详解】解：； 故选C. 3. 点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的特点，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴． 故选：C． 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方等．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项B∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项C∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项D∶ ， 故本选项正确，符合题意． 故选：D 5. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项D中是的高． 故选：D． 6. 下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ） 甲：． 乙：． A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解 B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法 C. 甲、乙均为因式分解 D. 甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 7. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A. 1 B. -1 C. 4 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】本题完全平方公式的基本应用，能够读懂题意是解题关键； 先计算 ，利用完全平方公式和  化简，得到复数后，根据共轭复数的定义确定实部  和虚部 ，最后计算 ． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵  是  的共轭复数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【详解】：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上，当时，值最小，如图所示，设点为垂足， ，， ，， 则在和中， ， ． ， ∵，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 9. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零求解即可． 【详解】解：分式有意义，需满足分母，即． 故答案为：． 10. 写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题．原命题的条件是“两个三角形全等”，结论是“它们的三边相等”，逆命题是通过交换条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“全等三角形三边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“它们的三边相等”． 根据逆命题的定义，交换条件与结论，得逆命题为“两个三角形三边相等，则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形三边相等，则这两个三角形全等． 11. 已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理，用两边之差与两边之和确定第三边的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即． 故答案为： 12. 如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 分解因式：_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 当时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：5． 16. 如图，等腰中，，，以为底边作等腰，，与交于E，将沿折叠，点B落到点处，连接刚好经过点，连接，分别交于，交于H．在下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的结论有_____．（填写所有正确的序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由题意可知，，，，接着证明，不妨设，那么，，利用，可求得，那么可求得，再利用等腰三角形的性质，可求得；接着求出以及，即可判断②；利用三角形内角和定理，可求出的每个角，即可判断③；证明，即可判断④；作于，易证，，结合，即可判断⑤． 【详解】解：由题意可得， ∴，，，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 不妨设， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∴, 同理，可求得， ∴， ∴为等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故④正确； 作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有②③④． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先变形提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 计算： （1） （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法分配律展开后，化简计算即可； （3）利用平方差公式计算前部分的乘积，再化简后部分的二次根式，最后相加即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据解分式方程的步骤计算解答即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 化简得：， ， 经检验，是原分式方程的解． 21. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算的化简求值，熟知分式的各运算法则是解题的关键．先对代数式进行化简，再根据化简结果，可以把转化为，故可求的值，问题即可解决． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴原式． 22. 如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理求得和，即可证得结论； （2）根据等边三角形的性质，利用“”证得，再根据全等三角形对应角相等和（1）中的结论即可求解． 【小问1详解】 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，于点， ∴，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 23. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 24. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 【答案】（1）见解析 （2），，等边对等角， 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 解：补全图形，如图所示． 【小问2详解】 解：证明：连接． 在和中， ． ． ， （等边对等角）． ． ． 故答案为：，，等边对等角， 25. 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：，也可以表示为：，因此得到等式： 【拓展探究】 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为，斜边长为． （1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为________； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________；________ （3）你能得出的，，之间的数量关系是_______（等号两边需化为最简形式）； （4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为_______． 【答案】（1） （2）， （3） （4）13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）根据直角三角形的两边长即可得到结论； （2）根据大正方形的面积减去四个三角形的面积或者直接求阴影部分小正方形的面积即可得出答案； （3）根据（2）的结果，即可得出答案； （4）代入求出即可； 【小问1详解】 解：图中阴影部分小正方形的边长可表示为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：图中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由（2）知：， 即， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：13； 26. 综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【答案】 （）：③ （）： （）： 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③； （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式， （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：． 27. 在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）证明，可得，即可解答； （2）①根据题意，补全图形即可；②过点C作交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，再结合，可得，，从而得到，可证明，即可解答． 【小问1详解】 解：如图， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①依据题意，补全图2，如下： ②如图，过点C作交延长线于点G， ∵点D关于直线对称点为F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 附加题： 28. 我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【答案】 ①. ②. 3.5 【解析】 【详解】解：经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为； 关于轴对称得； 关于平行于轴的直线对称得， 根据关于水平直线对称的性质：对称点的纵坐标中点在对称轴上，即． 29. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移、轴对称，一次函数图象与几何图形的交点问题，以及分类讨论思想的应用，熟练掌握平移和轴对称的坐标变化规律，结合图形的坐标范围进行分类讨论是解题的关键．（1）① 代入得点坐标，按“平移→对称”的顺序：先向上平移个单位，再求平移后点关于直线的对称点，得到“平称点”．②写出点的“平称点”坐标表达式，结合线段纵坐标固定、横坐标范围已知的特征，列方程和不等式求解的取值范围和的值． （2） 分别求出点、的“平称点”坐标，分和两种情况，得到线段上所有点的“平称点”组成的线段；再结合长方形的顶点坐标，判断该线段与长方形有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，即为， ∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点， ∴点关于直线的对称点为， 故答案为：； ②∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点，，． ∴点关于直线的对称点为，即点的“平称点”为， ∵点的“平称点”在线段上，，． ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：当时，平移为向上个单位，对称直线为， ∵， ∴点向上平移个单位得，点向上平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵，，， ∴线段与长方形不相交，故舍去； 当时，平移为向下平移个单位，对称直线为， ∵， ∴点向下平移个单位得，点向下平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵线段与长方形的边有两个交点， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 1. 篆刻是一种传统的艺术形式，因古代印章多采用篆书入印而得名，它是书法和镌刻（包括凿、铸）的结合，下列四幅篆刻作品中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证，数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ） 甲：． 乙：． A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解 B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法 C. 甲、乙均为因式分解 D. 甲、乙均不是因式分解 7. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A. 1 B. -1 C. 4 D. 49 8. 如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 9 9. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 10. 写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 11. 已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 12. 如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 13. 分解因式：_____________________． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 15. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为________． 16. 如图，等腰中，，，以为底边作等腰，，与交于E，将沿折叠，点B落到点处，连接刚好经过点，连接，分别交于，交于H．在下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的结论有_____．（填写所有正确的序号）． 17 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解 （1） （2） 19 计算： （1） （2）； （3）； 20. 解方程：． 21. 已知，求代数式的值． 22. 如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 23. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 24. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 25. 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：，也可以表示为：，因此得到等式： 【拓展探究】 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为，斜边长为． （1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为________； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________；________ （3）你能得出的，，之间的数量关系是_______（等号两边需化为最简形式）； （4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为_______． 26. 综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 27. 在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 附加题： 28. 我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 29. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $