北京市第四中学2026年八年级数学春季开学收心自测

数学 1. 篆刻是一种传统的艺术形式，因古代印章多采用篆书入印而得名，它是书法和镌刻（包括凿、铸）的结合，下列四幅篆刻作品中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证，数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点与点关于轴对称，则值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 下列计算正确的是 A. B. C D. 5. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ） 甲：． 乙：． A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解 B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法 C. 甲、乙均为因式分解 D. 甲、乙均不是因式分解 7. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A. 1 B. -1 C. 4 D. 49 8. 如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 9 9. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 10. 写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 11. 已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 12. 如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 13. 分解因式：_____________________． 14. 将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 15. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上动点，则的最小值为________． 16. 如图，等腰中，，，以为底边作等腰，，与交于E，将沿折叠，点B落到点处，连接刚好经过点，连接，分别交于，交于H．在下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的结论有_____．（填写所有正确的序号）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解 （1） （2） 19. 计算： （1） （2）； （3）； 20. 解方程：． 21. 已知，求代数式的值． 22. 如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 23. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 24. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 25. 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：，也可以表示为：，因此得到等式： 【拓展探究】 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为，斜边长为． （1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为________； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________；________ （3）你能得出的，，之间的数量关系是_______（等号两边需化为最简形式）； （4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为_______． 26. 综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 27. 在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 附加题： 28. 我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 29. 平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 数学 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②③④ 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】 【22题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【23题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2），，等边对等角， 【25题答案】 【答案】（1） （2）， （3） （4）13 【26题答案】 【答案】 （）：③ （）： （）： 【27题答案】 【答案】（1） （2）①见解析；②，证明见解析 附加题： 【28题答案】 【答案】 ①. ②. 3.5 【29题答案】 【答案】（1）①；②， （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $