专题8.3 多项式乘多项式（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

专题8.3 多项式乘多项式 知识点1：多项式乘多项式的运算法则 类别 具体内容 文字表述 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 符号语言 基本形式： 推广形式： 几何解释 长为、宽为的大长方形面积，等于、、、四个小长方形的面积之和，直观验证法则合理性 运算本质 利用乘法分配律，将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式，体现数学的转化思想 运算步骤 1.逐项相乘：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项； 2.积相加：将所有单项式相乘的结果相加； 3.化最简：合并同类项，得到最终结果 知识点2：型多项式乘法公式 1.公式推导：。 2.核心特征：二次项系数为，一次项系数为两个常数项的和，常数项为两个常数项的积。 3.应用：快速展开同类型多项式，无需按一般法则分步计算，提升运算效率。 知识点3：多项式乘多项式的运算注意事项 1.运算时要按一定顺序相乘（如从左到右、逐项相乘），做到不重不漏。 2.多项式的每一项都包含其前面的符号，相乘时注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 3.相乘结果若有同类项，必须合并同类项，使结果化为最简形式。 4.合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的乘积（可用于检验是否漏乘）。 知识点4：多项式乘多项式的常见特殊形式 形式 展开结果 核心特征 二次项系数为1，一次项系数为，常数项为 （立方和） 二项式与三项式相乘，结果为立方和 （立方差） 二项式与三项式相乘，结果为立方差 【基础必考题型】 【题型1】直接利用法则进行多项式乘多项式计算 1.核心知识点 多项式乘多项式的基本运算法则 单项式乘单项式的运算法则、同类项合并 2.解题方法技巧 按“逐项相乘，再求和”的顺序计算，标记每一项的符号，避免符号错误； 相乘后逐一检查项数，确认无漏乘，再合并同类项。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型2】根据多项式乘法结果求字母参数 1.核心知识点 多项式乘多项式展开、同类项合并 多项式“对应项系数相等”的性质 2.解题方法技巧 先展开左边多项式并合并同类项，再根据右边多项式的已知系数，列等式求参数； 若结果中含某一项，直接令对应项系数相等；若不含某一项，令该项系数为。 【例题2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是_____． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西钦州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 【题型3】多项式乘多项式的几何应用 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 长方形、正方形的面积公式 2.解题方法技巧 先根据几何图形的边长表示出面积的多项式形式，再利用法则展开化简； 利用“整体面积=各部分面积和”验证多项式乘法结果的正确性。 【例题3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【题型4】多项式乘多项式的混合运算 1.核心知识点 多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则 去括号法则、同类项合并 2.解题方法技巧 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的； 单项式乘多项式直接用分配律，多项式乘多项式按法则展开，去括号时注意符号变化（负号乘括号内各项要变号）。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算下列各题： (1) (2) 【变式题4-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【培优高频题型】 【题型5】多项式乘多项式的化简求值问题 1.核心知识点 多项式乘多项式的展开与化简 代数式求值的方法（直接代入、整体代入） 2.解题方法技巧 先按法则展开多项式，合并同类项将代数式化为最简形式，再代入字母的值计算（避免直接代入复杂式子，减少计算量）； 若已知条件为多项式等式，可将其变形为“某整式=常数”的形式，用整体代入法求值。 【例题5】.（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【题型6】多项式乘法中的“无关型”问题 1.核心知识点 多项式乘多项式展开、同类项合并 多项式的值与字母取值无关的条件（含该字母的项系数为） 2.解题方法技巧 先展开并合并多项式，将结果按某一字母进行降幂排列； 令所有含该字母的项的系数为，列方程/方程组求参数，验证结果是否满足“无关”条件。 【例题6】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【题型7】多项式乘法的错解分析问题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 方程思想的应用 2.解题方法技巧 根据“抄错符号、漏抄系数”的错解条件，还原错误的多项式乘法式子，展开后结合错解结果列方程； 解出原式中的字母参数，再代入正确的多项式式子，计算出正确结果。 【例题7】.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·浙江·期中）欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为． (1)求，的值． (2)请你计算这道题的正确结果． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)请计算这道题的正确结果． 【压轴素养题型】 【题型8】多项式乘法的规律探究题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 数字、整式的规律探索 立方和/立方差公式的应用 2.解题方法技巧 先计算已知的多项式乘法式子，观察结果的项数、系数、符号规律； 提炼出一般规律（用字母表示），再利用规律解决后续的计算、证明问题。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【题型9】多项式乘法与定义新运算的综合题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 定义新运算的理解与应用 完全平方公式、立方和/差公式的综合 2.解题方法技巧 先根据新运算的定义，将式子转化为常规的多项式乘法形式； 按多项式乘法法则展开化简，结合已知结果的系数特征，列方程求字母参数或其和、差、积。 【例题9】.（25-26八年级上·陕西榆林·月考）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 解得：． 【题型10】多项式乘法的跨学科融合题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 几何测量等跨学科知识 2.解题方法技巧 将跨学科问题中的未知量用字母表示，根据学科公式建立多项式乘法模型； 展开并化简多项式，结合实际问题的取值范围，求解字母的值或代数式的结果。 【例题10】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【变式题10-1】.（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与实践 【提出问题】 在综合与实践活动中，同学们发现：可以将一张长方形硬纸片做成一个无盖长方体形盒子．那么，怎样制作的盒子的体积更大? 【实践尝试】 小深同学尝试在长为16，宽为12的长方形硬纸片的四个角处，各剪出一个边长相同的小正方形（如图1，阴影部分为小正方形），再沿虚线折叠、拼接，可得到如图2所示的无盖长方体盒子． 观察图形： ①完成下列表格： 小正方形边长 1 2 3 4 … 无盖长方体盒子底面积 140 96 … ②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为_____； 【方案改进】 小圳同学认为小深同学的方法还可以再优化．利用同样的长方形硬纸片，小圳同学采用如图3剪切方法无损耗无重叠的拼接成如图4的无盖长方体盒子，则无盖长方体盒子的体积为_____． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是两个小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组将长和宽分别是、的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，如图1所示． ①用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积； ②当，，且剪去部分正方形的边长为最小正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； ③请你说出折成长方体纸盒的棱（长方体相邻两个线的交线）与棱之间有哪些位置关系． (2)“善思”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四个角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖的长方体纸箱，如图2所示．则该长方体的底面中，边______，边______（用含，的式子表示）． 易错点 1.多项式相乘时漏乘项，尤其是含常数项、负号的项，导致结果项数不足。 2.忽略多项式项的符号，相乘时未将符号与系数一起参与运算，出现符号错误。 3.混合运算中运算顺序混乱，未遵循“先乘除后加减”，或去括号时未变号。 4.解决“不含某一项”问题时，仅合并同类项未令该项系数为0，无法正确求参数。 5.套用公式时，负数常数项未带符号代入，导致一次项系数、常数项计算错误。 6.几何应用中，未正确用整式表示图形的边长，导致面积/体积的多项式表达式错误。 重点 1.掌握多项式乘多项式的基本运算法则，能熟练、准确地展开各类多项式并合并同类项。 2.熟记并灵活应用特殊公式，提升同类型多项式的运算效率。 3.理解多项式乘法的几何意义，能结合面积公式验证法则，实现“数与形”的结合。 4.掌握根据多项式乘法结果求字母参数的方法，能利用“对应项系数相等”“系数为0”列方程求解。 5.熟练进行多项式乘法的化简求值，掌握“先化简，后求值”和“整体代入”的解题技巧。 6.能将多项式乘法应用于实际问题，如图形面积、体积计算，建立数学模型解决实际问题。 难点 1.多项式乘多项式的混合运算，尤其是含多层括号、负号的运算，能准确去括号、合并同类项。 2.解决多项式乘法中的“无关型”问题，理解“与某字母取值无关”的本质，能准确令对应项系数为0。 3.多项式乘法的规律探究题，能从具体式子中提炼出一般规律，并用字母表示规律解决后续问题。 4.结合方程思想解决多项式乘法的错解分析、多参数求解问题，能根据题意准确建立方程/方程组。 5.多项式乘法与定义新运算、跨学科知识的综合应用，能快速将新运算、跨学科问题转化为常规多项式乘法问题。 6.利用多项式乘法解决图形拼接、面积最值的实际问题，能准确建立整式模型并化简求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 3．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 4．杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 6．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 7．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 8．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 9．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 10．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．乐乐在计算一个多项式乘的题目时，误将乘法运算看成加法运算，结果得到．请你帮乐乐计算这道题的正确结果． 13．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 14．某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当，时，试求该学校一共有多少名学生？ 15．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 多项式乘多项式 知识点1：多项式乘多项式的运算法则 类别 具体内容 文字表述 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 符号语言 基本形式： 推广形式： 几何解释 长为、宽为的大长方形面积，等于、、、四个小长方形的面积之和，直观验证法则合理性 运算本质 利用乘法分配律，将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式，体现数学的转化思想 运算步骤 1.逐项相乘：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项； 2.积相加：将所有单项式相乘的结果相加； 3.化最简：合并同类项，得到最终结果 知识点2：型多项式乘法公式 1.公式推导：。 2.核心特征：二次项系数为，一次项系数为两个常数项的和，常数项为两个常数项的积。 3.应用：快速展开同类型多项式，无需按一般法则分步计算，提升运算效率。 知识点3：多项式乘多项式的运算注意事项 1.运算时要按一定顺序相乘（如从左到右、逐项相乘），做到不重不漏。 2.多项式的每一项都包含其前面的符号，相乘时注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 3.相乘结果若有同类项，必须合并同类项，使结果化为最简形式。 4.合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的乘积（可用于检验是否漏乘）。 知识点4：多项式乘多项式的常见特殊形式 形式 展开结果 核心特征 二次项系数为1，一次项系数为，常数项为 （立方和） 二项式与三项式相乘，结果为立方和 （立方差） 二项式与三项式相乘，结果为立方差 【基础必考题型】 【题型1】直接利用法则进行多项式乘多项式计算 1.核心知识点 多项式乘多项式的基本运算法则 单项式乘单项式的运算法则、同类项合并 2.解题方法技巧 按“逐项相乘，再求和”的顺序计算，标记每一项的符号，避免符号错误； 相乘后逐一检查项数，确认无漏乘，再合并同类项。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 【详解】解： 故选：A． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2】根据多项式乘法结果求字母参数 1.核心知识点 多项式乘多项式展开、同类项合并 多项式“对应项系数相等”的性质 2.解题方法技巧 先展开左边多项式并合并同类项，再根据右边多项式的已知系数，列等式求参数； 若结果中含某一项，直接令对应项系数相等；若不含某一项，令该项系数为。 【例题2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广西钦州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，利用恒等式的特点，求出m的值即可． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：B． 【题型3】多项式乘多项式的几何应用 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 长方形、正方形的面积公式 2.解题方法技巧 先根据几何图形的边长表示出面积的多项式形式，再利用法则展开化简； 利用“整体面积=各部分面积和”验证多项式乘法结果的正确性。 【例题3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 【题型4】多项式乘多项式的混合运算 1.核心知识点 多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则 去括号法则、同类项合并 2.解题方法技巧 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的； 单项式乘多项式直接用分配律，多项式乘多项式按法则展开，去括号时注意符号变化（负号乘括号内各项要变号）。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂与负指数幂，整式的乘法运算与乘法公式，熟练掌握相关运算的法则是解题关键． （1）先将零指数幂和负指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）先用完全平方公式和整式的乘法法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简，关键是牢记各类幂的运算规则，并按“先乘方，后加减”的顺序计算； （2）考查整式的混合运算，包括平方差公式、多项式乘多项式法则、去括号与合并同类项，解题关键是熟练运用公式化简多项式，再通过去括号、合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和整式的乘法运算． （1）根据乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）先计算整式乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【培优高频题型】 【题型5】多项式乘多项式的化简求值问题 1.核心知识点 多项式乘多项式的展开与化简 代数式求值的方法（直接代入、整体代入） 2.解题方法技巧 先按法则展开多项式，合并同类项将代数式化为最简形式，再代入字母的值计算（避免直接代入复杂式子，减少计算量）； 若已知条件为多项式等式，可将其变形为“某整式=常数”的形式，用整体代入法求值。 【例题5】.（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，根据整式的混合运算法则计算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 【题型6】多项式乘法中的“无关型”问题 1.核心知识点 多项式乘多项式展开、同类项合并 多项式的值与字母取值无关的条件（含该字母的项系数为） 2.解题方法技巧 先展开并合并多项式，将结果按某一字母进行降幂排列； 令所有含该字母的项的系数为，列方程/方程组求参数，验证结果是否满足“无关”条件。 【例题6】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键． 运用多项式乘以多项式，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：展开 ， 得， ∵展开式中不含x的一次项， ∴， 解得，， 故答案为：8 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【答案】， 【分析】利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再根据乘积中不含项和项，得到含项和项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， 乘积中不含项和项， ，， 解得：，． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【题型7】多项式乘法的错解分析问题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 方程思想的应用 2.解题方法技巧 根据“抄错符号、漏抄系数”的错解条件，还原错误的多项式乘法式子，展开后结合错解结果列方程； 解出原式中的字母参数，再代入正确的多项式式子，计算出正确结果。 【例题7】.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·浙江·期中）欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为． (1)求，的值． (2)请你计算这道题的正确结果． 【答案】(1)，的值分别为3，-2 (2) 【分析】（1）根据题意可得出①，②，联立方程组即可得出答案； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）欢欢由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果是， 可知， 可得①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是， 可知， 可得②， ①②联立方程组得， 解得：， ，的值分别为3，-2． （2）． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行细心计算即可． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：， 故, 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：， 故， ∴， 解得：， ∴； （2）由（1）可知， 正确的计算结果为： ． 【压轴素养题型】 【题型8】多项式乘法的规律探究题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 数字、整式的规律探索 立方和/立方差公式的应用 2.解题方法技巧 先计算已知的多项式乘法式子，观察结果的项数、系数、符号规律； 提炼出一般规律（用字母表示），再利用规律解决后续的计算、证明问题。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2) ； ； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【题型9】多项式乘法与定义新运算的综合题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 定义新运算的理解与应用 完全平方公式、立方和/差公式的综合 2.解题方法技巧 先根据新运算的定义，将式子转化为常规的多项式乘法形式； 按多项式乘法法则展开化简，结合已知结果的系数特征，列方程求字母参数或其和、差、积。 【例题9】.（25-26八年级上·陕西榆林·月考）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 【题型10】多项式乘法的跨学科融合题 1.核心知识点 多项式乘多项式法则 几何测量等跨学科知识 2.解题方法技巧 将跨学科问题中的未知量用字母表示，根据学科公式建立多项式乘法模型； 展开并化简多项式，结合实际问题的取值范围，求解字母的值或代数式的结果。 【例题10】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 【变式题10-1】.（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与实践 【提出问题】 在综合与实践活动中，同学们发现：可以将一张长方形硬纸片做成一个无盖长方体形盒子．那么，怎样制作的盒子的体积更大? 【实践尝试】 小深同学尝试在长为16，宽为12的长方形硬纸片的四个角处，各剪出一个边长相同的小正方形（如图1，阴影部分为小正方形），再沿虚线折叠、拼接，可得到如图2所示的无盖长方体盒子． 观察图形： ①完成下列表格： 小正方形边长 1 2 3 4 … 无盖长方体盒子底面积 140 96 … ②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为_____； 【方案改进】 小圳同学认为小深同学的方法还可以再优化．利用同样的长方形硬纸片，小圳同学采用如图3剪切方法无损耗无重叠的拼接成如图4的无盖长方体盒子，则无盖长方体盒子的体积为_____． 【答案】（1）①，，；②； （2）． 【分析】本题考查有理数以及整式的实际应用，关键是理解剪去小正方形后长方体的长、宽、高与原长方形及小正方形边长的关系，利用长方形面积公式和长方体体积公式进行计算． （1）①无盖长方体盒子底面的长为原长方形长减去两个小正方形边长，底面的宽为原长方形宽减去两个小正方形边长，以此根据长方形面积公式进行计算即可； ②根据长方体体积公式进行计算即可； （2）观察可得3个侧面宽等于12，2个侧面宽等于1个侧面长，以此进行运算即可． 【详解】解：（1）【实践尝试】①当小正方形边长为3时，无盖长方体盒子底面积为：； 当小正方形边长为4时，无盖长方体盒子底面积为：； 当小正方形边长为时，无盖长方体盒子底面积为：； 故答案为：，，； ②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为：； （2）【方案改进】观察可得无盖长方体盒子的高，即侧面宽为：， 无盖长方体盒子的底面边长，即侧面长为：， 则无盖长方体盒子的体积为：． 故答案为：． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是两个小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组将长和宽分别是、的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，如图1所示． ①用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积； ②当，，且剪去部分正方形的边长为最小正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； ③请你说出折成长方体纸盒的棱（长方体相邻两个线的交线）与棱之间有哪些位置关系． (2)“善思”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四个角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖的长方体纸箱，如图2所示．则该长方体的底面中，边______，边______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①；②48；③平行或垂直 (2)； 【分析】本题考查了整式的混合运算及代数式的含义，正确表示出纸盒的长、宽、高是解决此题的关键． （1）①纸片剩余部分的面积等于长方形的面积减去4个小正方形的面积； ②用含、、的代数式表示出无盖长方体纸盒的底面面积，再计算； ③由长方体的棱长位置关系可得结果； （2）由正方形的边长为，可得，长度为的边折叠前后的长度不变可得，求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，纸片剩余部分的面积是：； ②由题知剪去正方形边长为， 当，时，无盖长方体纸盒的底面积： ， 无盖长方体的底面积是48． ③平行或者垂直． （2）解：如图所示： 则，， ． 故答案为：；． 易错点 1.多项式相乘时漏乘项，尤其是含常数项、负号的项，导致结果项数不足。 2.忽略多项式项的符号，相乘时未将符号与系数一起参与运算，出现符号错误。 3.混合运算中运算顺序混乱，未遵循“先乘除后加减”，或去括号时未变号。 4.解决“不含某一项”问题时，仅合并同类项未令该项系数为0，无法正确求参数。 5.套用公式时，负数常数项未带符号代入，导致一次项系数、常数项计算错误。 6.几何应用中，未正确用整式表示图形的边长，导致面积/体积的多项式表达式错误。 重点 1.掌握多项式乘多项式的基本运算法则，能熟练、准确地展开各类多项式并合并同类项。 2.熟记并灵活应用特殊公式，提升同类型多项式的运算效率。 3.理解多项式乘法的几何意义，能结合面积公式验证法则，实现“数与形”的结合。 4.掌握根据多项式乘法结果求字母参数的方法，能利用“对应项系数相等”“系数为0”列方程求解。 5.熟练进行多项式乘法的化简求值，掌握“先化简，后求值”和“整体代入”的解题技巧。 6.能将多项式乘法应用于实际问题，如图形面积、体积计算，建立数学模型解决实际问题。 难点 1.多项式乘多项式的混合运算，尤其是含多层括号、负号的运算，能准确去括号、合并同类项。 2.解决多项式乘法中的“无关型”问题，理解“与某字母取值无关”的本质，能准确令对应项系数为0。 3.多项式乘法的规律探究题，能从具体式子中提炼出一般规律，并用字母表示规律解决后续问题。 4.结合方程思想解决多项式乘法的错解分析、多参数求解问题，能根据题意准确建立方程/方程组。 5.多项式乘法与定义新运算、跨学科知识的综合应用，能快速将新运算、跨学科问题转化为常规多项式乘法问题。 6.利用多项式乘法解决图形拼接、面积最值的实际问题，能准确建立整式模型并化简求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算正确. 2．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 3．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 4．杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先计算，合并同类项以后，计算需要的张数即可． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片， 共需要张， 故选：C． 二、填空题 6．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与整式的混合运算，核心是利用面积公式表示出扩建前后的面积，通过作差求解增加的面积． 【详解】解：∵扩建后林地为长方形，长为米，宽为米， ∴扩建后的林地面积为平方米， ∵原林地的面积为平方米； ∴增加的面积为平方米； 故答案为：． 7．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 8．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 9．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 10．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．乐乐在计算一个多项式乘的题目时，误将乘法运算看成加法运算，结果得到．请你帮乐乐计算这道题的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘多项式的运算，掌握整式运算法则是解题关键． 先根据“错误结果减去”求出多项式，再用乘以得到正确结果． 【详解】解：根据题意可知，， 则， 正确计算：， 展开化简得． 13．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)长为20cm   宽为10cm (2)够用    【分析】本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键． （1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解； （2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积． 【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为． 由题意，得，且． ， ，， 长方形硬纸片的长为，宽为． （2）解：该硬纸片够用． 由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为， 共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为． ， 该硬纸片够用， 剩余的硬纸片的面积为． 14．某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当，时，试求该学校一共有多少名学生？ 【答案】(1)该学校初中部比小学部多名学生； (2)该学校一共有名学生． 【分析】（1）利用“方阵总人数每排人数排数”，分别表示出初中部和小学部的总人数，再求两者的差值； （2）将初中部和小学部的总人数相加，得到表示学校总人数的代数式，再将，代入计算． 【详解】（1）解： ， 答：该学校初中部比小学部多名学生； （2）解： ， 当，时， 原式 （名）， 答：该学校一共有名学生． 15．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $