精品解析：湖南株洲市第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

株洲市二中2026年上学期高一开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最小值是 B. 的最小值为8 C. 的最小值为2 D. 此方程有且仅有3组整数解 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且，如图，以点为圆心，为半径的扇形，弧线为函数在上的图象（其中点，），则下列说法正确的有（ ） A. 扇形的面积为 B. 函数的最小正周期 C. 函数在上单调递减 D. 若，则的最小值为2 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______ 13. 若，，并且，，且，则的值为______. 14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调递增区间； （2）求的解集； （3）关于的方程在区间上有两个解、且，求. 17. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 18. 已知函数，. （1）证明：为定值； （2）已知函数，求的值； （3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数k的取值范围. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中2026年上学期高一开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 2. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性以及函数值的符号分析判断即可. 【详解】令，解得，则函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 其图象关于原点对称，故A错误； 又因为当时，则，，，即， 可得，故BD错误； 故选：C. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合幂函数和对数函数的单调性得出与的大小关系即可. 【详解】， 因在上单调递增， 则， 故； 因，则，即，故； 故. 故选：B 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可. 【详解】因为，即， 设消除的污染物大约需要， 由题意可得，即，取对数可得， 两式相比可得，则， 所以要消除的污染物大约需要. 故选：C. 6. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期， 因为函数在上没有零点，所以，得，得，得， 假设函数在上有零点， 令，得，，得，， 则，得，， 又，所以或， 又函数在上有零点，且， 所以或. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键. 8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令得到，再逐项分析即可. 【详解】由题意得，，即， ，即，令，， 故都为方程的解， 令，单调递增，也单调递增，故在单调递增， 又， ，即，故B错误， 对于A，，对勾函数在上单调递减，， ，故A错误， 对于C，，两边同时取以2为底的对数得， ，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最小值是 B. 的最小值为8 C. 的最小值为2 D. 此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且，如图，以点为圆心，为半径的扇形，弧线为函数在上的图象（其中点，），则下列说法正确的有（ ） A. 扇形的面积为 B. 函数的最小正周期 C. 函数在上单调递减 D. 若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由知函数的图象的对称轴，从而可得到，进而判断A；由和可推导出周期，从而判断B；根据对称性及周期可判断C；作出函数图象，根据图象可知的最小值即相邻最高点与最低点的横坐标差的绝对值，从而判断D. 【详解】对于A，由知函数的图象关于直线对称， 因为弧线为函数在上的图象，所以点在的图象上，且， 所以轴，因为，所以扇形的半径为，即， 由知，所以， 所以，所以，即， 所以扇形的面积为，故A正确. 对于B，因为函数是定义在上的奇函数， 所以，且， 由知， 所以，即函数的最小正周期，故B正确. 对于C，由图知在上单调递减， 因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增， 因为函数的最小正周期， 所以函数在上的图象与在上的图象相同（单调性相同）， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误. 对于D，因为奇函数的图象关于原点对称，根据以上分析可得的大致图象如图所示： 所以的最大值为，最小值为， 若，不妨令， 则在上的图象，至少包含一个最高点，一个最低点， 而相邻最高点、最低点的横坐标差的绝对值为2， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，    令，则， 所以且， 故，A错； 因为，所以，B对； 由， 可得或， 由图知，对应有2个不同解， 故对应必有3个不同解，所以，C对； 对于D:， 由图，当时原方程无解； 当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符； 当时，或各有一个值， 前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应， 此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意； 令，得或或， 当时，或或各有一个值， 若，无解； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解， 原方程共有4个解，不符； 当时，或或各有1个值， 若，有2个x的值与之对应； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】先应用投影向量公式计算得出，再结合平面向量数量积运算律计算模长即可. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 则，即， 又，则有， 故. 故答案为：4. 13. 若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数，化简题中不等式，结合，求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，且， 故函数是奇函数，因为递增，递减，所以函数在上单调递增， 当时，，故，当时，， 所以，即，综上可知. 对任意，不等式恒成立， 可得，因为在单调递增，故等价于， 平方整理得，解方程的根或， 对任意，不等式恒成立，即区间是不等式解集的子集. 当时，不等式解集为，而，无法满足，舍去； 当时，不等式解集为，区间为，不满足子集关系，舍去； 当时，不等式解集为，需满足，解得， 实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，再利用诱导公式化简和弦化切，可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，即可得解. 【小问1详解】 由题知，又，A在单位圆上， ，则，， ； 【小问2详解】 ， 由，得， 则， ，得， . 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调递增区间； （2）求的解集； （3）关于的方程在区间上有两个解、且，求. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象可得出的值，该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可得出的值，结合正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间； （2）由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集； （3）由对称性得出，分析可知，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再由诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知， 函数的最小正周期满足，于是，所以， 所以函数， 又，则，所以， 解得，由可得，所以. 令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由得， 可得，解得， 故的解集为. 【小问3详解】 当时，则，因为、，则、， 由于，所以， 所以，所以， 因为，所以， 则， 因此. 17. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得； 再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式； （2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. 【小问2详解】 由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 18. 已知函数，. （1）证明：为定值； （2）已知函数，求的值； （3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1） 依题意得， ， 所以为定值. （2）0 （3）. 【解析】 【分析】(1)化简计算即证； (2)令函数，判断为奇函数，根据对称性计算即可； (3)令，等价于函数在区间内恰有一个零点，对进行分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令函数， 则定义域为， ， 则，为奇函数， 所以关于对称，即， 所以（）， 且中间项， 故所求式子的值为. 【小问3详解】 由（1）得， 所以函数， 在定义域R上是单调递增，区间上. 令，，， 在区间内恰有一个零点等价于函数在区间内恰有一个零点. ①当时，只有一个零点，符合题意. ②当时，对于函数，， （ⅰ）若，即时，有唯一零点，符合题意， （ⅱ）若，即时，要使在区间内恰有一个零点，则需 ①令，解得且， ②令，解得，则， 令解得另一个零点为，符合题意， ③令，解得，则， 令解得另一个零点为，符合题意， 综上所述，实数k的取值范围是. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由如下： 因为在R上为增函数， 所以的值域为， 因为的值域为 当时，，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求值域，再分析的值域，根据 “恰好 2 解” 判断是否满足定义； （2）先求分段函数的值域，再分别分析两段的单调性与解的个数，根据 “恰好 3 解” 建立不等式，求解参数m的取值范围； （3）先求出，设，，则，令，，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，为增函数，所以， 当时，为减函数，所以， 所以，时，， 当时，，由二次函数性质得，， 所以，对于，， 使得， 因为当时，， 对于，不存在，使得， 所以要使为的“3重覆盖函数”， 只需，在上有唯一解， 因为，， 所以，即， 解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 因为，所以， 所以，， 所以， 设，，则，令，， 因为为的“2026重覆盖函数”， 所以为的“2026重覆盖函数”， 即，在有2026个根， 作出函数的大致图象（部分），如下图， 要使得在有2026个根， 则，解得 所以正实数a的取值范围是. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数，直线与函数的图象有个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $