专题19 三角形及全等三角形（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题19 三角形及全等三角形 三角形及全等三角形是初中几何的核心基础，是后续学习四边形、圆、相似三角形等知识的关键铺垫，也是中考数学的必考专题。该专题在中考中覆盖选择、填空、解答三种题型，占分比重约10%-12%，核心考查学生对三角形基本性质的掌握、全等三角形的判定与性质应用，以及几何推理、逻辑证明和建模能力。 核心考点 ①三角形的三边关系（构成三角形的条件、线段不等关系）； ②三角形的高、中线、角平分线的性质； ③三角形的内角和与外角性质（内角和定理、外角与内角的关系）； ④全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）； ⑤全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）； ⑥角平分线的性质与判定； ⑦线段垂直平分线的性质与判定； 八全等三角形的实际应用与综合探究。 考情分析 ①基础题型：侧重三角形基本性质（三边关系、内角和、三线性质）、全等三角形的判定与性质基础应用，难度较低； ②进阶层题型：侧重全等三角形与角平分线、线段垂直平分线的结合，角度与线段长度的计算，难度中等； ③拔高层题型：侧重全等三角形的综合应用（动态几何、多结论证明、实际情境建模），难度较高。 （一）核心概念与性质 1.三角形的基本性质 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（若三边为、、，则）； 内角和与外角： 内角和为； 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且外角大于任意一个不相邻的内角； 三线性质： 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，三角形有3条高，交于一点（垂心）； 中线：连接三角形顶点与对边中点的线段，三角形有3条中线，交于一点（重心），重心分中线比为； 角平分线：平分三角形一个内角的线段，三角形有3条角平分线，交于一点（内心），内心到三边距离相等。 2.全等三角形的判定与性质 判定定理： SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等； 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应高相等、对应中线相等、对应角平分线相等。 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线： 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上； 线段垂直平分线： 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （二）二级结论（解题提速技巧） 1.三角形三边关系推论： 若三角形两边长为、（），则第三边的取值范围可快速表示为，常用于求整数解或最值； 等腰三角形中，腰长大于底边长的一半（避免三边无法构成三角形）。 2.全等三角形解题捷径： 公共边、公共角、对顶角是全等的隐含条件，优先标注使用； 遇角平分线可作垂线（利用角平分线性质），遇中线可延长中线至等长（构造SAS全等）； 多次全等问题中，先证基础全等，再用其对应边/角证明后续全等。 3.角度计算技巧： 三角形内角和与外角结合：，可快速转化角度关系； 等腰三角形顶角与底角：顶角，底角，可直接代入计算。 4.实际应用结论： 测量不可直接到达的距离（如池塘两端、花瓶内壁），常用“全等三角形”转化，通过构造全等将未知线段转化为可测量线段。 考点1：三角形的三边关系 例题1（（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【解析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一验证： 选项A：，两边之和等于第三边，无法构成三角形，错误； 选项B：，，，满足三边关系，能构成三角形，正确； 选项C：，两边之和等于第三边，无法构成三角形，错误； 选项D：，两边之和小于第三边，无法构成三角形，错误； 故选B。 变式题1（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一，2、3、4、5、6均可） 【解析】利用平行四边形性质与三角形三边关系求解： 平行四边形对边相等，对角线将其分成两个三角形，三角形的两边为3和4，第三边为对角线； 根据三边关系：，即； 因为整数，故可取值为2、3、4、5、6，任选其一即可。 变式题2（2025·湖南·中考真题改编）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数，若，，，请求出t的取值范围。 【答案】 【解析】结合三边关系求的范围，进而推导的范围： 由得，因，故； 已知，代入三边关系： 当时：，解得； 当时：，解得； 综上，，则； 因随增大而增大，当时，当时，故。 考点2：三角形的内角与外角 例题2（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合平行线性质与三角形外角性质求解： 先求：因，，且（平角定义），故； 由，根据“两直线平行，同位角相等”，得； 是的外角，根据外角性质，代入，得； 故选A。 变式题1（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平行线性质与三角形外角性质推导： 由，根据“两直线平行，同位角相等”，得； 因，故； 是的外角，根据外角性质； 故选C。 变式题2（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合平行线性质与三角形外角定理求解： 由，根据“两直线平行，同位角相等”，得； 观察图形，是含和的三角形的外角，根据外角定理； 代入数据得； 故选A。 考点3：全等三角形的判定与性质 例题3（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【解析】(1) 利用SAS判定全等： 由，两边同时减去，得； 在△与△中： 根据SAS判定定理，。 (2) 利用全等性质与等腰三角形性质推导： 由(1)知，根据全等性质得； 因，根据“等边对等角”，得； 等式两边分别相加：，即。 变式题1（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【解析】利用SAS证明全等： 由，根据“两直线平行，同位角相等”，得； 在与中： 根据SAS判定定理，； 根据全等性质，对应边相等，故。 变式题2（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 考点4：角平分线的性质与判定 例题4（（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 变式题1（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【解析】第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 考点5：线段垂直平分线的性质与判定 例题5（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】利用线段垂直平分线的性质转化边长： 因是的垂直平分线，根据性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”，得； 同理，是的垂直平分线，得； 的周长为，代入转化后的边长：； 已知，故的周长为7，故选C。 变式题1（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【解析】利用垂直平分线性质转化周长： 因是的垂直平分线，故（线段垂直平分线性质）； 的周长为，代入，得； 已知，，故周长为，故选C。 考点6：全等三角形的实际应用 例题6（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 变式题1（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 1．用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形三边关系 【解析】设第三根木棒长为 ，由三角形三边关系定理得， 所以的取值范围是， 观察选项，只有选项符合题意． 故选． 2．如图，在中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理 【解析】，， ， ， ， 故选． 3．如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形的外角性质 【解析】由题知， ， 又， ． 故选． 4．如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形中位线定理 【解析】、分别是、的中点， 是的中位线． 根据三角形的中位线定理，得：． 故选． 5．如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形中位线定理 【解析】点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为　　 A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】 【考点】三角形的面积；坐标与图形性质 【解析】过点作轴于，作轴于，如图， 四边形的面积 ， 故选． 7．如图，内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3．若的重心为，则下列叙述何者正确？　　 A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】 【考点】勾股定理的逆定理；三角形的重心；三角形的面积 【解析】内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3， ， 的重心为， ， ， 点、到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论正确；结论、、错误； 故选． 8．如图，在正方形中，点，分别为对角线，的三等分点，连接并延长交于点，连接，．若，则用含的代数式表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【解析】设与的交点为， 正方形中，点，分别为对角线，的三等分点， ，，， ， ，， ， ， 点，分别为对角线，的三等分点， ， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选． 9．四边形中，、两点在上，点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，判断下列关系何者正确？　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角 【解析】，， ， 故、选项错误， ， ， ， ， ， ， ， 故选． 10．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为 ． 下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变． 其中正确的是　　 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】 【考点】三角形中位线定理；三角形的面积 【解析】①当时， ， 则． 又因为，， 所以四边形是矩形， 所以， 所以四边形的周长为：． 故①正确． 因为“平行线间的距离处处相等”， ，， 所以直线与直线之间的距离是， 所以当时，点到直线的距离仍然是． 故②错误． 由上述过程可知， 点到的距离为定值， 即的边上的高为， 又因为， 所以的面积为定值． 故③错误． 因为点，分别是线段，的中点， 所以是的中位线， 所以， 即线段的长度不变． 故④正确． 故选． 11．如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】三角形内角和定理；全等三角形的性质 【解析】， ， ， ． 故选． 12．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为　　 A．18 B． C．9 D． 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【解析】如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故选． 13．在凸五边形中，，，是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】选项：连接、， ，，， ， ， 是的中点， ，所以选项不合题意； 选项：连接、， ，，， ， ，， ， ， ，即， ，所以选项不合题意； 选项：思路与选项大致相同，先证，再证， ，即， ，所以选项不合题意； 选项 的条件无法证出全等，故证不出，所以选项符合题意． 故答案选：． 14．如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形” 　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】 【考点】全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质 【解析】， ． 在和中， ， ， ． ，，，， 和是一对“伪全等三角形”． 同理可得， 和是一对“伪全等三角形”． 和是一对“伪全等三角形”． 和是一对“伪全等三角形”． 所以图中的“伪全等三角形”共有4对． 故选． 15．如图，正方形由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形组成，连接．若，，则　　 A．5 B． C． D．4 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【解析】， ，， ， 四边形形是正方形， ， ， 故选． 16．如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为　　 A． B． C．5 D．8 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；等腰直角三角形 【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，， 当，，三点共线时，有最大值， 的最大值， 故选． 17．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质 【解析】过点作交延长线于点， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 设，正方形边长为， 则，，， ， ， 故选． 18．如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是　　 A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【解析】①是等腰直角三角形，，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 又， ， ， 故结论①正确； ②， ， ， ， 故结论②正确； ③以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示： ， ， ， 点在上运动， ， 当点与点重合时，的面积为最大，最大值为的面积， 根据等腰直角三角形的性质得：，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③正确； ④点在上运动， 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值是， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选． 19．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 　80　． 【答案】80． 【考点】三角形中位线定理 【解析】是的中点，垂直于地面，垂直于地面， 是△的中位线， ， 另一端离地面的高度为， 故答案为：80． 20．如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 　　． 【答案】． 【考点】三角形的面积 【解析】过作，交延长线于点， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，即， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是 　　． 【答案】． 【考点】角平分线的定义；三角形内角和定理 【解析】是边上的高， ， ，， ，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 22．如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点，分别在，上，当时，　65　． 【答案】65． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质；等腰直角三角形 【解析】如图， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：65． 23．如图，，分别是△边，的中点，连接，．若，，则的长为 　4　． 【答案】4． 【考点】三角形中位线定理 【解析】，分别是△边，的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：4． 24．在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为 　9　． 【答案】9． 【考点】三角形中位线定理 【解析】，，，，，分别是，，的中点， ， 的周长， 故答案为：9． 25．如图，在中，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为 　24　． 【答案】24． 【考点】三角形中位线定理 【解析】点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：24． 26．如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则　10　． 【答案】10． 【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理 【解析】在中，，， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 27．如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则　　度． 【答案】． 【考点】规律型：图形的变化类；三角形内角和定理；三角形的外角性质 【解析】由题意，， 设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，，， 同理可求：， ，， 即， 故答案为：． 28．如图，，若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【考点】全等三角形的性质 【解析】， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，中，是上一点，，、、三点共线，请添加一个条件 　　，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一）． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】， ，， 添加条件，可以使得， 添加条件，可以使得， 故答案为：或（答案不唯一）． 30．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 　　． 【答案】． 【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质 【解析】点在第一象限（不与点重合），且 与 全等， ， ，，如图所示： 由图可知：； 故答案为：． 31．如图，由三个全等的三角形，，与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点．若．则（1）的度数是 　　；（2）的长是 　　． 【答案】（1）， （2）． 【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质 【解析】（已知）， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 32．如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 　　． 【答案】． 【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质 【解析】如图连接、， 关于过的直线对称， 在延长线上， ， 设，， 在菱形中，，， 与关于过的直线对称， ，，， ， ， △， ， ，， △， ， ， ． 故答案为：． 33．在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则． 如图①当时，； 如图②当时，； 如图③当时，； 直接写出，当时，　　． 【答案】． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 【解析】如图①当时，； 如图②当时，； 如图③当时，； 当时，； 故当时，． 34．已知：． （1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 　15　． 【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；三角形的重心 【解析】（1）分别作出边和边的垂直平分线，与和边分别交于点和点， 连接和， 如图所示，点即为所求作的点． （2）点是的重心， ， 的面积等于， 的面积等于， 的面积等于． 又是的中线， 的面积等于． 故答案为：15． 35．如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△△． 你添加的条件是：　①（答案不唯一）　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【考点】全等三角形的判定 【解析】当选择①时，△△，证明如下： 在△和△中， ， △△， ， ； 当选择②时，△△，证明如下： 在△和△中， ， △△； ， ； 当选择③时，不能判定△△， 故答案为：①（答案不唯一）． 36．如图，在和中，，，．求证：． 【考点】全等三角形的判定 【解析】证明：， ，即， 在与中， ， ． 37．如图，是的平分线，，求证：． 【答案】见解答过程． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】证明：是的平分线， ， 在和中， ， ， ． 38．如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【解析】证明：点是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ． 39．如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 【解析】证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ． 40．如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】（1）证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， 由（1）可知：△△， ， ． 41．如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】（1）证明：点为的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）证明：点为的中点，， 直线为线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， ， ． 42．如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与的位置关系是 　　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 【解析】（1）证明：在和中， ， ， ， 即， ， 为等腰三角形； （2）与的位置关系是：，理由如下： 连接，过作直线于，过作直线于，如图所示： 则，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ． 43．如图，，． （1）求证：； （2）若，则　20　． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 44．如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ，， ， ， ， 的度数是． 45．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论　　； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 　　． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【考点】三角形综合题 【解析】【发现结论】解：结论是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 结论2：由结论1知，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：； 【应用结论】证明：（1）在中，， 在中，， ， 在和中， ， ； ； （2）证明：补全图形如图所示， 在中， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 三角形及全等三角形 三角形及全等三角形是初中几何的核心基础，是后续学习四边形、圆、相似三角形等知识的关键铺垫，也是中考数学的必考专题。该专题在中考中覆盖选择、填空、解答三种题型，占分比重约10%-12%，核心考查学生对三角形基本性质的掌握、全等三角形的判定与性质应用，以及几何推理、逻辑证明和建模能力。 核心考点 ①三角形的三边关系（构成三角形的条件、线段不等关系）； ②三角形的高、中线、角平分线的性质； ③三角形的内角和与外角性质（内角和定理、外角与内角的关系）； ④全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）； ⑤全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）； ⑥角平分线的性质与判定； ⑦线段垂直平分线的性质与判定； 八全等三角形的实际应用与综合探究。 考情分析 ①基础题型：侧重三角形基本性质（三边关系、内角和、三线性质）、全等三角形的判定与性质基础应用，难度较低； ②进阶层题型：侧重全等三角形与角平分线、线段垂直平分线的结合，角度与线段长度的计算，难度中等； ③拔高层题型：侧重全等三角形的综合应用（动态几何、多结论证明、实际情境建模），难度较高。 （一）核心概念与性质 1.三角形的基本性质 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（若三边为、、，则）； 内角和与外角： 内角和为； 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且外角大于任意一个不相邻的内角； 三线性质： 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，三角形有3条高，交于一点（垂心）； 中线：连接三角形顶点与对边中点的线段，三角形有3条中线，交于一点（重心），重心分中线比为； 角平分线：平分三角形一个内角的线段，三角形有3条角平分线，交于一点（内心），内心到三边距离相等。 2.全等三角形的判定与性质 判定定理： SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等； 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应高相等、对应中线相等、对应角平分线相等。 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线： 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上； 线段垂直平分线： 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （二）二级结论（解题提速技巧） 1.三角形三边关系推论： 若三角形两边长为、（），则第三边的取值范围可快速表示为，常用于求整数解或最值； 等腰三角形中，腰长大于底边长的一半（避免三边无法构成三角形）。 2.全等三角形解题捷径： 公共边、公共角、对顶角是全等的隐含条件，优先标注使用； 遇角平分线可作垂线（利用角平分线性质），遇中线可延长中线至等长（构造SAS全等）； 多次全等问题中，先证基础全等，再用其对应边/角证明后续全等。 3.角度计算技巧： 三角形内角和与外角结合：，可快速转化角度关系； 等腰三角形顶角与底角：顶角，底角，可直接代入计算。 4.实际应用结论： 测量不可直接到达的距离（如池塘两端、花瓶内壁），常用“全等三角形”转化，通过构造全等将未知线段转化为可测量线段。 考点1：三角形的三边关系 例题1（（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 变式题1（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 变式题2（2025·湖南·中考真题改编）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数，若，，，请求出t的取值范围。 考点2：三角形的内角与外角 例题2（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 变式题1（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式题2（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点3：全等三角形的判定与性质 例题3（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 变式题1（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 变式题2（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 考点4：角平分线的性质与判定 例题4（（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 变式题1（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 考点5：线段垂直平分线的性质与判定 例题5（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式题1（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ） A．21 B．14 C．13 D．9 考点6：全等三角形的实际应用 例题6（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 变式题1（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 1．用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为　　 A． B． C． D． 5．如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为　　 A．14 B．11 C．10 D．9 7．如图，内部有一点，且、、的面积分别为5、4、3．若的重心为，则下列叙述何者正确？　　 A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 8．如图，在正方形中，点，分别为对角线，的三等分点，连接并延长交于点，连接，．若，则用含的代数式表示为　　 A． B． C． D． 9．四边形中，、两点在上，点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，判断下列关系何者正确？　　 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为 ． 下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变． 其中正确的是　　 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 11．如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为　　 A．18 B． C．9 D． 13．在凸五边形中，，，是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是　　 A． B． C． D． 14．如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形” 　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 15．如图，正方形由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形组成，连接．若，，则　　 A．5 B． C． D．4 16．如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为　　 A． B． C．5 D．8 17．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 18．如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是　　 A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 19．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 　　． 20．如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 　　． 21．如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是 　　． 22．如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点，分别在，上，当时，　　． 23．如图，，分别是△边，的中点，连接，．若，，则的长为 　　． 24．在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为 　　． 25．如图，在中，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为 　　． 26．如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则　　． 27．如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则　　度． 28．如图，，若，，则的度数为 　　． 29．如图，中，是上一点，，、、三点共线，请添加一个条件 　　，使得．（只添一种情况即可） 30．如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 　　． 31．如图，由三个全等的三角形，，与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点．若．则（1）的度数是 　　；（2）的长是 　　． 32．如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 　　． 33．在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则． 如图①当时，； 如图②当时，； 如图③当时，； 直接写出，当时，　　． 34．已知：． （1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 　　． 35．如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△△． 你添加的条件是：　　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 36．如图，在和中，，，．求证：． 37．如图，是的平分线，，求证：． 38．如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 39．如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：． 40．如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 41．如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 42．如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与的位置关系是 　　． 43．如图，，． （1）求证：； （2）若，则　　． 44．如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 45．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论　　； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 　　． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $