微专题05 导数与不等式的证明5大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

微专题05 导数与不等式的证明 题型一：不等式证明之常规题型 2 题型二：不等式证明之切线放缩 3 题型三：不等式证明之数列求和常数型 3 题型四：不等式证明之数列求和f(n)型 5 题型五：不等式证明之数列求积型 6 【题型方法指导】 一：不等式证明之常规题型 方法原理 1证明不等式（或）转化为证明（或）进而构造辅助函数 二：不等式证明之切线放缩 方法原理最常用切线放缩大题需证明 1 证明设则当时当时 即当且仅当时取等号得证 图形表示如图在处的切线方程为 2 证明设则当时当时 即当且仅当时取等号得证 图形表示如图在处的切线方程为 三：不等式证明之数列求和常数型 适用题型题目出现（为常数）时 方法原理对于（为常数）需要将进行放缩再进行裂项再用裂项相消求和处理 放缩裂项示例 核心是构造以及观察和的和差跟分子的关系再合理构造 另外常数常用变形 注意先放缩再裂项用到的放缩不等式题目几乎都会在前面的小问给出提示不会凭空构造所以做题时一定要多注意题目给的提示 解题步骤 ①观察结构是否属于（为常数） ②找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再叠加证明即可 四：不等式证明之数列求和f(n)型 适用题型题目出现时 方法原理 对于 最后转化为不等式证明即证 注意上述用到的放缩不等式题目几乎都会在前面的小问给出提示不会凭空构造所以做题时一定要多注意题目给的提示 解题步骤 ①观察结构是否属于 ②找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再叠加证明即可 五：不等式证明之数列求积型 适用题型题目出现前项积前项积（为常数）时 方法原理 方式1对于前项积类似求和型可以把右侧也看作前项积从而证明左右的通项大小关系或者利用题目前面小问的结论分析处理但此两种方法用得不多 方式2直接左右取对则变成求和型题目后面的处理方式就和求和型一致了这种处理方式更常见一些 解题步骤 ①观察结构适合方式1还是方式2 ②方式1则结合题目前面的小问结论进行分析处理如果方式2则找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再相乘证明即可 题型一：不等式证明之常规题型 1．（2026·四川巴中·一模）函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)设，求证:. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后分别求出，即可得到切线的切点和斜率，并使用点斜式求得切线方程； （2）令求出在上的增减性后即可求得最大值； （3）设，则不等式为，设，多次求导后确定在内有零点，从而确定的最小值为0，即可得证. 【详解】（1）由题意得，，， 故切线方程为，即. （2）令，且，解得， 当 时，单调递增; 当 时，单调递减， 所以函数在上的最大值. （3）令，则， 则原不等式转化为， 令，下面证明， 则， 令，则， 故在上单调递减， 因为，， 即存在，使， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当时，. 2．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）先进行求导，根据极值的定义，求解的值，将的值进行检验得出结果； （2）将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 3．（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）代入，求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可. 【详解】（1）当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）证明：当时，． 要证，即证． 构建，则． 构建，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 可知函数在上单调递增， 则，即． 题型二：不等式证明之切线放缩 1．（2021全国乙卷高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 2．（23-24高二下陕西渭南期末）已知函数，a，，且曲线在处与直线相切. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值. (3)设.证明：当时，. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可得，结合，即可求解；（2）利用导数求出的单调区间，从而得到在上的最大值；（3）将问题转化为证明，令 ，结合导数得到的单调性，；求出的最小值，即可证明. 【详解】（1）由题可得：， 因为曲线在处与直线相切， 所以，， 则，解得： （2）由(1)知：，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 即在上的最大值为 （3）要证明当时，， 即证， 即证：， 即证：， 令 ， 则， 所以在上单调递增， 则， 故在上恒成立， 即，证毕. 3．（23-24高二下天津期末）已知函数，（e为自然对数的底数），. (1)若时，求函数的极值； (2)若恒成立，求实数m的值； (3)若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，确定单调性后可得极值； （2）不等式转化为恒成立，利用导数求得的最小值，则最小值大于或等于0求得参数的值； （3）由导数的几何意义求得值，再利用导数证明恒成立，即.从而有，化简后利用刚才所得不等式可得证． 【详解】（1）当时，，则. 令，得， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以的极小值为，无极大值. （2）若恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，恒成立，所以是上的增函数 注意到，所以时，，不合题意： 当时，若，则，若，则， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故只需， 令. 则， 当时，，若时，， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故，当且仅当时取等号， 所以时，即，从而. （3）设直线与曲线相切于点， 因为，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 所以解得， 所以，则 令，得，当时，； 当时，. 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增. 所以，即. 所以， 所以 . 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数值或范围的方法，不等式恒成立，一种方法利用导数求得，然后由转化为关于参数的不等式，从而求得参数范围或值，另一种方法是分离参数，化不等式不，由导数求的最大值，然后解不等式可得． 4．（23-24高二下广东广州期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）方法一：由（1）可得函数在处取得最小值，即证，求导得到函数的最值，即可证明；方法二：由条件可得要证，即证，证明构造函数即可证明，从而得证. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增， 当时，令得， 当得， 当得， 所以当时，在上单调递增；在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递增. （2）证法一：由（1）知，当时，函数在处取得最小值， ， 要证，即证， 设，， 令， 则， 所以在上单调递增， ，， 设，满足， 则，解得， 当，当， ， 把代入得， 设， ， 在上单调递减， ， 对恒成立，即成立. 所以对恒成立， 所以对恒成立.， （2）证法二： 由（1）知，当时，函数在处取得最小值， ， 要证，即证， 现证，设，， 当令得，当得，当得， 在处取得最小值， 即，，， ， 只需证，即， 显然成立.， 所以对恒成立. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答本题的关键在于找出函数的零点位置，再由隐零点问题，代入计算，求解. 5．（22-23高二下北京丰台期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)判断与1.01的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)，理由见解析； 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求出定义域，求导后，分与两种情况进行讨论得到函数单调性情况； （3）构造函数，比较判断与1.01的大小关系； 【详解】（1），所以， ，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）定义域为， 当时，对恒成立， 在上为增函数； 当时，令，所以，， ，，函数单调递减， ，，函数单调递增， 综上所述： 当时， 在上为增函数； 当时， ，函数单调递减；，函数单调递增； （3）记，则， 当时，，故在上单调递增， ，即， 故有：； 题型三：不等式证明之数列求和常数型 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分、、讨论，利用以及最值可得，再检验即可； （2）结合（1）分、讨论，将问题转化为在上恒成立，令，分、两种情况讨论即可； （3）由（2）得恒成立，利用其可得，再利用累加法可证. 【详解】（1）由题意知，， 若，则，不符合题意； 若，则的定义域为， 因为的最大值为0，且，则，即， 此时的定义域为，，， 当时；时， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，符合题意； 若，的定义域为，显然， 其余同，得出，舍去； 综上，； （2）由（1）知，， 则当时，在上恒成立； 当时，若对任意的，有恒成立， 则在上恒成立， 令， 则， 若，即，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，符合题意； 若，即，则当时，， 则在上单调递减，所以，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为； （3）由（2）可知，当时，恒成立， 即恒成立， 令， 则， 则， 即， 则， 即. 7．（20-21高三上·湖南长沙·月考）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导得，根据的情况，分类讨论即可求解； （2）要证明，即证，即， 设，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）由（2）知，令，则，又，最后利用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为． ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：当时，， 要证明，即证，即， 设，则，令得，． 当时，，当时，， 所以为极大值点，也为最大值点． 所以，即．故； （3）证明：由（2）知（当且仅当时等号成立）， 令，则， 所以 ， 即， 所以． 8．（2025·四川成都·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明. 【答案】(1)极大值，无极小值. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导确定函数的单调性进而求极值； （2）先分类讨论分离参数，然后构造函数通过求导确定单调性进而求最值确定的取值范围； （3）由（2）知，，故，然后换元得通过累加法即可得证. 【详解】（1）由，得. 由可得；由可得； 所以在上单调递增；在上单调递减. 所以有极大值；无极小值. （2）由题意，对恒成立. 当时，显然成立；当时，由， 得；当时，由，得. 设函数，则. 当或时，；当且时，. 所以在和上单调递减， 在和上单调递增. 所以当时，； 当时，. 所以的取值范围是. （3）由（2）知，，故. 令，得. 化简并整理，得，故. 所以. 累加，得（，且）. 所以，故. 所以，故（当时也成立）. 所以. 9．（2025·宁夏中卫·二模）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）分，两种情况讨论求解即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，令，可得，进而利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【详解】（1）由，， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，对定义域内，都有恒成立， 由（1）知，当时，函数在上单调递增， 而时，，此时不恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立， 令，，则， 故， 则， 故. 10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； (2)若在上恒成立，求a的最小值； (3)证明：（且）. 【答案】(1)-1 (2)-1 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导函数的几何意义，利用函数导数求函数求切线的方法，求出参数， （2）根据恒成立问题的解法，构造函数求出最小值，求出参数范围，判断参数最小值. （3）构造函数，转换不等式表示方法，再使用放缩法证明不等式. 【详解】（1）当x轴是曲线的一条切线，即存在，使 求导得，当时，解得， 则，解得. （2）当在上恒成立时，即在上恒成立， 设，则， 可知当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，取得最小值， ， 所以，即.的最小值为-1. （3）由(2)可知，当时取等号，则， 令，且，得， 令， 由，可知， 化简得， 所以， 即得，原命题得证. 题型四：不等式证明之数列求和f(n)型 11．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 12．（2026·山东枣庄·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可； （2）（ⅰ）对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为，即． （2）（ⅰ）因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．， 此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以． 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以， 即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 13．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值； （2）原不等式可化为，当时，不等式恒成立，当时，先证明在上单调递增，求出，分和两种情况分别讨论，即可求出答案； （3）由（1）知，当时，，利用放缩得到，代入再通过不等式累加即可证明. 【详解】（1）由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为. （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是. （3）由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即. 14．（2026·吉林长春·一模）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解； （2）设，即在上恒成立，利用导数分、、三种情况分析即可； （3）利用放缩公式，代入，累加即可计算求解. 【详解】（1），所以且， 则在处的切线方程为； （2）即 . 设，则， 令，则且，. （i）当，时，显然中的，，则恒成立. （ii），时，，则单调递增. ，则在上单调递增，，所以恒成立. （iii）当，时，，则单调递增， ，又，则存在唯一的， 使得，且当时，，单调递减，此时不满足恒成立条件， 综上所述，； （3）证明：由（2）得，即， 取，，所以，即， 当时，； 当时，； 当时，； …… 当时，. 累加可得，，即. 15．（2026·陕西西安·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)设，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，通过，即可求解； （2）构造函数，求导，再令，再求导，得到，通过和和两类情况讨论即可求解； （3）由（2）取，得，再令，得到进而得到 ，即可求证. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，则，又， 设，则， 若，则，因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当，且时，， 则， 所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）证明：取，则，总有成立， 令，则，，， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 故不等式成立. 16．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导令得到切线斜率为1，从而求得切线方程； （2）利用必要性探路的端点效应，因为，所以，得到；再证充分性即可； （3）数列放缩求和与导数结合，利用两个不等式和，令得到，求和后得到结论. 【详解】（1）解：，，， 所以，， 所以切线方程为. （2）解：， 因为，对任意的恒成立， 所以，即，所以. 下证：当时，对任意的恒成立. 因为，所以， 所以， 令，，令得， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以，即. 令，因为 , 所以在上单调递增，所以， 从而当时，对任意的恒成立. 综上，. （3）解：令，，所以在上单调递增，上单调递减，所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 又令，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 综上，，得证. 题型五：不等式证明之数列求积型 18．（24-25高三上·云南·月考）设． (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设为整数，且对于任意正整数都有，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数判断函数单调性及最值即可得证； （3）由（2）可知当时，可得，根据等比数列求和可知，即可得解. 【详解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），，所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有，只需，又为整数， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 19．（2025·内蒙古包头·模拟预测）设函数，其中． (1)当时，判断函数的单调性： (2)若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围： (3)设且，证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据函数定义域及导数正负得出函数单调性即可； （2）由的单调性，结合题意有，转换为不等式恒成立问题来求解即可. （3）首先利用分析法，两边取对数将不等式变形为，进一步采用倒序相加法，则只需证，结合（2）中结论即可求证. 【详解】（1）由题：， ， 所以函数在上单调递减； （2）当时，， ， 有减区间为，增区间为, 由题可知：对任意，均有成立， 等价于恒成立， 令， 则，得，且， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以； 所以当时，， 注意到， 所以， 所以的取值范围为. （3）由题意，其中且， ， 因为 由（2）可知：， 取，代入上式得 ， ， 所以，得证! 20．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数 (1)当时，求函数的极值; (2)对于任意的正整数 (ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值; (ⅱ)证明：为自然对数的底数 【答案】(1)有极小值，无极大值 (2)ⅰ2；ⅱ证明见解析 【分析】（1）求导，令，求解，判断其单调性，可求极值； （2）(ⅰ) 当时，，求导可得，可得，累加可得结论； (ⅱ) 设，，求导可证，结合，可得，累加可得结论. 【详解】（1）当时，， 则， 由得， x 2 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 因此，当时，有极小值，无极大值. （2）(ⅰ)当时，，， 则，由得， 当时，，所以在上单调递增; 当时，，所以在上单调递减; 所以即，当且仅当时取等号. 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以 所以整数M的最小值为 (ⅱ)设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，即，， 由(ⅰ)知，， 所以，， 令，得， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：涉及不等关系的证明，恒成立问题的求解，解决的方法是对不等式左侧的式子根据所证函数不等式关系的结论进行合理的放缩可求解问题. 21．（2024·安徽淮南·一模）已知函数． (1)求证：当时，； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：对任意． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用导数证明在上恒成立即可； （2）设，利用导数分和讨论的单调性和取值； （3）原命题等价于，结合（1）和（2）进行证明. 【详解】（1）设， 则， 设，，则， 所以在上单调递减，又， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以在上恒成立， 所以当时，； （2）设，则， 当时，，则单调递增， 且，所以当时，恒成立， 当时，令，得， 当时，，则单调递减， 又，所以，不满足题意， 综上所述，的取值范围为. （3）原命题等价于， 由（2）知， 所以， 从而， 另一方面，由（1）在上恒成立，即， 所以， 从而当时，有， 当时，不等式也成立，所以， 综上所述，结论成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）(3)利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 22．（2024·吉林·三模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，即证，构造函数，其中，再证明，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数、的单调性，即可证得结论成立； （2）由（1）变形得出，然后令，得，分别、、、、，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）（i）要证，即证， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 所以，，即当时，有； （ii）要证，即证， 即证， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则， 所以，函数在上单调递增，则，即. 综上所述，当时，. （2）由（1）可知，当时，，变形可得， 令，得， 分别取、、、、得： ，，，，， 由不等式的基本性质可得，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 23．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 【答案】(1)极大值为4，极小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导即可得到函数的单调性，从而得到其极值； （2）根据题意，令，将问题转化为最值问题，然后求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （3）结合对数的运算可得只需证明，再由（2）中结论可得，代入计算，即可证明. 【详解】（1）当时，， 令，即，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极大值， 当时，取得极小值． （2）令， 则，且，， 设，则， 又令，则， ①若，即时， 由于在区间上为增函数，可知， 则即在区间上为增函数，故， 所以即在区间上为增函数， 则，则在区间上为增函数， 所以，即时，恒成立， 所以，当时，符合条件． ②若，即时， 由于为单调递增函数，且， 所以，， 则时，， 可知）即在区间上为减函数，则， 故即在区间上为减函数，则， 则在区间上为减函数，所以，不符合题意， 综上所述，当，时，a的取值范围为． （3）欲证， 只需证明， 由（2）可知，当时，，即有， 进而得，其中，当且仅当时“＝”成立， 则，，…，， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图像与性质，导数的应用以及不等式的证明，难度较大，解答本题的关键在化归与转化思想的应用. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题05 导数与不等式的证明 题型一：不等式证明之常规题型 2 题型二：不等式证明之切线放缩 3 题型三：不等式证明之数列求和常数型 3 题型四：不等式证明之数列求和f(n)型 5 题型五：不等式证明之数列求积型 6 【题型方法指导】 一：不等式证明之常规题型 方法原理 1证明不等式（或）转化为证明（或）进而构造辅助函数 二：不等式证明之切线放缩 方法原理最常用切线放缩大题需证明 1 证明设则当时当时 即当且仅当时取等号得证 图形表示如图在处的切线方程为 2 证明设则当时当时 即当且仅当时取等号得证 图形表示如图在处的切线方程为 三：不等式证明之数列求和常数型 适用题型题目出现（为常数）时 方法原理对于（为常数）需要将进行放缩再进行裂项再用裂项相消求和处理 放缩裂项示例 核心是构造以及观察和的和差跟分子的关系再合理构造 另外常数常用变形 注意先放缩再裂项用到的放缩不等式题目几乎都会在前面的小问给出提示不会凭空构造所以做题时一定要多注意题目给的提示 解题步骤 ①观察结构是否属于（为常数） ②找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再叠加证明即可 四：不等式证明之数列求和f(n)型 适用题型题目出现时 方法原理 对于 最后转化为不等式证明即证 注意上述用到的放缩不等式题目几乎都会在前面的小问给出提示不会凭空构造所以做题时一定要多注意题目给的提示 解题步骤 ①观察结构是否属于 ②找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再叠加证明即可 五：不等式证明之数列求积型 适用题型题目出现前项积前项积（为常数）时 方法原理 方式1对于前项积类似求和型可以把右侧也看作前项积从而证明左右的通项大小关系或者利用题目前面小问的结论分析处理但此两种方法用得不多 方式2直接左右取对则变成求和型题目后面的处理方式就和求和型一致了这种处理方式更常见一些 解题步骤 ①观察结构适合方式1还是方式2 ②方式1则结合题目前面的小问结论进行分析处理如果方式2则找到需要证明的不等式正向和逆向寻找都可怎么简单怎么处理 ③表达出左右前项再相乘证明即可 题型一：不等式证明之常规题型 1．（2026·四川巴中·一模）函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)设，求证:. 2．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 3．（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； 题型二：不等式证明之切线放缩 1．（2021全国乙卷高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 2．（23-24高二下陕西渭南期末）已知函数，a，，且曲线在处与直线相切. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值. (3)设.证明：当时，. 3．（23-24高二下天津期末）已知函数，（e为自然对数的底数），. (1)若时，求函数的极值； (2)若恒成立，求实数m的值； (3)若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 4．（23-24高二下广东广州期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 5．（22-23高二下北京丰台期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)判断与1.01的大小关系，并说明理由. 题型三：不等式证明之数列求和常数型 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，证明：． 7．（20-21高三上·湖南长沙·月考）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 8．（2025·四川成都·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明. 9．（2025·宁夏中卫·二模）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值； (2)若在上恒成立，求a的最小值； (3)证明：（且）. 题型四：不等式证明之数列求和f(n)型 11．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 12．（2026·山东枣庄·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 13．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 14．（2026·吉林长春·一模）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 15．（2026·陕西西安·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)设，证明：. 16．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. (3)证明： 题型五：不等式证明之数列求积型 18．（24-25高三上·云南·月考）设． (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设为整数，且对于任意正整数都有，求的最小值． 19．（2025·内蒙古包头·模拟预测）设函数，其中． (1)当时，判断函数的单调性： (2)若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围： (3)设且，证明：． 20．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数 (1)当时，求函数的极值; (2)对于任意的正整数 (ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值; (ⅱ)证明：为自然对数的底数 21．（2024·安徽淮南·一模）已知函数． (1)求证：当时，； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：对任意． 22．（2024·吉林·三模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：，. 23．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $