精品解析：北京市第一五九中学2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题

初三年级第二学期数学学情综合评价（第一次）试题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意； B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意； C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意； D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意． 故选：A． 2. 据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．根据a，c的值，判断出判别式的符号，可得结论． 【详解】解：A、当，时，方程是一元一次方程，本选项不符合题意； B、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； D、当，时，，，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 7. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键． 根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下： A B B A （B，A） （B，A） B （A，B） （B，B） B （A，B） （B，B） 共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况， 则抽取的两张牌花色相同的概率为． 故选：B． 8. 如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，令，交于点，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可是，证，可得，若选条件②，可知，得，设，则，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案． 【详解】解：连接，，令，交于点， ∵经过圆心O，是的一条弦，， ∴，， 则， 若选条件①，∵平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 若选条件②，∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，则， ∴， 设，则， ∴，， 则， ∴，即，故②不符合题意； 若选条件③，∵，即： ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故选：B． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 10. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 11. 用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________． 【答案】a=0（答案不唯一） 【解析】 【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的即可． 【详解】当a＝0时，2a=0， 此时a=2a， ∴命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的， 故答案为：0．（答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴ ，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，．点D在射线上运动（不与点B重合）．当的长为______时，． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即当的长为8时，． 故答案为：8 14. 如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的判定即可解． 【详解】是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC， ∵AO=CO ∴△AOF≌△COE(AAS) ∴AF=CE 又∵AF=CE 四边形AECF 是平行四边形， 又∵ ∴四边形AECF是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定等，熟练掌握菱形判定是解决问题的关键． 15. 如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，连接，可得，根据即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：2 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 【答案】（1）鲁班锁； （2）1或2或3 【解析】 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【小问1详解】 解：∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； 【小问2详解】 ∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算能力，特殊角的三角函数值．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键： （1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握图形平移的规律，解不等式是解题的关键． （1）根据图形的平移可确定的值，再根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，，根据不等式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据图象平移可得，且经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数图象的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，， 解得，， ∵， ∴， 当时，， ． 23. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 【答案】（1）①90，87．5； ②如图所示，在图中圈出的就是所求． （2）B （3）180 【解析】 【分析】（1）①根据图象直接得到，再求平均即可；②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，圈出即可； （2）根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解； （3）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可． 【小问1详解】 解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷=87．5， 故答案为：90，87．5． ②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上． 【小问2详解】 由统计图可以看出，70≤x<75的点有7个，75≤x<80的点有2个，80≤x<85的点有1个，85≤x<90的点有1个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有4个， ∴B作图正确． 【小问3详解】 解：400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为： （人）． 【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）2． 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）略 （2）设半径为r， 在Rt△OCD中，， ∴， ∴， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【解析】 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． （1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； （2）当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 【答案】（1） （2），理由如下： 当时， 这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ∵ ， ∴ （，）与（2，）关于对称轴对称， ∴ 抛物线的对称轴为， 即． ∴函数解析式为 ∴ （0，）为抛物线的顶点． ∵ 抛物线的开口向上， ∴ 当时，为函数的最小值． ∴ ． （3）a的取值范围是 【解析】 【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可； （2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可； （3）将（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）代入y = x2－2ax + 1中，再解不等式即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将，和分别代入，得： ， ， ． 则有：， ， 于是成立，即为和同时成立， 也即为和同时成立． ① 当时，， 故，不存在大于1的实数m； ② 当时，， 要使，则，也不存在大于1的实数m； ③ 当时，，不符合题意； ④ 时， 只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立， 即成立． 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论． 27. 已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E． （1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时， ①求证：CE +DE =AD； ②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明； （2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长． 【答案】（1）①见解析；②补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为．证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据ASA证明△ABD ≌ △BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到． ②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF ≌ △BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得，由此得到． （2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD ≌ △BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答 【小问1详解】 ①证明： ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠ABD+∠CBD=90°． ∵ CE⊥l， ∴ ∠CEB=90°． ∴ ∠CBD+∠C=90°． ∴ ∠ABD=∠C． ∵ AD⊥l， ∴ ∠ADB=90°=∠CEB． ∵ AB=BC， ∴ △ABD ≌ △BCE． ∴ AD=BE，BD=CE． ∵ ， ∴ ． ②补全图形如图： 线段DF，BE，DE的数量关系为． 证明如下： ∵ AF∥BC， ∴ ∠BAF+∠ABC=180°． ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠BAF=90°． ∴ ∠BAD+∠DAF=90°． ∵ AD⊥l， ∴ ∠ADB=90°． ∴ ∠BAD+∠ABD=90°． ∴ ∠ABD=∠DAF． ∵ DF⊥AE于H， ∴ ∠DHE=90°． ∴ ∠HDE+∠HED=90°． ∵ ∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°， ∴ ∠HED=∠ADF． ∵ 由（1）中全等，有AD=BE， ∴ △ADF ≌ △BEA． ∴ DF=AE． ∵ 在中，， ∴ ． 【小问2详解】 当直线l在∠ABC外部时， 由（1）知△ABD ≌ △BCE． ∴ AD=BE，BD=CE， ∴DE=DB+BE=DB+AD， 设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x， ∴ = = ∴当x=时，AB2有最小值，即AB=． 故当DE取最大值3时，AB为 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（，分别是M，N的对应点）．若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”． （1）如图，点． ① 已知图形：半径为1的，：以线段为边的等边三角形，：以O为中心且边长为2的正方形，在，，中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　； ② 以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围； （2）线段在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且的长度为2．若存在点，使得对于任意过点Q的直线l，有线段，满足半径为r的是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）① ，；②b的取值范围是 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可； ②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可； （2）根据题意，确定出当三角形为等腰直角三角形且时r最小，作关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可． 【小问1详解】 解：①线段关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界）， 其中，，， 故图形，符合题意． ②记点P，O关于直线的对称点分别为，，根据题意，得四边形是正方形，且，根据正方形的性质，得当直线恰好经过正方形的对角线时，线段关于直线的对称线段恰好在正方形的边上，符合题意，此时，解得； 构造以为对角线边长为2的正方形，如图所示，当直线恰好经过正方形的对角线时，线段关于直线的对称线段恰好在正方形的边上，符合题意，此时，解得； 当直线在直线和直线之间运动时，符合题意， 故b的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意知，当三角形为等腰直角三角形且时r最小， 由Q点坐标知，Q点在直线上运动， 作线段关于直线的对称图形，则， ∵， ∴， 根据题意，得的最小值为Q为直线与坐标轴交点构成线段的中点时取得， ∴， 过点Q作轴于点T， 则， 此时最小，且为， 根据对称性，得， 故当三点共线时，r取得最小值，且最小值为， 故r的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解题．解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级第二学期数学学情综合评价（第一次）试题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得． 条件①：平分 条你②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式_______． 11. 用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 13. 如图，在中，，，．点D在射线上运动（不与点B重合）．当的长为______时，． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）． 15. 如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为______． 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 23. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． （1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； （2）当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 27. 已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E． （1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时， ①求证：CE +DE =AD； ②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明； （2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（，分别是M，N的对应点）．若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”． （1）如图，点． ① 已知图形：半径为1的，：以线段为边的等边三角形，：以O为中心且边长为2的正方形，在，，中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　； ② 以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围； （2）线段在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且的长度为2．若存在点，使得对于任意过点Q的直线l，有线段，满足半径为r的是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $