福建省厦门第一中学2026届高三上学期数学强化限时训练1

厦门一中2026届高三上数学强化练习 限时训练1 _班_号 姓名_ 成绩_ 一、单项选择题: 1. 设集合,则集合的真子集个数为 A.7 B.8 C.15 D.16 2. 已知函数,若,则 A. B. C.0 D.或 3.等比数列的公比为,前项和为,设甲:,乙:是递增数列,则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 一元二次不等式的解集为,则的最大值为 A. B. C.2 D.4 5. 已知,,且,则的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.8 6.定义在上函数满足,且当时,. 则使得在上恒成立的的最小值是 A. B. C. D. 7.已知抛物线的焦点为,过点的直线交于,两点,线段 的中点为,过作线段的中垂线交轴于点,过,两点分别作的准线的 垂线,垂足分别为,.线段的中点为,则 A.1 B. C.2 D. 8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则下列说法中一定正确的是 A. B. C., D.(3)(5) 二、多选题: 9.已知,,且,若,,则 A. B.的最小值为 C.的最小值为 D.的取值范围为, 10.已知圆,直线,则下列说法正确的是 A.当时,被圆截得的弦长为 B.恒过点 C.当被圆截得的弦长最大时,的斜率为 D.被圆截得的弦长的最小值为 11.已知定义域为的函数满足: ①若,则;②对一切正实数,,.则 A. B. C.,恒有成立 D.存在正实数,使得成立 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.双曲线的两个焦点为、,点在该双曲线上,且,则点到轴的距离为 . 13.已知函数满足对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 . 14.已知偶函数满足:当时,, 若恰有三个零点,则的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数,为数列的前项和. (1)求的通项公式; (2)记数列的前项和为,证明: 16.(15分) 已知函数. (1)当时,求曲线在点,(2)处的切线方程; (2)若有极小值,且,求的取值范围. 17.(15分) 如图,四棱锥中,底面,,,, ,分别为线段,上一点,. (1)若为的中点,证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18.(15分) 已知动圆经过定点,且与圆内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程; (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点,,点为轨迹上异于,的动点,设直线 交直线于点,连接交轨迹于;直线,的斜率分别为,. (i)求证:为定值; (ii)证明:直线过定点. 19.(17分) 若函数图像上存在相异的两点、,使函数在点和点处的切线重合, 则称是“双切函数”,点、为“双切点”,直线为的“双切线”. (1)若,判断函数是否为“双切函数”,并说明理由; (2)若,证明:函数是“双切函数”,并求出其“双切线”; (3),求证:是“双切函数”的充要条件是“”. 厦门一中2026届高三上数学强化练习15 限时训练1 参考答案 一、选择题:1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 7.设直线,联立,所以 则,得线段的中点为, 即,线段的中垂线方程为, 令,得.所以,所以, 又,所以.又,所以四边形为平行四边形,因此(本质:以AB为直径的圆与焦点弦切于焦点) 8.解:对,,则,则, 又,所以,令,可得,即. 所以,所以函数的图象关于对称, 而,可得关于对称,错; 对为奇函数,则图像关于对称,且, ,(2),(1)(3),(4),(4). 又,,的周期, (1)(2)(3)(4)(1)(2)(3),对; ,则是周期的函数,(3)(5)(1)(3),错误; 对,(1),错误. 二、多选题:9.BCD 10.BC 11.BCD 11.对于A,令,可得,无法确定的值,A错; 对于B,令,代入条件②中,,即,B对; 对于C,当时,,且当时,,则,C对;对于D,取, 由于,从而成等差数列,即成等差数列, 即 而公差,所以当n充分大时,可使,D对. 三、填空题:12. 13. 14. 14.因为当≥时,,所以,又因为 为偶函数,所以恰有三个零点等价于在恰有一个零点, 令,得,所以与函数的图象恰有一个交点,因为函数与函数的图象关于对称, 解法一:由于,当的图象与直线相切时,设切点为,则且,所以,,设,则,设,则,所以在单调递增,在单调递减,又因为,所以,,由图可知,的取值范围为. 解法二:如图,由于,函数的图象与直线有一个公共点为,当函数的图象与直线切于原点时,,,则的取值范围为. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1), 当时,, 当时,,综上,,;-(5分) (2)证明:因为,所以,所以, 所以,-(7分) 又因为,-(9分) 所以,所以, 所以,所以,所以.-(13分) 16.解:(1)当时,,,,又(2),-(2分) 所以曲线在点,(2)处的切线方程为.-(4分) (2)由题意,的定义域为,且,-(5分) 当时,因为,所以,为单调递增函数,无极小值,不符题意;-(6分) 当时,, 因为,所以当时,,当时,,-(8分) 所以函数有极小值为. 又,所以,即, 因为,所以.-(11分) 设(a),则,所以(a)在上单调递增, 又(1),所以的解集为,,即的取值范围是,.-(15分) 17.解:(1)证明:由已知得,取的中点T,连接, 由N为的中点知,.又,故,且, ∴四边形为平行四边形,∴, 4分 ∵平面,平面,∴平面. 6分 (2)取的中点,连接,建立如图所示的空间坐标系. ,不妨设, 则, 8分 设平面的一个法向量为, ,取,则. 10分 设直线与平面所成角为,则 12分 .故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 15分 18.解:(1)设动圆的半径为r,圆的圆心,半径, 显然点在圆内,则, 1分 于是, 3分 因此动点M的轨迹C是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,长半轴长,半焦距,则短半轴长,所以轨迹C的方程为. 5分 (2)(i)设,,,由(1)知,, 显然,,而,则, ,又,即, 所以,为定值.(则) 11分 (ii)由消去x得, , 由(i)得, 14分 又 ,解得,满足, 16分 因此直线PQ的方程为,所以直线PQ过定点. -17分 19.解:(1)由题意,若是“双切函数”,则存在两个不相等的实数,, 使得, 由可知,为单调递增函数,所以不存在两个不相等的 实数,,使得,所以不是“双切函数”.-4分 (2)证明:,为偶函数,且在上单调递增,所以必存在两个不相等的 实数,,使得,且,不妨设两切点为,, ,,为奇函数,又,所以两切点,关于原点对称, 即此时切线斜率,即,解得或,所以存在 两点,满足条件,所以是“双切函数”,此时,两点, 确定的直线方程即为“双切线”,可得即为函数的“双切线”,-9分 (3)证明:(充分性)若是“双切函数”, 所以需要存在两个不相等的实数,,使得, 令,即存在实数使得在定义域内有两零点, 所以不单调,又, 所以 ,所以,所以,充分性成立,-12分 (必要性)因为是“双切函数”,设点,,,为其一对“双切点”, 函数在处的切线方程为, 所以,即, 即,因为,所以, ,设,, 原式即,由(1)可得,代入(2)得, 化简得,, 假设,则,原方程仅有一解, 所以,所以,为方程的两个相异实根, 但由此一元二次方程的判别式 , 即方程要么无实根,要么有两个实数根,与,存在且不等矛盾, 所以假设不成立,即.-17分 4 学科网(北京)股份有限公司 $