福建厦门第一中学2026届高三下学期数学强化综合练习2

厦门一中2026届高三下数学强化练习104 综合训练2——模拟题精选2(河北、河南) ____班____号 姓名_________ 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 一、选择题： 1．已知为虚数单位，复数的实部为 A．2 B．1 C．0 D． 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 3．已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则 A． B．0 C．3 D．6 4．设函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5.高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 6．已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点， 为坐标原点，，且，则的离心率为 A． B． C． D． 7．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为 A． B． C． D． 8.(多选)中，内角的对边分别为，已知，，则 A． B．的外接圆的半径为 C．若的面积为，则的周长为 D．若边上的中线长为，点在上，且为的角平分线，则 9.(多选)在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作 称为该数列的一次“J延拓”．如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到 数列1，2，2，4，2．将数列经过次“J延拓”后所得数列项数记为，所有项乘积记为． 给定数列，2，1，则 A． B．数列是等比数列 C． D．若，则正整数的最小值为7 二、填空题： 10. 已知，则 ． 11. 已知8个样本数据a，b，c，d，3，4，6，10(其中)的平均数为，极差为11， 中位数为5，众数为5，若新的数据，，，，，，， 的平均数为12，则新数据的方差为 ． 12. 已知O为坐标原点，直线与函数的图象分别交于M，N 两点，则面积的最大值为 ． 三、解答题 13.已知数列满足：． (1)求的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值． 14. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践 的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型，，．每款模型的研发分为两个 主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收， 两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知，，三款模型 通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为． (1)求，，三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知，，三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，，，三款模型能成功上线的数量为随机 变量，求的分布列及数学期望． 15. 如图，在平行六面体中，，， ，点在底面上的射影为底面中心． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知函数是增函数. (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：； (3)当取得最小值时，若在上恒成立，求整数的最小值. 参考数据：，. 17．已知椭圆的左、右顶点分别为，，，为其左、右焦点， 且短轴长为，若点，为椭圆在第一象限的点，满足直线、的斜率之积为． (1)求椭圆的方程． (2)若点，关于原点的对称点为． 设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围； 设椭圆在，处的切线为，射线交于点．求证：． 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 厦门一中2026届高三下数学强化练习104 综合练习2 模拟题精选2(河北、河南)答案 ____班____号 姓名_________ 一、单选题：1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.BCD 9.BCD 6．令，不在x轴上，，则， 由余弦定理得， 因此，而， 于是，整理得，则，所以的离心率为. 7.因为，所以， 将其解集(部分)在数轴上表示如下： 若，存在，使得成立， 则区间的长度大于等于 相邻两个解集之间的长度，即，即， 又，所以，所以的最大值为. 8. ∵，由正弦定理得，由余弦定理得， 又因为B为的内角，所以，A错误； 设的外接圆的半径为，由正弦定理 得，得，所以，B正确； 由的面积为，得，得，又，由余弦定理可得 ，则，，即， 所以的周长为，C正确；根据余弦定理， 即有①；设D为AC的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①②得：，，所以，所以， 因为BM为的角平分线，所以， 则，即，D正确． 9.∵初始数列为，经过一次“J延拓”后得到的新数列为 ，即， ∴为该数列所有项的乘积，即 ， A错误；∵设原数列有项，进行 一次“J延拓”后，会在个位置插入新项，所以新数列的项数为，∴与的 关系为，∴，∵初始数列有3项，所以，则，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，B正确；由B知， 是等比数列，∴通项公式为 ，∴，C正确；由题意得满足递推关系， ∵，可得的通项公式为，因此， 要使，由于是主要项， 该不等式近似为，即，∵， ，∴满足不等式的最小正整数为7，D正确； 二、填空题： 10.-1 11.12 12. 11. 由题意知，， 所以，解得，所以，不妨设， 因为样本数据的众数为5，所以a，b，c，d中至少有两个数为5，由中位数为5，易知， ，，所以，原样本数据中若3最小，则，解得，，矛盾； 若10最大，则，解得，，矛盾；则a最小，d最大，则， 结合，解得，，即原样本数据为2，3，4，5，5，6，10，13， 所以新的数据分别为8，9，10，11，11，12，16，19，平均数为12， 所以新数据的方差为． 12.函数在上单调递增，在上单调递减，作出在上的图象， 因为，当时，，设， 则，令， 则，当时，，即在上递增， 时，，在上递减，，故面积最大值为． 三、解答题： 13. (1)当时，由已知得，解得, ①， 当时，②，           可得，即．      当时上式也成立，故数列的通项公式为． (2)，则 由于，可得，所以， 即，即，即， 所以n的最小值为40． 14.解：(1)设，，三款模型通过算法设计评审为事件，，， ，，三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， ，，三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的 概率依次为， ； (2)设，，三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，则 ； 由条件概率公式可得：； (3)设，，三款模型能成功上线为事件，，，则，， ，的可能取值为0，1，2，3，则， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 15. 解：(1)证明：在平行六面体中，，平面， 而平面，则，在中，，， 则四边形是正方形，，而，，平面， 因此平面，又平面，所以； (2)由平面，，得直线，，两两垂直， ，又，则△是正三角形， ，同理，而，则， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，则， 令，得，，设直线与平面所成的 角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. (1)函数的定义域为，又， 当时，则当时，，所以在上单调递减，不符合题意； 当时，由是增函数，故恒成立(且不恒成立)， 所以恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是. (2)证明：时显然成立，下面考虑. 由可知，则，而， 故只需证明，即证， 注意到(当且仅当时取等号)，故只需证. 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 于是，于是，即成立， 综上可得，当时，. (3)由(1)知，此时，由(2)知当时，，不等式恒成立， 当时，只需考虑时的情况. 由得，即. 设函数，，则，可知在上单调递减， 所以只需即可.而，， 故存在使得，可知当时恒有，又为整数，所以的最小值为. 17. 解：(1)因为椭圆的短轴长为，所以，则， 而，，，，，因为直线、的斜率之积为． 所以，解得，所以椭圆的方程为． (2)由椭圆对称性知，四边形为平行四边形，则，即， 于是，又，， 则，则，，所以； 证明：依题意，的斜率存在，设其斜率为，则，由． 得， 则， 整理得，即，又， 则，整理得， 即，于是，设过点与垂直的直线交轴于点，则直线的方程为 ，令，所以点，则， 由知，， 同理得，则， 又， 因此，而， 则，即平分， 又，则，又， 则，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $