精品解析：天津市实验中学津南学校2025-2026学年高三下学期开学恢复性练习数学试卷

2025-2026学年高三年级下学期开学恢复性练习-数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（ ） A B. ，为函数的对称轴 C. 向右移后的函数为偶函数 D. 函数的单调递减区间为， 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 11. 二项式展开式中项的系数是___________.（用数字作答） 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 13. 某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为______；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为______. 14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 15. 已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数的取值范围为______________. 三、解答题 16. 在中，内角所对边分别为，已知的面积为． (1) 求和的值； (2) 求的值． 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的方程为，点在椭圆上，椭圆的右顶点为，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）在轴负半轴上找一点，使得，求出点的坐标： （3）椭圆上点（不同于点），使线段的中垂线与轴的交点也在线段的中垂线上，求出点的坐标． 19. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 20. 已知函数的导函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三年级下学期开学恢复性练习-数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法得到集合，然后利用代入法验证其中哪些元素在集合中，从而得到交集. 【详解】易得，而， 所以， 所以， 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可. 【详解】由得，由得， 当，时，满足，但不满足； 当，时，满足，但不满足； 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 3. 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】逐一利用线面垂直、线面平行的定义与性质，排除存在反例的错误选项，再根据线面垂直的性质定理验证选项D. 【详解】选项A：若，，则，选项A错误，有可能在平面内； 选项B：若，，则，选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系可以是平行、相交或异面； 选项C：若，，则，选项C错误，的位置不确定，它可以平行于、在内，或与斜交，不一定垂直于； 选项D：若，，则，选项D正确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线. 故选：D 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可排除C、D，利用和时，，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D； 当时，可得，且时，， 结合选项，可得A选项符合题意. 故选：A. 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得出① 正确，由标准差定义判断② 正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 根据决定系数的意义判断⑤正确；根据方差的性质判断⑥正确；利用正态曲线的对称性计算可判断⑦错误. 【详解】① ：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故① 正确； ② ：根据标准差定义，一组数据的标准差 时，显然有，故② 正确； ③：若随机变量，满足，则，，故③ 错误； ④ ：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④ 正确； ⑤：在回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故⑤ 正确； ⑥：若数据的方差为，则数据的方差为，由题意，则，故⑥ 正确； ⑦：因，可得均值，则， 因为，所以 ，故⑦ 错误. 故正确的有①②④⑤⑥共5个. 故选：C. 6. 函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（ ） A. B. ，为函数的对称轴 C. 向右移后的函数为偶函数 D. 函数的单调递减区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，求出函数的解析式，再逐项判断. 【详解】由图象知：，，则，， ，因为在图象上，则， 所以，则，又， 则，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为：， 向右移后得到函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：D 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数及正弦函数性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 8. 攒尖是古代中国建筑中屋顶一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出示意图，根据球的性质确定球心，利用数量关系列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 9. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得,又B、P关于原点对称， 故， 则， 因为，所以， 所以， 化简可得，所以，， 因为，所以， 所以，即，即 ， 所以，所以渐近线方程为. 故选：D. 二、填空题 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部. 【详解】因为，所以； 所以的虚部为. 故答案为：. 11. 二项式展开式中项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】展开式的通项为 ， 令指数，解得， 此时系数为. 故答案为： 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知设圆心为 且，利用圆心到直线：距离为，求得，所以再利用弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设圆心为 ，且， 所以， 因为圆心到直线：距离为， 所以， 因为，所以.所以， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 13. 某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为______；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合公式和条件概率公式进行计算. 【详解】从人中随机抽取2人的总组合数为种， 从3名课程设计组成员中选1人，有种选法 ，从5名技术研发组成员中选1人，有种选法， 所以根据分步乘法原理可得，恰好有1名课程设计组成员的选法共有种， 根据古典概率公式可得：抽取的2人中，恰好有1名课程设计组成员的概率为， 从5名技术研发组成员中选2人的组合数为种， 所以没有课程设计组成员的概率为， 则至少有1名课程设计组成员的概率为， 设事件为“抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员”，事件为“抽取的2人中至少有1名课程设计组成员”，则所求概率为， 根据条件概率公式可得：， 又因为，所以， 则. 故答案为：； 14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 15. 已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】的图象如图所示： 令，若关于的方程有8个相异的实根， 则在上有两个不等的实根. 令，则， 即，解得， 实数的取值范围为. 故答案： 三、解答题 16. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为． (1) 求和的值； (2) 求的值． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值. 【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得. （2）, 【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出直线对应的方向向量和平面的法向量，利用向量垂直关系证明线面平行. （2）先求出平面的法向量，再根据线面角的向量公式求出线面角的正弦值. （3）利用点到平面距离的向量公式求出点到平面的距离. 小问1详解】 如图建立空间坐标系 则，，，，， 平面的一条法向量为 因为，所以 又因为平面 所以平面 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，所以 设与平面所成角为. 则. 所以与平面所成角的正弦值是. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，则 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的方程为，点在椭圆上，椭圆的右顶点为，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）在轴负半轴上找一点，使得，求出点的坐标： （3）椭圆上点（不同于点），使线段的中垂线与轴的交点也在线段的中垂线上，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合椭圆的离心率公式、的关系进行求解即可； （2）根据直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系、正切二倍角公式进行求解即可； （3）根据线段中垂线的性质，结合直线两点式方程、中点坐标公式、代入法进行求解即可. 【小问1详解】 椭圆的方程为，点在椭圆上，椭圆的离心率为， 所以有，所以椭圆的方程是； 【小问2详解】 椭圆的右顶点的坐标为，设点的坐标， 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以点的坐标； 【小问3详解】 由点，的坐标可得线段的中点坐标为， 由上可知，所以线段所在直线的斜率为， 因此线段中垂线的方程为， 设，则， 线段的中点坐标为， 当时，，点与点重合，不合题意； 当时，，此时线段的中垂线是纵轴，显然纵轴上的所有点不可能都在直线上，不符合题意； 显然，， 于是有，所以线段所在直线的斜率为， 因此线段中垂线的方程为， 令，得， 因为线段的中垂线与轴的交点也在线段的中垂线上， 所以， 所以有，或舍去， 所以点的坐标为. 19. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 【小问2详解】 ① ② ①-②，得 ， 所以 【小问3详解】 由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 20. 已知函数的导函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时， ， 则 ，所以 ， ， 所以的图象在点处的切线方程为，即 ； 【小问2详解】 由题知，， 因为有两个不同的零点， 所以方程有两个不等实根化简可得方程有两个不等实根， 可看成直线与曲线有两个不同的交点， 所以 ， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极大值也是最大值为 当时，，且当时，， 要使有两个不同的零点，需 ， 即； 【小问3详解】 由题知，，其定义域为 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，， 所以与有两个不同的交点，所以 不妨设，则， 所以，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以 又， 所以，所以在上单调递增 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $