精品解析：河北安平中学2025-2026学年高二年级下学期假期作业测试数学试卷

2025—2026学年第二学期寒假作业测试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，，则， 所以，，而， 则点到直线的距离为. 故选：D 2. 已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线的点斜式方程求出的方程， 【详解】直线经过点，且与直线平行，则的方程为，化简得 故选：C 【点睛】本题考查直线的方程，考查点斜式方程的应用，属于基础题． 3. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A 4. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 5. 若函数与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. ln3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数及导数，进而求出导数值. 【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得， 求导得，所以. 故选：D 6. 关于等差数列和等比数列，下列说法错误的是（    ） A. 若数列为等差数列，且，则. B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则. D. 若数列为等比数列，且，则0<. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以，所以 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，正确 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 8. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量共线判断A；求出同向单位向量判断B；求出投影向量判断C；由法向量的意义判断D. 【详解】对于A，，，设，则得，显然无解， 故与不是共线向量，A错误； 对于B，与同向的单位向量是，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，，，即坐标为的向量， 与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确. 故选：BCD 9. 如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到其范围. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，则. 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由焦点坐标易得c，再利用椭圆的定义求得a即可. 【详解】设椭圆F的标准方程为：，依题意得， ， ∴，则，故椭圆F的标准方程为； 故答案为：． 12. 从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知，点P(－c，y)在椭圆上，且在第二象限，代入椭圆方程，得.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是. 答案： 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13. 设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析其单调性和奇偶性，再结合图形即可求解不等式. 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递减， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即是上的奇函数， 故函数在上单调递减，， 又为偶函数，则，所以，所以， 不等式等价于，结合图象解得或， 则不等式的解集为. 四、解答题（本大题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 15. 已知函数， （1）若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值； （2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. 【小问2详解】 由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期寒假作业测试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 1 C. ln3 D. 6. 关于等差数列和等比数列，下列说法错误的是（    ） A. 若数列为等差数列，且，则. B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则. D. 若数列为等比数列，且，则0<. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 8. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 9. 如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A. 1 B. C. D. 2 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______． 12. 从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． 13. 设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 四、解答题（本大题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 15. 已知函数， （1）若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $