精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十七中学2025-2026学年九年级下学期 学情自测数学试题

哈47中学2025-2026学年度下学期3月开学收心训练初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为XX分，训练时间为XX分钟． 2、所有题目必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3、保持卷面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（    ） A. B. C. D. 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 春节长假，某市跨区人员流动量达到31200000人次，将31200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示规律拼图案，第⑥个图中圆点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 10. 在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 14. 不等式组的解集是_____． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 16. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为______． 17. 定义新运算：，则，则值是______． 18. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 19. 在矩形中，，，点是直线上一点，且，连接，直线与直线相交于点，则的长为______． 20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长交于点，与交于点，下列说法正确的是______ ；；当，，时，；当，时，在旋转的过程中，的最大值是． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）画出边上的高线，保留作图痕迹，并直接写出的正切值． 23. 某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数 20 人数 10 15 25 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的______，______ （2）求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ （3）已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 24. 在中，点是边的中点，点为中点，点在边上，交于点，点是上一点，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当，点是中点时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与全等的三角形（不包括本身）． 25. 2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． （1）求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ （2）若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 26. 已知：是外接圆，直径与交于点．弧弧， （1）如图1．求证； （2）如图2．连接，求证：； （3）如图3．在（2）的条件下，连接，作，交于点，垂足为是上一点，连接，，求的长． 27. 已知：直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，，，． （1）如图1．求直线的解析式； （2）如图2．点在线段上，过点作轴，交于点，点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式； （3）如图3．在（2）条件下，当时，延长到点，是上一点，连接，点是上一点连接，交于点，交于点，延长到，连接，若，，，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈47中学2025-2026学年度下学期3月开学收心训练初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为XX分，训练时间为XX分钟． 2、所有题目必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3、保持卷面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义“相乘等于1的两数互为倒数”直接进行解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 春节长假，某市跨区人员流动量达到31200000人次，将31200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，据此作答即可． 【详解】解：． 4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：该立体图形的主视图为： 故选：D． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴该抛物线顶点坐标为． 7. 按如图所示的规律拼图案，第⑥个图中圆点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：第①个图案中圆点的个数为：， 第②个图案中圆点的个数为：， 第③个图案中圆点的个数为：， 第④个图案中圆点的个数为：， 第个图案中圆点的个数为：个， 当时，，即第⑥个图中圆点的个数为个． 8. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 9. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图痕迹得平分，结合得；利用是中点，在中应用斜边中线定理，直接求出的长度． 【详解】解：由尺规作图可知：是的角平分线． ∵， 根据等腰三角形三线合一性质，垂直平分， 即． 点是的中点，且是直角三角形（）， ． ∵， 则． 10. 在中，，，，点从出发沿方向运动，从出发，沿方向运动，同时开始运动，速度都为1，运动时间为，的面积为．在运动过程中与大致的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、的运动速度和运动路径，分三段确定自变量的取值范围，在每个取值范围内结合几何知识推导出的面积关于的函数表达式，再根据表达式判断对应函数的类型及图象特征，进而排除不符合的选项得到正确答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 的面积为． 点、的速度均为，运动时间为， ①当在上，在上时，，，． 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上经过原点的二次函数．排除B选项． ②当在上，在上时，，，，则． 过作于，∵， ∴， ∴，为常数，图象是水平线段． ③当上，在上时，，，， 过作于，由，得，即， ∴，为开口向上的二次函数．排除A、D选项． 综上，选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可. 【详解】解： = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法. 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ， 解得：． 16. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入求出的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 17. 定义新运算：，则，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义先将式子转化为，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ． 18. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 【答案】6 【解析】 【分析】先代入点的坐标，求出抛物线的解析式，再令，求出抛物线与轴的交点坐标，通过计算得到的长度，结合点的坐标得到边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：把代入，得， 因此抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， 所以，两点间的距离． 又点的坐标为， 边上的高为点到轴的距离，即， ． 19. 在矩形中，，，点是直线上一点，且，连接，直线与直线相交于点，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到直角三角形，再利用含角的直角三角形的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，结合已知得到的长，根据点在直线上分两种情况讨论，利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ，，． 在中，，， ， 由勾股定理得，， ． ， ． 分两种情况讨论： 第一种情况：当点在线段上时，如图所示： ， ， ． 设，（），则， ， 解得，即； 第二种情况：当点在的延长线上时，如图所示： ， ， ． 设，（），则， ， 解得，即， 综上，长为或． 20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长交于点，与交于点，下列说法正确的是______ ；；当，，时，；当，时，在旋转的过程中，的最大值是． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转可得，可判断，作于点，作于点，由旋转的性质，结合锐角三角函数，可得，可判断，由旋转可得，证明是等边三角形，证明，可得，，由锐角三角函数，结合勾股定理，可判断，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，可得，取的中点记为，连接，由两点之间线段最短，结合勾股定理，可判断． 【详解】解：由旋转可得， ∴， ∴， ∴正确， 作于点，作于点， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴正确， 当，，时， 由旋转可得， ∴是等边三角形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不正确， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 记与的交点为， 又∵， ∴， ∴， 取的中点记为，连接，则， 当，时，， ∴， ∴， ∴的最大值是， ∴正确． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．根据分式的运算顺序进行化简，再根据特殊角三角函数值求出a的值，代入即可． 【详解】解：原式， ， ， ∵， ∴原式． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）画出边上的高线，保留作图痕迹，并直接写出的正切值． 【答案】（1）见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】（1）先计算长度，根据比例得到长度，再结合面积为 的条件在网格中找到格点，并连接、； （2）取格点，连接，交于点，根据都为矩形对角线，结合图象即可得是边上的高线，连接，通过勾股定理的逆定理，判断为直角三角形，再在中计算． 【小问1详解】 解：， ∵，， ∴， 如图，取格点，连接， 则， 【小问2详解】 解：如图所示，取格点，连接，交于点，则是边上的高线， 连接， ∵，，， ∴， 是直角三角形， ∴​． 23. 某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数 20 人数 10 15 25 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的______，______ （2）求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ （3）已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【答案】（1）30，20 （2） （3）450人 【解析】 【分析】（1）由B组的人数为人，所占的比是，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以D组所占的百分比即可求出的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出的值． （2）C组所占圆心角的度数，看C组所占整体的百分比，用去乘这个百分比即可． （3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意，抽取学生总人数为：， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人）， ∴1800名学生中，优秀的学生人数为：（人）． 24. 在中，点是边的中点，点为中点，点在边上，交于点，点是上一点，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当，点是中点时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与全等的三角形（不包括本身）． 【答案】（1）见解析 （2），，，． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形的中位线定理等： （1）根据三角形中位线定理及平行线的判定，分别证明和即可； （2）根据全等三角形的判定定理，分别证明与，，，全等即可． 【小问1详解】 ∵点是边的中点，点为中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴． ∵点为中点， ∴ ． 又∵，， ∴． ∵，点是中点， ∴． ∵点是边的中点，点为中点，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵点是边的中点，点为中点， ∴． ∵点是中点， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 综上所述，图中与全等的三角形为，，，． 25. 2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． （1）求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ （2）若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 【答案】（1）甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元 （2）商场最多购买20台甲种洗衣机 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设乙种洗衣机每台的进价为x万元，则甲种洗衣机每台的进价为万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设商场购买m台甲种洗衣机，则乙种洗衣机台，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种洗衣机每台的进价为x万元，则甲种洗衣机每台的进价为万元． 由题意得：， 解得： 经检验：是原分式方程的解且符合题意， （万元）， 答：甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元； 【小问2详解】 解：设商场购买m台甲种洗衣机，则乙种洗衣机台． 由题意得：， 解得：， 答：商场最多购买20台甲种洗衣机． 26. 已知：是的外接圆，直径与交于点．弧弧， （1）如图1．求证； （2）如图2．连接，求证：； （3）如图3．在（2）的条件下，连接，作，交于点，垂足为是上一点，连接，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的推论可得结论； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得结论； （3）先证出，过B作于R，交于N，依次证明，得到，则；设，延长到M，使得，过B作于G，再依次证明、，得到，则，然后利用勾股定理和锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：∵弧弧， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴，则， ∴， 过B作于R，交于N，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴； 设 ∴，， 延长到M，使得，过B作于G， 则，又， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 则中，， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题是圆与三角形的综合，涉及知识点较多，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 27. 已知：在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，，，． （1）如图1．求直线的解析式； （2）如图2．点在线段上，过点作轴，交于点，点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式； （3）如图3．在（2）的条件下，当时，延长到点，是上一点，连接，点是上一点连接，交于点，交于点，延长到，连接，若，，，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合，从而求得点、、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标，由轴和点在上，表示出点的坐标，相减得到与的函数关系式； （3）设与轴交于点，作于点，过点作的平行线，交于点，过点分别作、的垂线，垂足为、，作于点，延长交轴于点，先由（2）的关系式求出点，进一步计算出的解析式为．容易判断出和都是等腰直角三角形，则．设，则，根据坐标可判断出点为的中点，从而得到，结合可得．根据平行可判定，则，计算得，从而得到点和点的坐标．利用三角函数和勾股定理依次计算出、、、、，利用三角形面积公式可得，由角平分线定理可得．利用三角函数的定义可计算得，则，结合可判断出．容易判断出是等腰直角三角形，计算可得，利用待定系数法求出的解析式即可； 【小问1详解】 解：在直角中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点在线段上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与轴交于点，作于点，过点作的平行线，交于点，过点分别作、的垂线，垂足为、，作于点，延长交轴于点， ∵， ∴，此时点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，， ∵， ∴， 将代入直线：，得， ∴点的坐标为， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，， 由勾股定理可得，， 在直角中，， 同理，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，即平分， 又∵，， ∴， 在直角中，； 在直角中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线解析式为． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形相关的计算，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $