精品解析：江苏高邮市2026届高三第二学期期初学情调研测试数学试题

2025-2026学年度第二学期高三期初学情调研测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（ ）. A. B. 1 C. D. 4. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（ ）. A. B. C. 1 D. 5. 若偶函数满足，且当时，，则（ ）. A. 2 B. C. D. 6. 已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（ ）. A. 0 B. C. 或0 D. 0或 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究所研究耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度/cm 10 12 14 16 18 每公顷产量/t 6.0 7.0 7.5 9.0 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）. A. 每公顷产量与耕种深度呈正相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 10. 在棱长为1的正方体中，点，分别满足，， （，）则（ ）. A. 当时，三棱锥的体积不变 B. 当时，存在使得点，到平面的距离不等 C. 当时，总有 D. 存在，使得面 11. 已知抛物线（）的焦点为，过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，其，在第一象限，为坐标原点，若，则（ ）. A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则直线的斜率为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 若线段，的中点分别为点，，则与的面积之比为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数是______. 13. 在等差数列中，，，记（），则数列的最大值为______. 14. 一个不透明袋子里装有除了颜色其他无区别的2个白球和3个黑球，从中不放回地每次取出1个球，直到所有白球被取出.记取球次数为，则的数学期望______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若边，，边上存在一点，满足，求的长. 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 17. 如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）证明：； （2）已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 19. 已知，函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）当时，函数为减函数，求实数的最小值 （3）当时，证明：方程有三个不等实根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高三期初学情调研测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故D正确. 3. 若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 4. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（ ）. A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为， 所以，解得，则，得到. 5. 若偶函数满足，且当时，，则（ ）. A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，且是偶函数， 而当时，，则，故C正确. 6. 已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系后，根据圆上一动点B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图， 则，， 设， ， 则， 7. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 8. 若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（ ）. A. 0 B. C. 或0 D. 0或 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 则，即， 则， 即，解得或. 当时，由得； 当时，由得. 故或, 则或. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某研究所研究耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度/cm 10 12 14 16 18 每公顷产量/t 6.0 7.0 7.5 9.0 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）. A. 每公顷产量与耕种深度呈正相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为线性回归方程为， 所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A正确， 对于B，由题意得耕种深度的平均数为，故B错误， 对于C，由题意得每公顷产量的平均数为，故C正确， 对于D，因为回归方程必过，所以将代入回归方程， 可得，解得，故D正确. 10. 在棱长为1的正方体中，点，分别满足，， （，）则（ ）. A. 当时，三棱锥的体积不变 B. 当时，存在使得点，到平面的距离不等 C. 当时，总有 D. 存在，使得面 【答案】AD 【解析】 【分析】由等体积法即可求解判断A；建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C，D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 对于A，当时，点是的中点， 则三棱锥的体积为 为定值，故A正确， 对于B，当时，点是的中点， 此时，，，，，， 而，， 因为，所以，解得，故， 而，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，而，， 设，到平面的距离分别为， 由点到平面的距离公式得，， 则恒成立，即不存在使得点，到平面的距离不等，故B错误； 对于C，当时，可得，，， 则，， 而 ，则不成立，故C错误， 对于D，由题意得，，，， 则，，， 因为面，所以，解得， 则存在，使得面，故D正确. 11. 已知抛物线（）的焦点为，过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，其，在第一象限，为坐标原点，若，则（ ）. A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则直线的斜率为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 若线段，的中点分别为点，，则与的面积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，则两条直线，，都存在斜率，设出直线的方程，将直线和抛物线联立，得到关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理得到的值，将点，代入上，计算出，由计算出的值，从而得到抛物线的标准方程；选项A，根据抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程；选项B， 求出，利用，得到的等量关系，结合的值解出的值；选项C，利用弦长公式求出，由同理得到，计算，结合基本不等式得到四边形的面积的最小值；选项D，由线段，的中点分别为点，利用中点坐标公式和点在直线上，求出点的坐标，同理可得的坐标，求出，利用点斜式求出直线的方程，从而得到直线与轴的交点的坐标，从而得到，计算得解. 【详解】（）的焦点为， 过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，， 两条直线，，都存在斜率， 设直线的方程为， 将直线代入，得到， 整理得到， 设，，则， ，在上，， ， ，，， ， ，，，， ， 选项A，，抛物线的准线方程为，故选项A正确； 选项B，，，， ， ，， ，， ，，或， 在第一象限，在第二象限，，舍去， ，直线的斜率为，故选项B正确； 选项C，， ， ，同理可得， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 四边形的面积的最小值为，故选项C错误； 选项D，，，线段，的中点分别为点，， ，，， 直线的方程为，且在直线上，， ，同理可得， ， 直线的方程为， 设，解得， 则直线与轴的交点为，， ，，，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数是______. 【答案】240 【解析】 【详解】展开式的通项公式为：， 令，解得：，的系数为. 13. 在等差数列中，，，记（），则数列的最大值为______. 【答案】6160 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出通项公式，进而分析正负情况，最后确定数列的最大值即可. 【详解】设公差为，因为，，所以， 解得，则， 令，可得，解得， 则当时，，当时，， 而，，，，，， 则，，，，， 结合数列的正负情况可得，当时，恒成立， 则数列的最大值为. 14. 一个不透明袋子里装有除了颜色其他无区别的2个白球和3个黑球，从中不放回地每次取出1个球，直到所有白球被取出.记取球次数为，则的数学期望______. 【答案】4 【解析】 【分析】分别求出对应情况的概率，进而求解期望即可. 【详解】由题意得， ，， ，， 由期望公式得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. 【小问2详解】 法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 【答案】（1）1. （2） 法一： ， ③， ④， ③④得： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 法二： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解.利用等差数列的通项公式求解. （2）法一：利用错位相减法求出，法二：利用裂项相消法求出，求出，得到是单调递增数列，从而得到，由和得到的范围，从而得证. 【小问1详解】 因，所以①， 当时，由①得：②， 则①②得：（）， 即，则（）， 则是等差数列，且公差为2，又，则， 即1. 【小问2详解】 略 17. 如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）证明：； （2）已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，再由线面垂直的性质，即可求解； （2）法一，①在平面内作的垂直平分线，交于，再证明，即可求解；②利用等体积法，求出到平面的距离，再由线面角的定义即可求解；法二，①建立空间直角坐标系，求出求出点的坐标，即可求解；②求出平面的法向量和，再由线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 又易知，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 法一：①在平面内作的垂直平分线，交于，连接，， 因为，，所以，，因为，， 所以，因为，，所以， 所以在以为球心，为半径的球面上，即与重合，故点在平面上； ②记点到平面的距离为，由，可得， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又，，则， 所以， 则，解得，又， 记与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 法二：①以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 若在同一个球面上，设球的半径为，则， 设，则， 解得，即点在平面上； ②，，. 设平面的法向量为，则， 取，则， 记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是， 【解析】 【分析】（1）法一利用椭圆的定义求，得出椭圆的标准方程；法二利用待定系数法代入点求椭圆方程； （2）①根据圆心到直线的距离为2，得到方程，由根与系数的关系求出，再利用在椭圆上化简即可求解； ②根据不同的方法求出三角形面积的表达式，化简即可得出三角形面积为定值. 【小问1详解】 法一： 由题意椭圆的焦点在轴上，且，则， 由椭圆的定义得， 解得，则， 则椭圆方程为； 法二： 因为，所以，即椭圆方程为（）， 又在椭圆上，所以，解得 则椭圆方程为. 【小问2详解】 易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图： ①令，，则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 化简得，同理得， 则是方程的两根，显然， 由韦达定理可知， 因为点在椭圆上，所以，则 则，即 ②法一： 设，， 则，，，点到直线的距离为， 因为，所以，则， ， 由，得，同理， 则，则， 所以. ②法二： 设，，则， 因为，所以直线方程为， 所以， 因为，两点在椭圆上，所以，， 则， 所以， 又， 所以 ， 则. ②法三： 设， （i）若直线与轴平行，由对称性，，， 因为，所以不妨设有，则， 则，解得，即， 则，. （ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为, 则, 由，得， 由，得， ， 所以, 因为,所以, 即，得， 显然，即， . 综上 19. 已知，函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）当时，函数为减函数，求实数的最小值 （3）当时，证明：方程有三个不等实根. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的对称性证明即可. （2）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出，进而建立不等式求解参数范围，最后得到最值即可. （3）利用导数结合零点存在性定理得到的零点，进而得到的单调性，最后再结合零点存在性定理证明即可. 【小问1详解】 令，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. 【小问2详解】 当时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而成立，可得，解得，故的最小值为. 【小问3详解】 当时，， 当时，， 令，则， 则函数在区间上单调递减， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，则，， 而，可得方程在区间上有一解， 由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解， 故方程在区间上有三解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $