方法归纳专题14 特殊四边形中等面积的应用&经典模型专题15 正方形中的五个常考模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

∴.∠CGE=∠CEG,.CG=CE=EF=2. 10是 11.13 12.(1)四边形BPCO为平行四边形.理由略 (2)AC⊥BD且AC=BD 13.(1)略(2)√10 重点题型专题13特殊平行四边形的 性质与判定 1.(1)略(2)20 2.(1)略 (2)当AB=AC时，四边形ADCF是正方形.理由略 3.解：(1)略 (2)证明：：AE平分∠BAD,∴∠DAG=∠BAE. (∠AGD=∠ABE, 在△AGD和△ABE中，∠DAG=∠EAB, AD-AE, ∴.△AGD≌△ABE(AAS),.AB=AG. (3)√2-1 4.略 5.解：(1)当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形. 理由略 (2)当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形 AEDF为正方形.理由如下： 由(1)，知四边形AEDF为菱形. ,∠BAC=90°，∴，四边形AEDF为正方形. 6.(1)略(2)√111 7.(1)略 (2)①∠BAC=150°②AB=AC≠BC ③∠BAC=150°，AB=AC≠BC ④∠BAC=60或AB=AC=BC 8.解：(1)证明： 四边形ABCD是矩形，AD=6, CD=8, ∴.BC=AD=6,AB=CD=8, ∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°. :四边形EHQP是菱形，EH=HQ. (EH-HQ, 在Rt△BHE和Rt△CQH中，《 BH-CQ, ∴.Rt△BHE≌Rt△CQH(HL),∴.∠BEH=∠CHQ ,∠BEH+∠BHE=90°，∴.∠CHQ+∠BHE=90°， ∴.∠EHQ=180°-（∠CHQ+∠BHE)=90°， ∴.四边形EHQP是正方形 (2)6 方法归纳专题14特殊四边形中 等面积法的应用 【a号 (2)(1D中的结论PR+PQ-号仍然成立.证明路 ·答 ③PR-PQ-号 【跟踪训练】 2.23.7.8 经典模型专题15正方形中的五个 常考模型 【例1】(1)AE=BF,AE⊥BF.理由略(2)4.8 【思考探究】解：(1)成立.理由略 (2)成立」 理由：，BF⊥AE, ∴.∠CBF=∠BAE=90°-∠ABP ,在正方形ABCD中，BC=AB,∠C=∠ABE=90°， ∴.△BCF≌△ABE(ASA),.BF=AE. 15 325 【例2】(1)略(2)6【思考探究】103.①②③④ 【例3】(1)略(2)①成立②4√2+4 4.①②④5.①②④ 【例4】略【变式】略【例5】①②④ 6.(1)OE=OF (2)①略 ②四边形0ECF的面积是定值定值为得 (3)600m 方法归纳专题16特殊四边形中的 折叠问题 【例1】A【例2】C 【跟踪训练】 1.B2.2或183.(11(2)3 2 4.(1)略 (2)四边形BFDG是菱形.理由略 (3)四边形BFDG的周长为20，面积为20 重点题型专题17特殊四边形 与反比例函数 1.-122.53.324.y=2 .72 6.2 7.(1)y= =26>0)(26 方法归纳专题18特殊四边形中的最值问题 1.C2.W3【例1】103.√/194.225.10 6.12+2√267.√6【例2】2√28.D9.D10.A 1.2512A13.B143215.59162472 3 2 案11·方法归纳专题14 特殊四边形中等面积法的应用 例如图，E是矩形ABCD的对角线BD上的一~跟踪训练 点，且BE=BC,AB=3,BC=4.P为直线EC1.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O, 上的一点，且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于 AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于 点R 点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+十 (1)如图1，当P为线段EC的中点时，PR+ EF的值为 PQ= (2)如图2，当P为线段EC上的任意一点（不 与点E,C重合)时，其他条件不变，则(1)中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 2.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部 不成立，请说明理由， 分是△FBD,AB=2,P是对角线BD上的任 (3)如图3，当P为EC延长线上的任意一点 意一点，PM⊥AD于点M,PN⊥BE于点N, 时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有 则PM+PN的值为 怎样的数量关系？ 3.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,P为 图1 图2 图3 线段BD上不与端点重合的一个动点.过点P 作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为E, F连结PA,在点P的运动过程中，求PE+ PA十PF的最小值， 第18章矩形、菱形与正方形101 经典模型专题1⑤ 正方形中的五个常考模型 类型1正方形中的“十字”模型 模型归纳 分别连结正方形内两组对边上的任意 例1如图，已知正方形花园ABCD,E,F是它 两点，得到的两条线段满足：若垂直，则相等（例如图1 的两个门，且BE=CF,现要修建两条路AE 中的线段AF与BE,图2中的线段AF与EG,图3中 和BF,AE,BF相交于点P. 的线段HF与EG);若相等，不一定垂直（如图4中的 线段EG与HF) (1)这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 请说明理由， (2)若AB=8,BF=10,求BP的长度， ·强化训练 1.如图，将边长为2cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠，使得点A落到边BC上的点G处，点 D落在点H处.若BG=1cm,则线段EF的长 【思考探究】若去掉“BE=CF”这一条件，将第 为 cm,线段BE的长为 cm. D (1)问中的两个结论中的一个作为条件. F (1)若已知BF=AE,则BF⊥AE成立吗？请说 明理由。 (2)若已知BF⊥AE,则BF=AE成立吗？请说 6 第1题图 第2题图 明理由. 2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E,F分 别是边BC,AD上的点，连结EF.将四边形 ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在 边CD上，点A的对应点为点H,连结BH,则 BH十EF的最小值是· 思路点拨如图，利用折叠的对称性以及“十 字”模型的结论，将BH十EF转化为AG十BG, 延长BC到，点M,使CM=BC,连结AM交CD 于点N,此时线段AM的长即为所求的最小值 102一本·初中数学8年级下册HDSD版 类型2正方形中的“半角”模型 ·强化训练 例2如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在3.如图，在正方形ABCD中，点 边BC,CD上，且∠EAF=45°，连结EF. E,F分别在线段BC,CD上 (1)求证：EF=BE+DF; 运动，且满足∠EAF=45°， (2)若BE=3,CF=4,求正方形的边长. AE,AF分别与BD相交于点 B M,N有下列结论：①BE+DF=EF;②点A到 线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若 BE=2,DF=3,则SAAEF=15;④若AB=6√2， BM=3,则MN=5.其中正确的结论是 (填序号) 类型3正方形中的“手拉手”模型 例3在正方形ABCD中，M为射线CD上的一 点（不与点D重合），以CM为边，在正方形 ABCD的异侧作正方形CFGM,连结BM, DF,直线BM与直线DF交于点E, 【思考探究】如图，在等腰直角三角形ABC中， (1)如图1，点M在CD的延长线上，求证： ∠BAC=90°，AB=AC,点M,N在边BC上，且 DF=BM,DF⊥BM, ∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,求MN的长. (2)如图2，若点M移动到边CD上 M ①(1)中的结论是否仍成立？（直接回答不需 证明) ②连结BD,若BD=BF,且正方形CFGM的 边长为1，试求正方形ABCD的周长 模型归纳(1)如图1，在正方形ABCD中，若 图1 图2 ∠EAF=45°，则有下列结论：①EF=BE+DF; ②C△EFc=2AB;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF; ④MN=BM+DN2. E 图1 图2 (2)如图2，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则 FA平分∠DFE,EF=DF-BE 第18章矩形、菱形与正方形103 [变式]如图，正方形ABCD的边长为6，E是 >模型归纳 线段BC上的动点（点E不与点B,C重合）， 衣 ∠AEF=90°，AE=EF.求证：CF平分∠DCG. ①△ABE≌△ADG;②BE⊥DG ·强化训练 4.如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共 顶点B,连结EC,GA,交于点O,GA与BC交 于点P,连结OD,OB.有下列结论：①EC= AG;②EC⊥AG;③BO平分∠CBG; ④∠AOB=45°.其中正确的是 .(填 序号) 第4题图 第5题图 5.如图，以△ABC的边AB,AC为腰分别向外作 等腰直角三角形ABE、等腰直角三角形ACD, 连结ED,BD,EC,过点A的直线L分别交线 段DE,BC于点M,N.有以下说法：①当AB= AC=BC时，∠AED=30°；②EC=BD;③若 AB=3,AC=4,BC=6,则DE=2√5；④当直 线l⊥BC时，M为线段DE的中点.其中正确 的是 (填序号) 类型4正方形中的“外角平分线十垂直”模型 例4如图，四边形ABCD是正方形，E是BC 的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平 模型归纳在正方形ABCD中，点E在射线CB 分线CF于点F求证：AE=EF. 上，EF交∠DCG的平分线（如图1）或其所在直线（如 、 图2)于点F,AE⊥EF,则有AE=EF M B E C G B E C G H (AH=CE) (BH=BE) 图1 图2 104一本·初中数学8年级下册HDSD版 类型5正方形中的“对角互补”模型 出这个定值；若不是，请说明理由. 例5如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD [拓展应用] 相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交 (3)如图3，学校内有一块四边形花圃ABCD, CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°，连结EF 已知AB=400m,BC=100m,∠ABC=120°， 有下列结论：①△COE≌△BOF;②四边形 ∠ADC=60°，花圃内铺设了一条小路BD,BD OECF的面积为正方形ABCD面积的4； 平分∠ABC.为方便学生赏花，现计划修建一条 笔直的通道DE与小路BD相连，且DE ③EF平分∠OEC;④DE2+BF2=EF2. BD,入口点E恰好在BA的延长线上，则入口 其中正确的结论是 .(填序号) 点E到点A的距离AE的长为 ☒3 模型归纳 如图，在正方形ABCD中，O为对角线 AC,BD的交点，直角∠EOF绕点O旋转.若OE,OF 分别与DA,AB的延长线交于，点G,H,连结GH,则 △AGO≌△BHO,△OGH是等腰直角三角形，： S四边移OEBF D正方形ABCD 6.[问题解决] (1)如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠EOF=90°。将 ∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正 方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F (点F不与点C,D重合)，则在∠EOF旋转的 过程中，OE与OF的数量关系为 [类比探究] (2)如图2，将(1)中的“正方形ABCD”改为 “∠BCD=120°的菱形ABCD”,其他条件不 变，且∠EOF=60°，AB=2. ①求证：OE=OF. ②四边形OECF的面积是否为定值？若是，求 第18章矩形、菱形与正方形105