18.2.1 菱形的性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

行四边形；(2)：AD=BC,AD=DE,∴.BC=DE.四边形BECD是平行四 边形，.平行四边形BECD是矩形.8.A9.A10.∠EAF=90°（答案不 唯一)11.4.812.解：(1)有三个角是直角的四边形为矩形(2)如图1、 2,矩形ABCD即为所求 图 图2 证明：如图1所示，由作图方法可知AD=BC,AB=CD,.四边形ABCD是 平行四边形，又∠B=90°，.四边形ABCD是矩形；如图2所示，由作图方法 可知AC,BD互相平分，.四边形ABCD是平行四边形.又∠ABC=90°，， 平行四边形ABCD是矩形.13.解：(1)证明：由折叠的性质，得∠HEJ ∠AEH,∠BEF=∠FE,∴∠HEF-∠HEJ+∠FEI=2X180°-90. 同理可得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴.四边形EFGH是矩形.(2)5 第2课时直角三角形斜边上的中线 知识储备 1.一半2.直角 基础练 1.52.425°3.解：ED⊥BC,∴.∠EDB=90°.∴.∠B=90°-∠E 55°.∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，∴.DA=DB.∴∠DAB=∠B= 55.∠BDA=180°-∠B-∠DAB=70.4.2 90 60°5.D6.(1)证明：如图，连结DM,DN.BN、CM分 别是△ABC的两条高，∴.BN⊥AC,CM⊥AB.∴.∠BMC ∠CNB=9O.:D是BC的中点，.DM=2BC,DN=2 BC..DM=DN.E为MN的中点，∴.DE⊥MN;(2)解：BC=26, DM=2BC=13.:点E是MN的中点，MN=10,ME=5.由勾股定理， 得DE=√DM-ME=12. 18.2菱形 18.2.1菱形的性质 知识储备 1.相等中心2.相等3.垂直 基础练 1.轴两对角线2.(0，-1)3.A4.85.64°6.证明：四边形 ABCD是菱形，AB=BC.,AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE BF.又AB=CB,∠B=∠B,.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE.7.15 8529.解：“四边形ABCD是菱形.CD=5,BD=8,D0=)BD=4, AC⊥BD,BC=CD=5.在Rt△CDO中，OC=√DC-DO=3,.AC= )C=6.菱形ABCD的面积为ACX BD=BCXAE,∴AE?X8X 5 24 .10.C11.112.513.解：(1)AP=AQ (2)同意.理由：如图，连 结AC,四边形ABCD是菱形，且∠B=60°，∴.AB= AD=BC=CD,∠B=∠D=60°.∴.△ABC和△ADC都 是等边三角形..∴.AB=AC,∠B=∠ACQ=60°，∠BAC =60°，∠ABP=∠ACQ=60°..∠BAP+∠PAC=60 .∠PAQ=60°，∴.∠PAC+∠CAQ=60. ∴.∠BAP=∠CAQ.又AB=AC,∠ABP=∠ACQ,.△BAP≌△CAQ (ASA)..∴.AP=AQ. 微专题四对角线互相垂直的四边形的面积 【例】解：1)24(2)：Sa8D=Sac+Sac=2AC·OD+7AC·B0 =AC·(OD+OB)=)AC·BD.∴Snn= a6 【针对练习】 36 5 18.2.2菱形的判定 知识储备 1.相等2.互相垂直 基础练 1.D2.证明：.□ABCD,..AD∥BC.,.∠DAC=∠ACB..AC平分 ∠BAD,.∠BAC=∠DAC.∴.∠BAC=∠ACB,∴.AB=CB.又□ABCD ∴□ABCD是菱形.3.菱形四条边相等的四边形是菱形 4.证明：：BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中， /ABD=∠CBD, ∠A=∠C, .△ABD≌△CBD..AB=BC,AD=CD.又AB= BD=BD. AD,∴AB=BC=CD=AD..四边形ABCD是菱形.5.C6.AC⊥BD (答案不唯一)7.证明：连结BD,交AC于O.,四边形 ABCD是菱形，∴.BD⊥AC,AO=CO,BO=DO..AE= CF,∴.EO=FO.又BO=DO,∴.四边形BEDF是平行四 边形.又BD⊥EF,∴.平行四边形BEDF是菱形.8.C 9.B10.2611.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，.BC∥AD ∴.CF∥ED.∴.∠FCD=∠EDG.,G是CD的中点，.CG=DG.在△FCG I∠FCG=∠EDG, 和△EDG中，CG=DG, ..△FCG2△EDG(ASA)..∴.FG=EG ∠CGF=∠DGE. ,CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形；(2)解：：四边形CEDF是菱 形.∴CE=DE.:∠CDE=∠B=60°，∴△CDE是等边三角形.DE= CD=3,.AE=AD-DE=2.故答案为：212.(1)证明：，AB∥DC, ∠OAB=∠DCA.,'AC为∠DAB的平分线，∴.∠OAB=∠DAC.∴.∠DCA =∠DAC.∴.CD=AD=AB.,AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形 AD=AB,.平行四边形ABCD是菱形；(2)解：，四边形ABCD是菱形， 0A-OC.BDLAC.CELAB.0E=OA=OC.BD=2.0B- BD=1.在Rt△AOB中，AB=√5，OB=1,,∴.OA=√AB2-OB2=5-1= 2..OE=OA=2. 18.3正方形 知识储备 1.轴对称 中心对称2.相等直角相等且互相垂直平分3.直角 邻边 基础练 1.D2.183.34.(1)证明：.正方形ABCD,.AD=AB=CB,∠DAB =90°=∠B.,BM=CV,∴.AB-BM=CB-CN.即AM=BN.,AD= BA,∠DAB=∠B,∴.△ABN≌△DAM;(2)解：'△ABN≌△DAM, ∴.∠ADM=∠BAN.又∠ADM+∠AMD=90°，.∴.∠BAN+∠AMD=90° ∴.∠APM=90°.5.有一组邻边相等的矩形是正方形6.①②7.证明： ,CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴.∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF. 又∠ACB=90°，∴.四边形DECF是矩形.又DE=DF,.矩形DECF是正 方形.8.证明：.AC=BC,∠ACB=90°，CD是AB边上的中线.∴.∠B ∠BAC=45,CD=AD=2AB.∠BAC=∠ACD=45°.∴∠ADC=180 45°X2=90°.平行四边形ADCE,AD=CD,.□ADCE是菱形.又 ∠ADC=90°，，.菱形ADCE是正方形.9.410.解：(1)四边形BPCO为 平行四边形.理由：：四边形ABCD为平行四边形，.OC=OA=?AC,OB =OD=号BD.:以点B,C为圆心，？AC.2BD长为半径画弧，两弧交于点 P,∴.OB=CP,BP=OC.∴.四边形BPCO为平行四边形；(2)当AC⊥BD, AC=BD时，四边形BPCO为正方形.，AC⊥BD,∴.∠BOC=90°.∴.□BD C0是矩形.：AC-BD,OB=2BD.OC-2AC,OB=0C.矩形BPC018.2 18.2.1 知识储备 1.有一组邻边 的平行四边形是菱形.菱 形既是轴对称图形，也是 对称图形 2.菱形的四条边都 3.菱形的对角线互相 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 菱形的概念及其对称性 1.菱形是 对称图形，有 条对称轴， 所在的直线是它的对称轴 2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对 角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是 (0,1),则点D的坐标是 B 第2题图 第3题图 知识点二菱形的四条边都相等 3.如图，菱形ABCD的周长是4cm,∠ABC=60°， 那么这个菱形的对角线AC的长是 () A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 4.菱形ABCD中，AB=2cm,则菱形的周长为 cm. 5.如图，BD是菱形ABCD的 一条对角线，点E在BC的 延长线上，若∠BDC=32°，B 则∠DCE的度数为 6.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F 分别是边AB,BC上的点，且AE=CF 求证：AF=CE 菱形 菱形的性质 知识点三菱形的对角线互相垂直 7.(2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD= 5,则菱形ABCD的面积是 第7题图 第8题图 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交 于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的 周长是 9.【教材P130例3变式】如图，四边形ABCD 是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,求 AE的长. 02综合练 膏关能能力提升一 10.如图，在菱形ABCD中， M、N分别在AB、CD上， 且AM=CN,MN与AC 交于点O,连结BO,若∠DAC=28°，则 ∠OBC的度数为 () A.28°B.42 C.62° D.68 助学助教优质高数80 11.(2025·福建)如图，菱形 【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作 ABCD的对角线相交于点 ∠PAQ=∠B,AP,AQ分别交BC,CD于点 O,EF过点O且与边AB, P,Q(点P不与点B重合). CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则 (1)【感知】如图1，若点P是边BC的中点， △AOE与△DOF的面积之和为 小南经过探索发现了线段AP与AQ之 12.(2025·凉山州)如图，四 间的数量关系，请你写出这个数量关系： 边形ABCD是菱形，对角 D 线AC,BD相交于点O, (2)【探究】如图2，小阳说“若点P为BC上 E是边CD的中点，过点 任意一点，(1)中的结论仍然成立”，你同 E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若 意吗？请说明理由 AC=12,BD=16,则FG的长为 13.综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含 60°角的菱形进行了探究. 图1 图2 微专题四 对角线互相垂直的四边形的面积 我们已经知道：菱形的面积等于对角线 AC、BD相交于点O,AC⊥BD,若AC=a, 乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的 BD=b,试写出四边形ABCD的面积S与a, 任意一个四边形，还有这样的结论吗？ b的关系，并推导这一结论 【例】(1)如图1，在菱形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O,若AC=8,BD=6,则 菱形ABCD的面积是 【针对练习】 如图，四边形ABCD的对角线 图1 图2 AC,BD互相垂直，垂足为O, (2)宛城区某学校八年级数学兴趣小组对菱 ∠BAD=90°，AB=6,AD=8, 形的面积与对角线长度的关系进行了探究， 若S四边形ABCD=60,则OC= 发现对角线相互垂直的四边形的面积也具有 这一特征.如图2，四边形ABCD中，对角线 81八年级数学·下册·HS