专题05 一次函数的新定义、最值等综合问题（八大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题05 一次函数的新定义、最值等综合问题 目录 典例讲解 类型一、一次函数的图象与性质压轴 类型二、一次函数中的旋转问题 类型三、一次函数中的翻折问题 类型四、一次函数的动点问题 类型五、一次函数中的新定义问题 类型六、一次函数中的最值问题 类型七、方案分配压轴 类型八、最大利润压轴 压轴专练 类型一、一次函数的图象与性质压轴 处理方式：先紧扣解析式（），明确（决定增减性）、（决定与轴交点）的几何意义；结合图象过定点、与坐标轴交点特征，分析图象位置与参数取值范围；遇多函数图象综合，通过交点坐标建方程求解，数形结合梳理数量关系。 1．若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 2．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 6．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号） ①对于函数来说，随的增大而增大； ②函数的图象不经过第一象限； ③； ④． 类型二、一次函数中的旋转问题 处理方式：确定旋转中心、方向、角度三大要素，找图象上关键定点（如与坐标轴交点、已知点）；利用旋转性质求关键点的旋转后坐标，再将新坐标代入一次函数解析式，求解旋转后函数表达式；复杂图形旋转可结合几何图形性质辅助分析。 7．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 9．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 10．把函数的图像再向右平移4个单位长度后得到的函数表达式为______，若一次函数的图象与轴交于点，将该函数图象绕点逆时针旋转，则得到的新图象的函数表达式为______． 11．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 类型三、一次函数中的翻折问题 处理方式：明确翻折对称轴（常为坐标轴、某条直线），根据翻折性质（对称点连线垂直于对称轴且中点在对称轴上），求图象关键点的对称点坐标；将对称点坐标代入解析式，求出翻折后一次函数表达式，结合原图象分析重叠或新增区域特征。 12．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 14．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点M是线段上的一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是_______． 15．把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 类型四、一次函数的动点问题 处理方式：先确定动点运动范围、速度、方向，设动点坐标（含参数）；结合一次函数解析式，将动点坐标代入建立含参数的等式/不等式；根据题目条件（如线段长度、图形面积、位置关系）列方程或不等式，求解参数取值，检验结果是否符合运动范围。 17．直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线绕点逆时针旋转得射线，点是射线上一个动点，点是轴上一个动点．若与全等，则点的坐标是______． 18．四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 21．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 类型五、一次函数中的新定义问题 处理方式：先精读新定义规则，明确新定义的数学含义（如新运算、新图形、新关系）；将新定义转化为一次函数的常规知识点（如解析式、图象、交点、增减性）；结合一次函数性质，按新定义要求建方程、画图象，逐步推导求解，注意紧扣定义验证结果。 22．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数与的图像的交点是整点，则k的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________． 24．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为_________________； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接，，则的最小值是_______． 25．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 26．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 类型六、一次函数中的最值问题 处理方式：先判断一次函数增减性（由的正负决定）；确定自变量的取值范围（常由实际情境、图形边界限定）；若，自变量取最大值时函数取最大值，取最小值时函数取最小值；若，则相反，结合取值范围端点计算最值。 27．已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（   ） A．S有最大值2 B．S有最小值 C．S的值恒为1 D．S有最大值1 28．已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为______． 29．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 30．如图，四边形OABC是边长为4的菱形，点O的坐标为（0，0），点B在x轴的正半轴上，∠AOC=60°，点D为BC中点． （1）在对角线OB上是否存在一点P，使△PCD的周长最小？_______（请填写“是”或“否”） （2）如果存在这样的点P，它的坐标为__________△PCD的周长最小为_________． 31．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为______． 类型七、方案分配压轴 处理方式：根据题目分配要求，设自变量为分配数量，列出一次函数解析式（表示总消耗、总用量等）；结合实际情境确定自变量的正整数（或非负）取值范围；根据函数增减性，在取值范围内找出使函数值符合要求的自变量取值，列举所有可行分配方案，验证方案合理性。 33．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 34．雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 35．拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 36．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 37．某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.    (1)问A，B型展台单价分别是多少元？ (2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的.请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元. 38．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 类型八、最大利润压轴 处理方式：设自变量为销售数量/定价，根据“利润=单件利润×数量-固定成本”列一次函数利润解析式；结合实际销售场景，确定自变量的取值范围（如销量为正、定价不低于成本等）；根据函数增减性，在取值范围内求利润的最大值，对应得出最优销售方案。 39．某文具店准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，已知花费300元购进甲钢笔的数量和花费600元购进乙钢笔的数量相等，每支进价和利润如下表： 甲钢笔 乙钢笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，假设购进的钢笔均能全部售出，则该文具店此次进货的最大利润是（   ）元 A．734 B．733 C．732 D．731 40．洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． (1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 41．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 42．某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为． 化肥种类 化肥单价元 所需化肥数量/亩 每亩地增产 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 (1)求出，与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________． 43．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 1．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知：点和点，在y轴上找一点P，使最小，则点坐标为_______，在x轴上找一点Q，使最小，则点的坐标是______． 3．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 5．已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 6．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 7．如图，直线分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将绕点A按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 8．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k、b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出m的取值范围． 9．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 10．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 11．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 12．合肥市是国家科技创新型试点城市，集成电路和新能源汽车均是主导产业．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和1颗B型芯片共需要550元，购买2颗A型芯片和1颗B型芯片共需要900元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共6000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的2倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，并求出最少资金． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从P地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离P地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__________． ②当甲、乙两车相距时，x的值是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数的新定义、最值等综合问题 目录 典例讲解 类型一、一次函数的图象与性质压轴 类型二、一次函数中的旋转问题 类型三、一次函数中的翻折问题 类型四、一次函数的动点问题 类型五、一次函数中的新定义问题 类型六、一次函数中的最值问题 类型七、方案分配压轴 类型八、最大利润压轴 压轴专练 类型一、一次函数的图象与性质压轴 处理方式：先紧扣解析式（），明确（决定增减性）、（决定与轴交点）的几何意义；结合图象过定点、与坐标轴交点特征，分析图象位置与参数取值范围；遇多函数图象综合，通过交点坐标建方程求解，数形结合梳理数量关系。 1．若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 2．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 3．一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴、同号，即或， 当时，的图象大致为； 当时，， ∴选项A符合题意， 故选：A． 4．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 6．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号） ①对于函数来说，随的增大而增大； ②函数的图象不经过第一象限； ③； ④． 【答案】②③④ 【分析】 【详解】解：对于，观察图像可知，从左到右呈下降趋势，可知， 随的增大而减小，故①错误； 由可知，， 由可知，， 对于函数，，，函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； 一次函数与的图像交点的横坐标为3， 当时，，化简得， 将代入，得到 ， 故③正确； 由得图像可知，当时，， 此时，即， 移项可得， 故④正确． 故答案为②③④． 类型二、一次函数中的旋转问题 处理方式：确定旋转中心、方向、角度三大要素，找图象上关键定点（如与坐标轴交点、已知点）；利用旋转性质求关键点的旋转后坐标，再将新坐标代入一次函数解析式，求解旋转后函数表达式；复杂图形旋转可结合几何图形性质辅助分析。 7．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 8．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 9．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 10．把函数的图像再向右平移4个单位长度后得到的函数表达式为______，若一次函数的图象与轴交于点，将该函数图象绕点逆时针旋转，则得到的新图象的函数表达式为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：的图像再向右平移4个单位长度后得到的函数表达式为：， 即； 设的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ，． 设旋转后的直线为l，过点B作，垂足为点D，过点D作轴，轴， 得矩形， 由旋转得， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ，， 矩形中，，， ， ， 即， ， ，， ， 设直线l的解析式为，代入点，， 得∶，解得， 直线l的解析式为， 即得到的新图象的函数表达式为． 故答案为：；． 11．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 类型三、一次函数中的翻折问题 处理方式：明确翻折对称轴（常为坐标轴、某条直线），根据翻折性质（对称点连线垂直于对称轴且中点在对称轴上），求图象关键点的对称点坐标；将对称点坐标代入解析式，求出翻折后一次函数表达式，结合原图象分析重叠或新增区域特征。 12．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【答案】 是 ， 【分析】 【详解】解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴， 故点， 设点D的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， 故点． 故答案为：． 14．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点M是线段上的一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：如图， 令，得，解得， 所以； 令，得， 所以， 由折叠可得，， ∴， 设点M的坐标为，则，， 在中，，即， 解得， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 15．把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 16．如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 【答案】 【详解】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则，解得：， 则直线的函数关系式为， 故答案为：．nn 类型四、一次函数的动点问题 处理方式：先确定动点运动范围、速度、方向，设动点坐标（含参数）；结合一次函数解析式，将动点坐标代入建立含参数的等式/不等式；根据题目条件（如线段长度、图形面积、位置关系）列方程或不等式，求解参数取值，检验结果是否符合运动范围。 17．直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线绕点逆时针旋转得射线，点是射线上一个动点，点是轴上一个动点．若与全等，则点的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：将时，，即 当时，，即 当时， 可知，，如图 则， ∴ 当时，，如图 ，则，， 过点作轴于点， ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 综上所述：点的坐标是或 故答案为：或． 18．四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析；当时，函数值随的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， 是直角三角形，，， ， 当时，点在上，，， ； 当时，点在上，，， ； 综上所述：； （2）解：函数图象如图所示， 该函数的性质：当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由函数图象得，时x的取值范围为：或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)此时点P的坐标为 (3)点N的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：由题意，令，得， ． 令，得，解得， ， ． ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：， ， ． ， ， ． 设， 则， 解得， ∴此时点P的坐标为． （3）解：如图，当点N在点B的下方时，过点M作交于点H，过点M作于点D，过点N作直线于点F，过点H作直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，， ． 设，则， ， ， 解得：， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，构造同样辅助线， 同理， ， ∵点是的中点，点，点， ， 设点． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 【答案】(1) (2)，在直线上 【分析】 【详解】（1）解：设直线为， ∵直线交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得；， ∴直线为； （2）解：∵，， ∴， 设，而， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴在直线上； 当时，，重合，不符合题意，舍去， 当时， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，勾股定理的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，选择合适的方法解题是关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或 【详解】解：运动的时间是t，则，． 在直角中，， 过C作轴于点D，则D的坐标是． 在直角中，， ， 当是斜边时，，则， 解得：． 此时，，，此时不是等腰三角形，故不符合条件； 当是斜边时，，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当是斜边时，，则， 解得：（舍去），或1． 当时，，，此时． 总之，当时，是等腰直角三角形． 类型五、一次函数中的新定义问题 处理方式：先精读新定义规则，明确新定义的数学含义（如新运算、新图形、新关系）；将新定义转化为一次函数的常规知识点（如解析式、图象、交点、增减性）；结合一次函数性质，按新定义要求建方程、画图象，逐步推导求解，注意紧扣定义验证结果。 22．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数与的图像的交点是整点，则k的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】 【详解】解：解方程组，得， 当，即或时，x、y的值为整数， 综上所述，的值有个， 故选：A． 23．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和， ∴当，最小，为：； 故答案为：3． 24．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为_________________； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接，，则的最小值是_______． 【答案】 或 【分析】 【详解】解：（1）①当点N落在x轴上时，则轴， ∴点M在y轴上， 当时，， ∴， ∴点； ②当点N落在y轴时，则轴， ∴点M在x轴上， 当时，则，解得， ∴， ∴点； 综上，或， 故答案为：或； （2）解：设，过B作轴于H，如图所示， ∵是点A关于点的“逆旋点”， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∴ 的值，相当于点到，的距离之和， 相当于在直线上找一点到，距离之和最小， 作点M关于直线对称的点，连接，的长度即为的最小值， 根据对称可得点， ∴， ∴的最小值是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，最短距离问题，新定义，将军饮马及图形旋转的性质，解题的关键是根据题意找到最短距离点，利用一次函数问题解决最短距离问题． 25．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 26．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 类型六、一次函数中的最值问题 处理方式：先判断一次函数增减性（由的正负决定）；确定自变量的取值范围（常由实际情境、图形边界限定）；若，自变量取最大值时函数取最大值，取最小值时函数取最小值；若，则相反，结合取值范围端点计算最值。 27．已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（   ） A．S有最大值2 B．S有最小值 C．S的值恒为1 D．S有最大值1 【答案】A 【详解】解：由题意得， 由①②得， 即， ， 由①②得， 即， ， ， 在第一象限， ，， ， ， 且， ， 解得， ， ， ， 有最大值2． 故选：A． 28．已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为______． 【答案】9或 【分析】 【详解】解：当，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 当，即时，y随x的增大而减小， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 综上，m的值为9或． 故答案为：9或． 29．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】或 【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，即时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 综上所述，和 故答案为：或6． 30．如图，四边形OABC是边长为4的菱形，点O的坐标为（0，0），点B在x轴的正半轴上，∠AOC=60°，点D为BC中点． （1）在对角线OB上是否存在一点P，使△PCD的周长最小？_______（请填写“是”或“否”） （2）如果存在这样的点P，它的坐标为__________△PCD的周长最小为_________． 【答案】 是 【分析】 【详解】（1）由菱形的性质可得点A和C关于OB对称， ∴当P为AD与OB交点时△PCD的周长最小，， 故答案为：是； （2）如图，P为AD与OB交点，连接AC交OB于M． ∵四边形OABC是边长为4的菱形，∠AOC=60°， ∴△AOC是等边三角形，AC与OB互相垂直平分 ∴ ∴A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为， ∵点D为BC中点 ∴D点坐标为 ∴ ∴△PCD的周长最小=． 设直线AD的解析式为 ∴，解得 ∴直线AD的解析式为 ∵P为直线AD与OB的交点，即P为直线AD与x轴的交点 ∴P点坐标为 【点睛】本题考查轴对称最短问题、菱形的性质、一次函数的解析式，解题的关键是利用菱形的对称性解决最短问题． 31．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 【答案】(1) (2)作图见详解， (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： 即为所求，则点的坐标为； （3）解：如图所示： 点与点关于轴对称， ， 则， 在中，由三角形三边关系可知，， 当轴上的动点在线段上时，的值最小，为线段的长， ，， 设， 将，代入得： ，解得， ， 是轴上的点，即点的横坐标为， 当时，，即的坐标是， 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为______． 【答案】1 【分析】 【详解】解：点A的坐标为，点B在函数的图象上， ， 根据垂线段最短可知，当垂直于函数的图象时，取最小值，如图所示： ，， ， ， ，则， 解得， 的面积为； 故答案为：． 类型七、方案分配压轴 处理方式：根据题目分配要求，设自变量为分配数量，列出一次函数解析式（表示总消耗、总用量等）；结合实际情境确定自变量的正整数（或非负）取值范围；根据函数增减性，在取值范围内找出使函数值符合要求的自变量取值，列举所有可行分配方案，验证方案合理性。 33．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则 解得：， ， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，有最小值， ∴当时，（元） 故答案为：10400 34．雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【分析】 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 35．拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 (2)8 (3)最少租车费用是2720元． 【分析】 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． 36．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 37．某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.    (1)问A，B型展台单价分别是多少元？ (2)该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的.请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元. 【答案】(1)每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元； (2)购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元． 【分析】 【详解】（1）设每台B型展台的价格为x元，则每台A型展台的价格为元. 根据题意，得， 解得. 经检验，是原方程的解且符合题意. . 答：每台B型展台的价格为1200元，每台A型展台的价格为1500元． （2）设购买A型展台a台，则购买B型展台台，总花费为W，依题意， 得. ，解得. 又， 随a的增大而增大， ∴当时，W的值最小，最小值为（元）， （台）. 答：购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元． 【点睛】本题综合考查了根据实际问题，列出和求解分式方程，一元一次不等式，一次函数的性质，设出未知数，正确列式计算是解题的关键． 38．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 类型八、最大利润压轴 处理方式：设自变量为销售数量/定价，根据“利润=单件利润×数量-固定成本”列一次函数利润解析式；结合实际销售场景，确定自变量的取值范围（如销量为正、定价不低于成本等）；根据函数增减性，在取值范围内求利润的最大值，对应得出最优销售方案。 39．某文具店准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，已知花费300元购进甲钢笔的数量和花费600元购进乙钢笔的数量相等，每支进价和利润如下表： 甲钢笔 乙钢笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，假设购进的钢笔均能全部售出，则该文具店此次进货的最大利润是（   ）元 A．734 B．733 C．732 D．731 【答案】B 【详解】解：∵花费300元购进甲钢笔的数量与花费600元购进乙钢笔的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴甲钢笔进价为5元，乙钢笔进价为10元. 设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支， 总进价：，即， ∴ 利润：， 把代入，得， 由题意得，，即， ∴， ∴， ∵y为正整数， ∴， 又∵， ∴， 在中，P随y增大而减小， ∴当时，P最大， 此时， ， ∴最大利润为733元， 故选：B． 40．洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． (1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； (2)当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元 【分析】 【详解】（1）解：（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据题意， 得， 解得， 答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； （2）解：设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒． 根据题意得，， ∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， ∴，， 解得，， ∴，m为整数， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 则， 答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列二元一次方程组，列一次函数解析式，求一次函数最值，是解题的关键． 41．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 42．某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为． 化肥种类 化肥单价元 所需化肥数量/亩 每亩地增产 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 (1)求出，与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________． 【答案】(1)与之间的函数表达式为，与之间的函数表达式为 (2)当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，每亩利润=每亩农作物总售价每亩所用化肥总价， 则施甲肥每亩利润的表达式为：， 施乙肥每亩利润的表达式为：； （2）①当时，即， 解得； ②当时，即， 解得； ③当时，即， 解得． 综上所述，当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算； （3）解：根据题意得， 整理得． 因为，， 所以当时，取最大值， 所以，所以的最小值为． 故答案为：． 43．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元 【分析】 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 1．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 2．已知：点和点，在y轴上找一点P，使最小，则点坐标为_______，在x轴上找一点Q，使最小，则点的坐标是______． 【答案】 / 【详解】解：如图，连接，交轴于点， 由两点之间线段最短可知，点即为所求， 设直线的解析式为， 将点和点代入得： ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 所以点坐标为． 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质和两点之间线段最短可知，点即为所求， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点和点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 所以点得坐标为， 故答案为：，． 3．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 4．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：过点作平行于y轴的直线为， 将代入，得， 将代入，得， 两点横坐标相同，为纵坐标差的绝对值， ， 由题意，在时，恒成立， 即，化简得， 情况1：当时，，不等式恒成立 情况2：当时， ， 不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 对于恒成立： ，越大越大，当时取最大值为：， ，解得， 对于恒成立，解得， ， 的取值范围为且． 5．已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【答案】或 【详解】解：当时，一次函数，随的增大而增大； ∵自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是， ∴当时，；当时，， 得， 解得， ∴此时一次函数的表达式为． 当时，一次函数，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 得，解得， ∴此时一次函数的表达式为． 综上，该一次函数的表达式为或． 6．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 【答案】， 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是， 设点的坐标为， 点到轴，轴的距离之和为， ， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，点的坐标是或． 7．如图，直线分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将绕点A按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 时，，时，， ， ， ， 将线段绕点A逆时针旋转到， ， ， 为等边三角形， ， 当时，有最小值， 此时，连接， 是绕点按逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，， ， ， ， 在中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短求最短距离，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k、b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． （2）解：由（1）得， ∵当时，的值恒大于的值， ∴对所有成立， 整理得， ①当时，， ∴不等式可化为， ∵要对所有的都成立， ∴． 解得， ∴． ②当时，不等式变为，即， 此时x可取任意实数，该式恒成立，故符合题意， ③当时，， ∴不等式可化为，即， ∵要对所有成立，这是不可能的， 如：当时，与矛盾， ∴此时无解， 即时，不符合题意； 综上所述，或， ∴m的取值范围是． 9．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， ∵将沿直线折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设， 根据折叠的性质得，， 由（1）知， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得 ， 解得， 故直线的解析式为． 10．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 11．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】 【详解】（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． 12．合肥市是国家科技创新型试点城市，集成电路和新能源汽车均是主导产业．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和1颗B型芯片共需要550元，购买2颗A型芯片和1颗B型芯片共需要900元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共6000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的2倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，并求出最少资金． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从P地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离P地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__________． ②当甲、乙两车相距时，x的值是__________． 【答案】(1)购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元 (2)当购买A型芯片4000颗时，所需资金最少，最少资金是1800000元 (3)①80；②1或5或 【分析】 【详解】（1）解：设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元． 根据题意，得， 解得． 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元． （2）解：设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（6000-a）颗． 根据题意，得， 解得， 设所需资金元，则， ， 随a的增大而增大， ， ∴当时W值最小，（元）． 答：当购买A型芯片4000颗时，所需资金最少，最少资金是1800000元． （3）①乙车的速度为， 当时，， 则甲车的速度为． 故答案为：80． ②， 当时，解得， 与之间的函数关系式为， 与x之间的函数关系式为， 当时，当甲、乙两车相距时，得，即， 解得或5， 当时，当甲、乙两车相距时，得，即， 解得， ∴当甲、乙两车相距时，x的值为1或5或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $