专题03 一次函数（期末复习知识清单，8常考题型3易错归因2方法技巧）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 一次函数 考点1 变量与函数 1. 在变化过程中，数值发生变化的量叫__________；数值保持不变的量叫__________。 2. 函数定义：对于 的__________， 都有__________与之对应，则 是 的函数。 3. 函数的三种表示方法：__________、__________、__________。 4. 自变量取值范围：整式函数取值为__________；分式函数要求__________；二次根式函数要求__________；实际问题需符合__________。 考点2 正比例函数 1. 正比例函数的一般形式：__________（__________）。 2. 正比例函数的图象是__________的直线。 3. 性质： 时，图象过__________象限， 随 增大而__________； 时，图象过__________象限， 随 增大而__________。 4. 越大，直线图象越__________。 考点3 一次函数 1. 一次函数的一般形式：__________（__________）。 2. 当__________时，一次函数为正比例函数，__________是特殊的一次函数。 3. 一次函数的图象是__________，作图常用__________法，取点为__________和__________。 4. 增减性：， 随 增大而__________；， 随 增大而__________。 5. 平移规律：上下平移针对__________，规律__________；左右平移针对__________，规律__________。 考点4 一次函数与方程、不等式 1. 一元一次方程 的解，是直线与__________交点的__________。 2. 对应直线在 轴__________的部分， 对应直线在 轴__________的部分。 3. 两个一次函数图象的__________，对应二元一次方程组的__________。 考点5 一次函数的应用 1. 常见应用题型：__________、__________、__________、__________。 2. 求一次函数解析式的核心方法：__________。 3. 分段函数解题关键：明确__________，注意端点取值。 题型1 函数概念与自变量取值范围 例1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 例2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 例3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的自变量的取值范围为_____． 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）已知变量和变量，那么______的函数？（填“是”或“不是”） 变式2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 变式3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）若函数，当自变量取值增加2的时候，函数值减少3，那么的值是________． 变式4．（24-25八年级上·上海静安·期末）函数的自变量的取值范围是________． 变式5．（25-26八年级上·上海·期末）函数中自变量的取值范围是_____． 题型2 正比例函数定义、图象与性质 例4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 例5．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 例6．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 例7．（25-26八年级下·上海闵行·期中）若点在正比例函数的图像上，则的值为______． 例8．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 例9．（25-26八年级下·上海·期中）已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 变式1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 变式2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 变式3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 变式4．（25-26八年级下·上海·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 变式5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 变式6．（22-23八年级·上海·暑假作业）下列哪些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 题型3 一次函数k、b符号与图象象限判断 例10．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 例11．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第________象限． 变式3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 题型4 待定系数法求一次函数解析式 例12．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 例13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 例14．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 变式2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 变式3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求当时的值． 变式4．（25-26八年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 题型5 一次函数图象平移问题 例15．（23-24八年级下·上海·月考）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 例16．（25-26八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 例17．（25-26八年级下·上海·阶段检测）直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 例18．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 变式1．（22-23八年级下·上海·月考）把直线沿着x轴向右平移两个单位，得到的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·上海金山·月考）已知，直线与直线平行，那么_____． 变式3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数的图象由直线平移·得到且过点．则______ 变式4．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 变式5．（24-25八年级下·上海长宁·阶段检测）一次函数的图象过点且与直线平行． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 题型6 一次函数与不等式结合 例19．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 例20．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 例21．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数中两个变量、的部分对应值如下表所示：那么关于的不等式的解集是________________． 0 1 2 2 1 0 例22．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 变式3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 变式4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 变式5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 题型7 一次函数实际应用 例23．（2024八年级上·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 例24．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 变式1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 变式2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 变式4．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 题型8 一次函数与几何综合 例25．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 例26．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 变式1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为“对等四边形”，该条对角线称为“对等对角线”．如图1，在凸四边形中，如果，那么四边形为“对等四边形”，为四边形的“对等对角线”．    (1)下列图形中，一定是对等四边形的是 （填写你认为正确的序号） ①等腰梯形；②平行四边形；③直角梯形； (2)如图2，在凸四边形中，对角线交于点M，且，求证：四边形是“对等四边形”； (3)如图3，在平面直角坐标系内，已知点，，，点H在线段上且，点P在线段上且四边形为“对等四边形”，请直接写出点P的坐标． 易错点1：正比例函数与一次函数的包含关系 1．（25-26八年级下·上海·期中）下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 易错点2：一次函数图像经过象限判断错误 2．已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 易错点3：一次函数平移规律 3．一次函数平移后图象经过点，则平移后的函数解析式是________． 技巧1：一次函数与坐标轴围成几何图形面积计算 核心技巧： 先求出一次函数与 轴、 轴的交点坐标，以两交点与原点构成直角三角形，坐标轴上的线段分别为三角形的底和高，利用三角形面积公式 计算即可。 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 技巧2：根据函数图像信息求参数、写解析式 核心技巧： 从图像中提取关键信息：图像过定点、增减趋势、与坐标轴交点等，先确定 的符号或具体数值，再写出符合条件的函数解析式。 2．甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题： (1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________； (2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶； (3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 考点1 变量与函数 1. 变量：在变化过程中，数值发生变化的量。 2. 常量：数值保持不变的量。 3. 函数定义：在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么称 是 的函数， 是自变量。 4. 函数三要素：自变量、函数值、对应关系。 5. 函数的三种表示法：解析式法、列表法、图象法。 6. 自变量取值范围（定义域） 整式型函数：自变量取值为全体实数 分式型函数：分母不等于0 二次根式型函数：被开方数大于等于0 实际问题函数：取值需符合实际意义 考点2 正比例函数 1.定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫做正比例函数。 2. 图象特征：经过原点 的一条直线。 3. 图象与性质 当 时：图象经过一、三象限， 随 的增大而增大 当 时：图象经过二、四象限， 随 的增大而减小 越大，直线倾斜程度越陡 4. 解析式求解：待定系数法，仅需一组对应 值即可求出 。 考点3 一次函数 1. 定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫做一次函数。 补充：当 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.图象特征：一条直线。 3. 两点作图法 与 轴交点：令 ，得交点 与 轴交点：令 ，得交点 连接两点即可画出一次函数图象 4. k、b 对函数图象与性质的影响 符号 符号 经过象限 函数增减性 一、二、三 随 增大而增大 一、三、四 随 增大而增大 一、二、四 随 增大而减小 二、三、四 随 增大而减小 5. 图象平移规律 上下平移（针对常数项 ）：上加下减；向上平移 个单位 ，向下平移 个单位 左右平移（针对自变量 ）：左加右减；向左平移 个单位 ，向右平移 个单位 考点4 一次函数与方程、不等式 1. 与一元一次方程的关系：方程 的解，对应直线 与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式的关系 的解集：直线图象在 轴上方部分对应的自变量 的取值范围 的解集：直线图象在 轴下方部分对应的自变量 的取值范围 3. 与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 考点5 一次函数的实际应用 1. 常见应用模型：行程问题、费用计费问题、利润最值问题、方案选择问题、分段计费问题。 2. 通用解题步骤 审题，设定自变量 和函数因变量 利用待定系数法求解函数解析式 结合解析式、图象、自变量取值范围求解问题 检验结果是否符合实际意义 3. 分段函数要点：不同自变量区间对应不同解析式，重点关注区间端点的取值归属。 题型1 函数概念与自变量取值范围 例1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． 例2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数值的求解方法是解题关键．将代入函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 例3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）函数的自变量的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为零．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 变式1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）已知变量和变量，那么______的函数？（填“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的概念进行判断即可解答． 【详解】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，是x的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 变式2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 【答案】1 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可求出结果． 把自变量代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：1． 变式3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）若函数，当自变量取值增加2的时候，函数值减少3，那么的值是________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数的性质，求函数值，熟练掌握求函数值是解题的关键．利用特殊值法解答即可． 【详解】解：根据题意，当时，；当时，， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 变式4．（24-25八年级上·上海静安·期末）函数的自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零即可得到答案． 【详解】解：由题意得：． 变式5．（25-26八年级上·上海·期末）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】函数表达式分母含有二次根式，需同时满足二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 题型2 正比例函数定义、图象与性质 例4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 例5．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 例6．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 例7．（25-26八年级下·上海闵行·期中）若点在正比例函数的图像上，则的值为______． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】将点 代入正比例函数，通过解方程即可求出的值． 【详解】解：将点 代入正比例函数得： 解得：． 例8．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 例9．（25-26八年级下·上海·期中）已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】（1）根据正比例函数的定义，得到的次数为，系数不为，求解的值后代入即可得到函数关系式； （2）先确定的长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或． 变式1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，分别应用正比例函数的性质分析即可选择． 【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故A选项不符合题意； B．由知，函数值y随自变量x的增大而增大，故B选项符合题意； C．正比例函数图象都经过原点，故C选项不符合题意； D．由知，图象经过一、三象限，故D选项不符合题意； 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值. 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 变式3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 变式4．（25-26八年级下·上海·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 变式5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数， （2）根据（1）所求，先求出、时，对应的函数值，再根据解析式可得y随x的增大而减小，即可得出函数值的取值范围． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， 当时，， 当时，， ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，． 变式6．（22-23八年级·上海·暑假作业）下列哪些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可． 【详解】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数． 【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念． 题型3 一次函数k、b符号与图象象限判断 例10．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可． 【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限． 故选：D． 例11．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】二、三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据直线（是常数）的图像不经过第三象限，得到直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限，则，，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵直线（是常数）的图像不经过第三象限， ∴直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限， ∴， 解得． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第________象限． 【答案】 一、三、四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数的性质，通过和的符号即可判断函数图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． 变式3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式、求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答． （2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过， ∴， ∴， 解得． ∴． （2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限， ∴， ∴． 题型4 待定系数法求一次函数解析式 例12．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图像经过两点的坐标，建立方程组求解k和b的关系，结合m的取值范围判断k和b的符号． 【详解】解：一次函数的图像经过点和点， ∴ 将代入方程得：， ∴ 又∵，故，即． 综上，且， 故选B． 例13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】一次函数图象上下平移时，一次项系数保持不变，根据平移性质设出平移后的解析式，代入已知点的坐标求解即可； 【详解】解：一次函数图象上下平移时，一次项系数不变，原函数一次项系数为， 设平移后函数表达式为， 将点代入得：，解得， 平移后图像的函数表达式是． 例14．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】（1）根据与成正比例的定义设出关系式，代入已知的值求出比例系数，整理得到与的函数关系式； （2）将点的坐标代入所得函数解析式，解一元一次方程得到的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 把，代入上式得，， 解得， 把代入所设式子，整理得； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴把，代入得， 解得：． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． ②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． 综上所述，该一次函数的表达式是或． 变式2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】由直线：与直线平行，可设直线的函数解析式为，将代入，即可得出答案． 【详解】解：∵直线：与直线平行， ∴设直线的函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线的函数解析式是． 变式3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将当时，，代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题． 解题的关键是掌握正比例函数解析式的形式，以及利用待定系数法求正比例函数解析式． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：， ， 解得． 变式4．（25-26八年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)12 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴正比例函数； 将，代入得， 解得 ∴一次函数； （2）解：∵一次函数 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴的面积． 题型5 一次函数图象平移问题 例15．（23-24八年级下·上海·月考）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图像平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图像平移规律解答即可． 【详解】解：将直线的图像向下平移个单位即可得到直线的图像． 故选：A． 例16．（25-26八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将直线向上平移个单位， 根据平移规律可得新直线解析式为， 整理得． 例17．（25-26八年级下·上海·阶段检测）直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的， ∴直线向上平移2个单位得到直线． ∴直线：． 例18．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【知识点】一次函数图象平移问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）根据题意得到，解得即可； （2）设一次函数的表达式为，再由图象过点，可求出，从而可求表达式． 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 变式1．（22-23八年级下·上海·月考）把直线沿着x轴向右平移两个单位，得到的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】利用一次函数平移规律，左加右减进而得出平移后函数解析式即可． 【详解】解：把直线沿轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为：，即， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键． 变式2．（24-25八年级下·上海金山·月考）已知，直线与直线平行，那么_____． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，解题关键是掌握一次函数图象的平移． 根据互相平行的直线相等求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数的图象由直线平移·得到且过点．则______ 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，即可求出b的值． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∴， 代入点，得， 解得． 变式4．（24-25八年级下·上海金山·阶段检测）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象的平移，根据一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减， 即可得解，熟练掌握一次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：设直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 则平移后的直线的解析式为， ∴， ∴， 故直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 故答案为：． 变式5．（24-25八年级下·上海长宁·阶段检测）一次函数的图象过点且与直线平行． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数解析式，画一次函数图象，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）根据平行直线的值相等即可设一次函数解析式为，再将点代入即可求解； （2）求出直线与坐标轴交点坐标，利用描点法即可画出直线． 【详解】（1）解：由一次函数的图象与直线平行，设一次函数解析式为， 一次函数的图象过点， ， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）解：在中，令得， 令得 解得， 一次函数图象经过和， 描点画出图象如下： 题型6 一次函数与不等式结合 例19．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 例20．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 例21．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数中两个变量、的部分对应值如下表所示：那么关于的不等式的解集是________________． 0 1 2 2 1 0 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据表格中的数据可知，y随着x的增大而减小，再由不等式的解集即为函数值小于等于时，自变量的取值范围，据此可得答案． 【详解】解；由表格中的数据可知，y随着x的增大而减小， ∵当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 例22．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 变式1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 变式3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了两条直线的交点求不等式的解集，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，和的图象交于点， ∴函数的图象在函数的图象上方时， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）将两个点分别代入关系式可得方程组，再求出解即可； （2）先求出点P的坐标，再根据点的位置可得答案． 【详解】（1）解：∵直线过点和， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：∵点P在直线上，且横坐标为， ∴． ∵直线中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大， 设直线上位于点P上方点的纵坐标为y， ∴． 变式5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 题型7 一次函数实际应用 例23．（2024八年级上·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算． 例24．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元 (2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 变式1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 变式2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【答案】(1) (2)80米/分 (3)510米 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可； （3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得：点，， 设线段的表达式的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴线段的表达式为； （2）解：甲的速度为（米/分）， 相遇时行走的路程为（米）， ∵甲先出发4分钟， ∴相遇时乙行走的时间为（分） ∴乙的步行速度为（米/分）， （3）解：由（2）得：相遇时行走的路程960米， ∴与终点的距离为米， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：分， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：分， ∴乙比甲早分钟到达终点， ∴乙到达终点时，甲离终点还有米． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 【答案】(1)500 (2)x的值为20； (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）根据函数图象可直接得出结果； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：（米）； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ， 解得： ∴． 变式4．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由见解析 (3) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，即可； （3）分，两种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 设与之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由如下： 根据题意得，早晚高峰的时间是8时到20时之间， 由（1）得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东； （3）解：当时，此时 ， 解得：； 当时， 此时， 解得：， 综上所述，当且时，时间的取值范围． 题型8 一次函数与几何综合 例25．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）将点代入求出，再联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）①由一次函数的解析式可得，结合，则； ②延长交轴于点，由对称性可得，点，，利用割补法计算出，，结合构造方程，求解出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴直线， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， ∵是直线在第一象限内上的点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，延长交轴于点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵点在轴上， ∴直线与直线关于轴对称， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ， ， ， ， ∴， ∵在四边形内部， ∴， ∵， ∴， 解得． 例26．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、求一次函数解析式、折叠问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 变式1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)​， (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）将代入即可求解． （2）过作x轴垂线，垂足坐标为，则，根据，，得出，求出或．根据直线过，得出，结合，得，则，．将代入即可求解． （3）联立直线方程，求出，再求出​，​，设，则，根据，或，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． （2）解：过作x轴垂线，垂足坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴或． ∵直线过， ∴， 解得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 将代入，得方程组：， 解得：． （3）解：联立直线方程， 解得：， ∴​， ∴​， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得：． ∴点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、已知两点坐标求两点距离、根据两条直线的交点求不等式的解集、三线合一 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为“对等四边形”，该条对角线称为“对等对角线”．如图1，在凸四边形中，如果，那么四边形为“对等四边形”，为四边形的“对等对角线”．    (1)下列图形中，一定是对等四边形的是 （填写你认为正确的序号） ①等腰梯形；②平行四边形；③直角梯形； (2)如图2，在凸四边形中，对角线交于点M，且，求证：四边形是“对等四边形”； (3)如图3，在平面直角坐标系内，已知点，，，点H在线段上且，点P在线段上且四边形为“对等四边形”，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)或 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、利用平行四边形的性质求解、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）根据，可得，从而得到，即可求证； （3）求出直线解析式，再求出点H的坐标，然后分两种情况：若为对等对角线，若为对等对角线，即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可知，一定是对等四边形的是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是“对等四边形”； （3）解：设直线解析式为， 把，代入得： ∴，解得 ∴直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：（舍去）或3， ∴点， 若为对等对角线，则， ∴， 解得：， 此时； 若为对等对角线，则，， 此时， ∵， ∴， 解得：， 此时； 综上所述：点P的坐标为或． 易错点1：正比例函数与一次函数的包含关系 1．（25-26八年级下·上海·期中）下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项：若，该函数不是一次函数，故不符合题意； 选项：，不是整式，不符合一次函数定义，故不符合题意； 选项：可化为，满足一次函数定义，故符合题意； 选项：，的最高次数为，不是一次函数，不符合定义，故不符合题意． 易错点2：一次函数图像经过象限判断错误 2．已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 易错点3：一次函数平移规律 3．一次函数平移后图象经过点，则平移后的函数解析式是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，求一次函数解析式等知识，掌握一次函数平移前后函数解析式的比例系数不变是解题的关键；设平移后的一次函数解析式为，把点代入函数式中即可求解． 【详解】解：由于一次函数平移前后函数解析式的比例系数不变， 故设平移后的一次函数解析式为， 把点代入函数式中，得：， 解得：， ∴， 即平移后的函数解析式为； 故答案为：． 技巧1：一次函数与坐标轴围成几何图形面积计算 核心技巧： 先求出一次函数与 轴、 轴的交点坐标，以两交点与原点构成直角三角形，坐标轴上的线段分别为三角形的底和高，利用三角形面积公式 计算即可。 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线l是一次函数的图像经过和， ∴， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成的三角形的面积． 技巧2：根据函数图像信息求参数、写解析式 核心技巧： 从图像中提取关键信息：图像过定点、增减趋势、与坐标轴交点等，先确定 的符号或具体数值，再写出符合条件的函数解析式。 2．甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题： (1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________； (2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶； (3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米． 【答案】(1)； (2)4；4； (3)6． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图中获取相关信息是解题的关键． （1）设甲、乙两同学登山过程中，甲、乙离山脚的距离y（千米）与x（小时）之间的函数解析式分别为，，把点和点分别代入，，即可得出各自的解析式． （2）由图可知，甲到达山顶时离山脚的距离为12千米，即山脚到山顶的距离为12千米，代入可求得所花的时间，再把时间代入即可求得A点离山脚的距离，则A点与山顶的距离可求． （3）由图象知∶甲到达山顶并休息1小时后点D的坐标为，点B的坐标也可求，则线段所在直线的一次函数表达式可求，而乙到达山顶的时间可求，则题目可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两同学登山过程中，甲、乙离山脚的距离y（千米）与x（小时）之间的函数解析式分别为，， 由题意，得，， 解得：， 则甲，乙的解析式分别为，． 故答案为：；； （2）解：甲到达山顶时，由图象可知，当（千米）， 则，解得：， 把代入得，， 则（千米） 则甲到达山顶用了4小时，此时，乙还有4千米到达山顶， 故答案为：4，4． （3）解：由图象知：甲到达山顶并休息1小时后点D的坐标为， 代入由题意，得点B的纵坐标为，代入， 解得∶， ∴点， 设过B、D两点的直线为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当乙到达山顶时，，解得， 把代入(千米) 答∶乙到达山顶时，甲距山脚6千米． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $