重点题型专题11 平行四边形的证明思路（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

重点题型专题11 平行四边形的证明思路 类型1与边相关 4.如图，E为□ABCD的边AD上一点，连结EB 1.如图，已知AC=AE,BC=BE,BC∥AD,CD⊥ 并延长到点F,使BF=BE,连结EC并延长到 CE.求证：四边形ABCD是平行四边形 点G,使CG=CE,连结FG,H为FG的中点， B 连结DH,AF. (1)求证：四边形AFHD为平行四边形； (2)若△EFG的面积为4，求□ABCD的面积. 2.(2024·南充期末)如图，点A,B,C,D在同一条 直线上，点E,F分别在直线AD的两侧，且 AE=DF,AE∥DF,AB=DC.求证：四边形 BFCE是平行四边形. D 类型2与对角线相关 5.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, EF过点O交AD于点E,交BC于点F,G是 OA的中点，H是OC的中点，连结EG,EH, FG,FH.求证：四边形EGFH是平行四边形. 3.如图，在□ABCD中，E,F分别是边AB,CD 上的点，已知AE=CF,M,N分别是DE和 BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四 边形. 80一本·初中数学8年级下册HDSD版 6.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线， (2)【等面积法】若AD=13cm,AE=12cm, 过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E,F AB=20cm,过点C作CH⊥AB,垂足为H,求 为垂足，连结CE,AF. CH的长. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； 变式微专题3平行四边形内角平分线问题 >方法指导 【基本图形】平行四边形十角平分线→等腰三角形 E 图1 图2 图3 图4 图5 1.如图，在□ABCD中，E为AD的中点.若BC=2AB,∠ABC=70°，则∠EBC的度数为 A.25 B.309 C.35 D.409 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若BC=4,EF=1,则 AB的长为 ( ) A.3 B.2.5 C.3.5 D.4 3.如图，在□ABCD中，AB=3,∠ABC与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰好在边AD上，则CE2+BE的值 为 ) A.12 B.16 C.24 D.36 4.(2024·重庆沙坪坝区期中)如图，在☐ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O,且分别交直线BC于点E, F.若AB=6,BC=4,则OE2+十OF2的值是 第17章平行四边形81第17章平行四边形 17.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 1.C2.123.104.(-2,-1)5.5 6.(1)略(2)107.C【变式】C8.52°9.22 10.①②③④11.1012.513.314.60 15.(1)略(2)4√3 16.(1)略(2)84 第2课时平行四边形对角线的性质 1.B2.B【变式】1193.204.8 5.证明：证法1（对角线的性质）：，四边形ABCD是平行四 边形，∴.OA=OC,OB=OD AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEO=∠CFO=90. '∠AEO=∠CFO, 在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF, OA=OC, ∴.△AOE≌△COF(AAS), ..OE=OF,..BE=DF. 证法2（对边的性质）：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,∴.∠ABE=∠CDF. ,AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB=∠CFD=90° ∠AEB=∠CFD, 在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF, AB=CD, ∴.△ABE≌△CDF(AAS),∴.BE=DF. 6.(1)略(2)40° 7.c8.149.-310.3 1.a192m(2)48m12.号 (2)42 17.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定1,2 1.32.60°3.略4.D 5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6.略7.C8.AE=FC(答案不唯一)9.略10.C 11.一3或512.略 13.(1)6-t2t8-2t(0<t≤4)或2t-8(4<t≤6) (22或号 第2课时平行四边形的判定3 1.D2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.OB=OD(答案不唯一) 4.证明：如图，连结AC交BD于点O. ·四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD. 答 又BE=DF, ∴.OB十BE=OD+DF,即OE=OF, .四边形AECF是平行四边形. 另一种解题思路：易证△ABE≌△CDF,可得AE LCF,故 四边形AECF是平行四边形. 5.略6.B7.①④ 8.(1=号E(号0）2路 3 9.(1)没有出发时，这两根橡皮筋互相平分.理由略 (2)同时出发后，这两根橡皮筋还存在(1)中的关系.理由略 第3课时平行四边形性质与判定的综合运用 1.B2.C3.1304.略 5.(1)略(2)16 6.177.38.略 9.(1)略(2)6 10.(1)PD+PE+PF=AB.证明略(2)14 第4课时三角形的中位线定理 1.B2.c3.44.45.16.2 3 7.解：四边形EGFH是平行四边形.证明如下： 证法1（两组对边分别平行）：，E,G分别是线段AB AC的中点，.EG∥BC. 同理可得，HF∥BC,GF∥AD,EH∥AD, .GE∥HF,GF∥EH,∴.四边形EGFH是平行四边形. 证法2（一组对边平行且相等）：由题意可知，GF是 △ADC的中位线，EH是△ADB的中位线， GF4AD,EHL号AD.-GFLEH, .四边形EGFH是平行四边形. 8.略9.B10.B11.2 12.(1)△MNH是直角三角形.理由略(2)√13 13.解：(1)△OMN是等腰三角形.理由 如下： 如图，取BD的中点H,连结HE,HF E,F分别是BC,AD的中点， .HF∥AB,HE∥CD,HF= HE-CD. AB=CD,∴.HF=HE,.∠HFE=∠HEF. ,HF∥AB,HE∥CD,∴.∠HFE=∠ONM,∠HEF= ∠OMN,∴.∠OMN=∠ONM, ∴.OM=ON,∴.△OMN是等腰三角形. (2)略 重点题型专题11平行四边形的证明思路 1.证明：，'AC=AE,BC=BE, .AB垂直平分CE,即AB⊥CE. ,CD⊥CE,.AB∥CD. BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形. 2.略 3.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. 案8· .AE=CF,..AB-AE=CD-CF,E BE=DF, ∴.四边形DEBF是平行四边形， ∴.DE∥BF,DE=BF. M,N分别是DE和BF的中点，∴.EM=FN, ∴.四边形ENFM是平行四边形. 4.(1)略(2)2 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,OA=OC, ∴.∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC, ∴.△AOE≌△COF(AAS),∴.OE=OF. G是OA的中点，H是OC的中点， 0G=z0A,0H=z0C,.0G=0H, .四边形EGFH是平行四边形， 6.(1)略(2)12.6cm 变式微专题3平行四边形内角平分线问题 1.C2.B3.D4.64 方法归纳专题12借助平行四边形对角线 互相平分的性质求点的坐标 【例】C 【跟踪训练】 1.D2.C3.√2或1或√5 4.(-6,0)或(6,0)或(-2,0) 5.(2,2)或(-6，-2)或(10,6) 6(-兰-)克0，-D成8，-D 数学活动图形的等分 解：(1)如图1，连结AC,BD相交于点O,过点E,O画直线 交BC于点F,交AD于点N,则直线NF即为所求.理由略 N E B F 图1 图2 (2)如图2，两条直线即为所求（画出一种即可）.共有无数种 画法；共同点：两条直线经过对角线的交点O,分别与平行 四边形的一组对边相交. (3)如图3，连结AC,交BD于点O,过点O,P作直线OP, 在AB上取一点M,使BM=CP,过点M,O作直线MO, 则直线OP,OM即为所求. M B Q ● 图3 图4 (4)如图4，连结AC,BD交于点O,过点O,Q作直线OQ, 1 在AB上取点M,使BM=2CQ,过点M,0作直线，则直 线OQ,OM即为所求. (5)连结AC,BD交于点O,过点O,Q作直线OQ,在 AB上取一点M,使BM:CQ=a:b,过点M,O作直线， 则直线OQ,OM即为所求. ·答 章末复习 1.C2.B3.64.①②④5.4：2：16.略 7.C8.B9.A 10.(1)略(2)13 5 11.2或812.20或2813.①②③14.3或5 15.(4,2)或(2，-2)或(-2,2) 第18章矩形、菱形与正方形 18.1矩形 1矩形的性质 1.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.对角线2中点3.604.117 5.(1)略(2)5 6.C7.D8.C9.1010.略 11.D12.A13214.5 2 15.解：(1)证明：证法1（三角形全等）：四边形ABCD是 矩形，.BC=AD,∠C=90°. .AD=BF,.'.BC=BF. BF⊥AE,∴∠BFE=∠C=90° 在R△BCE和R△BFE中，BC=BF, (BE=BE, .Rt△BCE≌Rt△BFE(HL), ·∠CBE=∠FBE,∴.BE平分∠CBF. 证法2（角平分线的判定定理）：由题意可得，AD= BF=BC. :∠BFE=∠C=90°，.EB平分∠CEF, .∠CEB=∠FEB,∴.∠CBE=∠FBE, .BE平分∠CBF. (2)10 16.略 2矩形的判定 第1课时矩形的判定 1.C2.103.略4.B5.12 6.证明：证法1（矩形的判定定理1）：，在四边形ABCD中， AB∥CD,∠BAD=90°，.∠ADC=90°. ,AB=5,BC=12,AC=13, ∴.AC2=AB2+BC2, .△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴.四边形ABCD是矩形. 证法2（矩形的定义）：，AB2+BC2=52十122=132=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴∠BAD+∠B=180°，.AD∥BC. AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. :∠BAD=90°，.四边形ABCD是矩形. 7.C8.对角线相等的平行四边形是矩形 9.略10.D11号 12.(1)略(2)BC=8,AC=2/10 9·