专题11 旋转中的半角模型及对角互补模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦图形的平移与旋转，核心讲解半角模型及对角互补模型，通过正方形、等腰直角三角形等实例导入，从旋转性质过渡到模型应用，以构造全等三角形为支架帮助学生建立知识脉络。 其亮点是结合具体例题推导（如正方形半角模型EF=BE+DF的证明）和模型归纳（半角模型结论、对角互补模型结论），培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型观念（数学语言）。学生能提升问题转化能力，教师可借助系统模型总结高效教学。

初中数学 八年级下册·（BS版） 第三章　图形的平移与旋转 专题 11　旋转中的半角模型及对角互补模型 模型1　半角模型 1. 如图1，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC和 CD上，且∠EAF＝45°（∠EAF＝ ∠BAD），我们把这种 模型称为半角模型.在解决半角模型问题时，旋转是一种常用 的方法.小明为了求线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°（如图2）后解决了这个问题. （1）请写出线段EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理 由； 1 2 上一页 下一页 【解析】（1）EF＝BE＋DF. 理由如下： 由旋转的性质可得，GB＝DF，AF＝AG， ∠BAG＝∠DAF. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°.∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF. 在△AGE和△AFE中， ∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF. ∵GE＝BE＋GB＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. 1 2 上一页 下一页 1. 如图1，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC和 CD上，且∠EAF＝45°（∠EAF＝ ∠BAD），我们把这种 模型称为半角模型.在解决半角模型问题时，旋转是一种常用 的方法.小明为了求线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°（如图2）后解决了这个问题. （2）如图3，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AB ＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出线段 EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由； 1 2 上一页 下一页 【解析】 （2）EF2＝BE2＋DF2.理由如下： 如图3，把△AFD绕点A顺时针旋转90° 得到△AE'B，连接EE'，∴BE'＝FD，AE'＝AF， ∠ADB＝∠ABE'，∠FAD＝∠E'AB. ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABE'＝∠ADB＝45°， ∴∠ABD＋∠ABE'＝90°，即∠E'BD＝90°， ∴在Rt△BEE'中，E'B2＋BE2＝E'E2， 即E'E2＝DF2＋BE2. 1 2 上一页 下一页 又∵∠FAE＝45°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°， ∴∠BAE＋∠E'AB＝45°，即∠E'AE＝45°. 在△AEE'和△AEF中， ∴△AEE'≌△AEF（SAS），∴EE'＝EF， ∴EF2＝BE2＋DF2. 1 2 上一页 下一页 1. 如图1，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC和 CD上，且∠EAF＝45°（∠EAF＝ ∠BAD），我们把这种 模型称为半角模型.在解决半角模型问题时，旋转是一种常用 的方法.小明为了求线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°（如图2）后解决了这个问题. [拓展]（3）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 点D，E在边BC上，且∠DAE＝60°.当BD＝10，EC＝16 时，BC的长为 ⁠. 40　 1 2 上一页 下一页 解析:（3）如图，把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到 △ABP，连接PD， ∴AP＝AE，PB＝CE＝16，∠PBA＝∠C， ∠EAP＝∠BAC＝120°. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠C＝∠ABP＝30°， ∴∠ABD＋∠ABP＝60°，即∠PBD＝60°. 又∵∠DAE＝60°， ∴∠PAD＝∠EAP－∠DAE＝120°－60°＝60°. 1 2 上一页 下一页 在△AED和△APD中， ∴△AED≌△APD（SAS），∴ED＝PD. 过点D作DH⊥BP，垂足为H. ∵∠PBD＝60°，∴∠HDB＝30°， ∴BH＝ BD＝ ×10＝5， HD＝ ＝ ＝5 ， ∴HP＝BP－BH＝16－5＝11， 1 2 上一页 下一页 ∴PD＝ ＝ ＝14， ∴DE＝PD＝14， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝10＋14＋16＝40.故答案为40. 1 2 上一页 下一页 模型归纳　 1. 正方形含半角模型 如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，△ADF绕点A顺时 针旋转得到△ABG，使AD与AB重合. 结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝BE＋DF；③△CEF的周 长为2AB. 1 2 上一页 下一页 2. 等腰直角三角形含半角模型 如图，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝ 45°，△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF，使AB与AC重 合. 结论：①△AEF≌△AED；②EF＝DE； ③DE2＝BD2＋CE2. 1 2 上一页 下一页 模型2　对角互补模型 2. 对角互补模型是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基 础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一 组邻边相等，方法是构造旋转全等.请完成下列问题： [探索]（1）【一题多解】如图1，∠AOB＝∠CPD＝90°， PD＝PC，PO＝4，求OD＋OC的长. 1 2 上一页 下一页 解：（1）解法1：如图，将△PDO绕点P逆时针旋转 90°得到△PCM，则△PDO≌△PCM. ∵∠AOB＝∠CPD＝90°， ∴∠PDO＋∠PCO＝180°.∵∠PDO＝∠PCM， ∴∠PCM＋∠PCO＝180°， ∴点O，C，M在同一条直线上. ∵PO＝PM＝4，∠DPO＝∠CPM， ∴∠OPM＝∠OPC＋∠CPM＝∠OPC＋∠DPO＝90°， ∴在Rt△OPM中，OM＝ ＝4 ， ∴OD＋OC＝CM＋OC＝OM＝4 . 1 2 上一页 下一页 解法2：如图，将∠CPD顺时针旋转至∠C'PD'的位置，使 PC'⊥OB，则∠C'PD'＝∠CPD＝90°， ∠PC'O＝90°，∠DPD'＝∠CPC'. ∵∠AOB＝∠C'PD'＝90°， ∴∠PD'O＋∠PC'O＝180°， ∴∠PD'O＝∠PC'O＝90°.∵PD＝PC，∴△PDD'≌△PCC' （AAS），∴CC'＝DD'，PC'＝PD'， ∴OD＋OC＝OD＋OC'＋CC'＝OC'＋OD'. 在Rt△PD'O和Rt△PC'O中，∵PC'＝PD'，OP＝OP， 1 2 上一页 下一页 ∴Rt△PD'O≌Rt△PC'O（HL）， ∴OC'＝OD'，∠POC'＝∠POD'＝45°， ∴OC'＝ OP＝2 ，∴OD＋OC＝2OC'＝4 . 1 2 上一页 下一页 2. 对角互补模型是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基 础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一 组邻边相等，方法是构造旋转全等.请完成下列问题： [应用]（2）如图2，∠AOB＝120°，∠CPD＝60°，PD＝ PC. 若OD＝2，OC＝4，求OP的长. 1 2 上一页 下一页 （2）如图2，将△PDO绕点P逆时针旋转60°得到△PCN， 则△PDO≌△PCN. ∵∠AOB＝120°，∠CPD＝60°， ∴∠PDO＋∠OCP＝180°.∵∠PDO＝∠PCN， ∴∠PCN＋∠PCO＝180°， ∴点O，C，N在同一条直线上. ∵∠DPO＝∠CPN， ∴∠OPN＝∠OPC＋∠CPN＝∠OPC＋∠OPD ＝∠DPC＝60°. 1 2 上一页 下一页 ∵OP＝PN，∴△PON为等边三角形. ∵DO＝2，OC＝4， ∴ON＝OC＋CN＝OC＋OD＝6，∴OP＝6. 1 2 上一页 下一页 [拓展]（3）如图3，P是正方形ABCD外一点，∠CPD＝ 90°，对角线AC，BD交于点O，连接OP. 若OP＝4，求四 边形OCPD的面积. 1 2 上一页 下一页 （3）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DOC＝90°. 如图3，将△ODP绕点O顺时针旋转90°得到△OCQ， 则△ODP≌△OCQ. ∵∠CPD＝90°，∴∠ODP＋∠OCP＝180°. ∵∠ODP＝∠OCQ，∴∠OCQ＋∠OCP＝180°， ∴点P，C，Q在同一条直线上.∵∠DOP＝∠COQ， ∴∠POQ＝∠POC＋∠COQ＝∠POC＋∠DOP ＝∠COD＝90°.∵OP＝OQ＝4， ∴S△OPQ＝ PO·OQ＝ ×4×4＝8.∵S△ODP＝S△OCQ， ∴S四边形OCPD＝S△POD＋S△OCP＝S△OCP＋S△OCQ＝S△OPQ＝8. 1 2 上一页 下一页 模型归纳　 1. 全等型—90° 如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE（或OC平分∠AOB）. 结论：①△CMD≌△CNE； ②OD＋OE＝ OC； ③S四边形DOEC＝S△ODC＋S△OCE＝S△OCF＝ OC2. 1 2 上一页 下一页 2. 全等型—120° 如图，∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，CD＝CE （或OC平分∠AOB）. 结论：①△CMD≌△CNE； ②OD＋OE＝OC； ③S四边形DOEC＝S△ODC＋S△OCE＝S△OCF＝ OC2. 1 2 上一页 下一页 谢谢观看 $