专题18 动态几何中的平行四边形存在性问题&专题19 坐标系中的平行四边形存在性问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

专题18动态几何中的 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD= 12cm,BC=15cm,点P以1cm/s的速度 从点A向点D运动，到点D即停止，同时点 Q以2cm/s的速度从点C向点B运动，到 点B即停止.已知点P,Q同时出发，设运动 时间为ts. (1)用含t的代数式表示： AP= cm,DP= cm, BQ= cm,CQ= cm; (2)当t为何值时，四边形APQB是平行四 边形？ [变式1]如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,∠A=90°，AD=6,BC=9,点P从点A 出发，沿射线AD以2个单位长度每秒的速 度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB 方向以1个单位长度每秒的速度向点B运 动.当点Q到达点B时，点P,Q同时停止运 动，设点Q运动的时间为t秒.在运动的过程 中，当t的值为 时，以P,D,C,Q为 顶点的四边形为平行四边形 A→PD A-P EQ←C 变式1题图 变式2题图 28数学8年级下册BS版 平行四边形存在性问题 [变式2]如图，在平行四边形ABCD中， AB=6cm,BC=16cm,∠ABC的平分线交 AD于点F,E是BC的中点.点P以1cm/s 的速度从点A出发，沿AD向点F运动；同 时点Q以2cm/s的速度从点C出发，在CB 间往返运动，点P运动到点F时停止运动， 点Q也同时停止运动.当以P,Q,E,F为顶 点的四边形是平行四边形时，运动的时间 为 () A.2s B.5s 、14 C.2s或38 D5s或 2.已知在□ABCD中，动点P在AD边上，以 0.5cm/s的速度从点A向点D运动. (1)如图1，在运动过程中，若CP平分 ∠BCD,且满足CD=CP,求∠B的度数. (2)如图2，另一动点Q在边BC上，以2cm/s 的速度从点C出发，在BC间往返运动，P, Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运 动（同时点Q也停止运动）.若AD=6cm,当 运动时间（大于0）为多少秒时，以P,D,Q, B为顶点的四边形是平行四边形？ B4+Q 图1 图2 专题19 坐标系中的平行四边形存在性问题 类型1三定顶点，一动顶点 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点O,B,D 、方法指导 一、求作平行四边形的方法 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3).若以O, 1.三定顶点，一动顶，点 B,D,C为顶点的四边形是平行四边形，则 如图，已知三定点A,B,C,连接AB,AC,BC,构 点C的坐标为 成一个三角形，分别过这三个定点作其对边的平 行线，这三条平行线的交点即为所求的动点 B 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线11交 x轴于点A(-3,0),直线l2:y=-2x+6交 2.两定顶点，两动顶，点 x轴于点B,两直线交于点C(-1,a). 如图，已知两定点A,B,连接AB,分两种情况 (1)求点C的坐标. 讨论： (2)在y轴的右侧是否存在一点P,使以A, ①若AB为平行四边形的边，如图1，平移AB,确 B,C,P为顶点的四边形是平行四边形？若 定另外两动，点的位置； ②若AB为平行四边形的对角线，如图2，取AB 存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 的中点，作过中点的直线，确定另外两动点的 理由. 位置. 9 B 图1 图2 二、求点的坐标的方法 1.线段中点坐标公式 在平面直角坐标系中，已知，点A(x1,y1),B(x2, 为)，则线段AB中点的坐标为( 2 y+y2 2 2.平行四边形顶，点坐标公式 在平面直角坐标系中，已知☐ABCD的顶，点坐标 分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc), D(xD,yD),则xA+xc=xB十xD,yA十yc= yB十yD,即平行四边形对角线两端点的横坐标之 和、纵坐标之和分别相等 第六章平行四边形 29 类型2两定顶点，两动顶点 3.(2025·西安交大附中月考)如图，已知直线l1: 2 y 广3x十？与直线12：y=一2x十16相交于 点C,并分别与x轴相交于点A,B. (1)求△ABC的面积； (2)设点M在x轴上，点N在y轴上，当以 A,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形 时，求点M的坐标。 B 备用图 30数学8年级下册BS版 4.如图，一次函数y=x+2的图象分别交x 轴、y轴于A,B两点，过点B的另一条直线 交工轴正半轴于点C,且OC=0B。 (1)求直线BC对应的函数表达式 (2)E为直线BC上一动点，在y轴上是否存 在点D,使点A,B,D,E构成以AB为边的 平行四边形？若存在，请求出点D的坐标； 若不存在，请说明理由9.化简结果为x十2，x=1,值为310.一2 1化简结果为，千6值为号12，-号 b 专题16由分式方程解的 情况确定字母的值或取值范围 1D2.C3.±14.A5.166.D7.C 1-a-=1, 85或号【解折】“2z十3号 方程两边都乘(2x十3)(x一5)，得x-5一(a-x)(2x十 3)=(2x+3)(x-5). 整理，得(11-2a)x=3a-10. 11 当11-2a=0,即a=2时，整式方程无解，分式方程也无解) 3a-10=5或z=1-2a 3a-103 当x=11-2a 一2时，分式方程无解。 3a-10 当x=11-2a =5时，a=5, 3a-10 8时a不存在， 3 当x= 11-2a 当a=5或a二=2时，分式方程无解 .11 故答案为5或2： 第六章平行四边形 专题17平行四边形性质与判定的综合 1.A2.43.334.60°5.36°6.5 7.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,即AB∥DE,∴.∠ADB=∠DBC ,∠EAD=∠DBC,.∠EAD=∠ADB,.AE∥BD. 又，AB∥DE,.四边形ABDE为平行四边形. (2)104 8.解：(1)当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形， 理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF .BE=DF,∴.△ABE≌△CDF(SAS),.AE=CF 同理，AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形. (2)当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边形. 理由略 9.解：(1)证明：连接BD,交AC于 点O. ,·四边形ABCD为平行四边形， ∴.OB=OD,OA=OC. AE=CF,∴.OA-AE=OC-CF,∴.OE=OF, .四边形BFDE是平行四边形. (2)35° 10.解：(1)证明：.AB=AC,AD⊥BC,.BD=CD. .CE=BD,..CD=CE. EF∥AD,∴.∠DAC=∠EFC. 又，∠DCA=∠ECF,∴.△ACD≌△FCE(AAS), AD=EF,.四边形ADFE是平行四边形. (2)4√6 ·答 专题18动态儿何中的平行四边形 存在性问题 1.(1)t(12-t)(15-2t)2t (2)当t的值为5时，四边形APQB是平行四边形 【变式1】2或6 【变式2】C【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠AFB=∠CBF. ,BF是∠ABC的平分线， .∠ABF=∠CBF=∠AFB, ∴.AF=AB=6cm E是BC的中点，∴CE2BC=8cm, ∴.点P运动到点F的时间为6÷1=6(s),点Q运动到，点E 的时间为8÷2=4(s). 当以P,Q,E,F为顶，点的四边形是平行四边形时， PF=QE. 设运动的时间为ts, 当0≤t<4时，AP=tcm,CQ=2tcm,则PF=(6-t)cm, QE=(8-2t)cm, ∴.6一t=8一2t,解得t=2; 当4≤t<6时，AP=tcm,CQ=2tcm,则PF=(6一t)cm, QE=(2t-8)cm, 14 6-t=2t-8,解得1=3 综上所述，当以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形 14 时，运动的时间为2s或了s故选C 2.(1)60 (2)当运动时间为4.8s或8s或9.6s时，以P,D,Q,B为 顶点的四边形是平行四边形 专题19坐标系中的平行四边形存在性问题 1.(3,-3)或(-3,3)或(7,3) 2.(1)(-1,8) (2)存在.点P的坐标为(1，一8)或(5,8) 3.(1)36(2)点M的坐标为(-9,0)或(9,0)或(1,0) 4.(1)y=-2x+2 (2)存在.点D的坐标为(0,8)或(0，一4) 专题20“中位线”模型 1.B2.13.14.B5.D6.37.C【变式1】7.5 【变式2】2√4红【变式3】33-38.B 9.610.c 11.证明：如图，连接BD,取BD的中点H,连接EH,FH. ,E,H分别是AD,BD的中点， EH∥AB,EH=合AB, ∴.∠BME=∠HEF. F,H分别是BC,BD的中点， ∴FH/CD,FH=2CD ∴.∠CNE=∠HFE. ,AB=CD,∴.EH=FH,∴.∠HEF=∠HFE, ∴.∠BME=∠CNE. 324·