6.3 三角形的中位线（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3三角形 A知识分点练 夯基础 知识点1三角形的中位线定理 1.如图，D,E分别是△ABC的边BA,BC的中 点，AC=3,则DE的长为 A.2 C.3 D.2 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，D,E分别是 直角边AC,BC的中点，连接DE,则∠CED的 度数是 ( ) A.70° B.60° C.30° D.20 3.(教材P174习题T1变式)如图，在△ABC中，D, E,F分别是边BC,AC,AB的中点.若AB= 6,BC=8,则四边形BDEF的周长是() A.28 B.14C.10 D.7 [变式](2025·资阳)若三角形的周长为 48cm,则它的三条中位线组成的三角形的周 长是 ( ) A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm 4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角 线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的 中点.求证：∠PMN=∠PNM. 104数学8年级下册BS版 的中位线 5.(教材P174习题T3变式)如图，O是△ABC内部 的一点，连接OB,OC,并将边AB,OB,OC, AC的中点D,E,F,G顺次连接构成四边形 DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形 知识点2三角形中位线定理的应用 6.(2025·铁岭昌图期未)如图，把两根钢条OA,OB 的一个端点连在一起，C,D分别是OA,OB的 中点.若CD=4cm,则该工件内槽AB的长为 cm B 第6题图 第7题图 7.如图，校园内有一块等边三角形的空地ABC, 已知M,N分别是边AB,AC的中点，量得 MN=4米.若把四边形BCNM用围栏围成一 个花园，则需要围栏的长是 米 B能力综合练 练思维、 8.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分 ∠BAC,BD⊥AD于点D,BD的延长线交AC 于点N.若AB=10,AC=16,则MD的长 为 () A.3 B.4 C.6 D.7.5 9.如图，△ABC的面积是16，D,E,F,G分别 是BC,AD,BE,CE的中点，则△AFG的面 积是 ( A.6 B.7 C.8 D.9 第9题图 第10题图 10.(2025·盘锦双台子区期末)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6,BC=8,N是边BC上 的一点，M为边AB上的动点，D,E分别为边 CN,MN的中点，则DE的最小值是 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°， BC=6,将△ABC沿中位线DE剪开后，把得 到的两部分拼成一个平行四边形，所得到的 较大的平行四边形的周长是 -309 0 C拓展探究练 提素养 12.(2025·沈阳康平期末)如图，在△ABC中，D,E 分别是BC,AC的中点，延长BA至点F,使 得AF=AB,连接DE,AD,EF,DF, (1)求证：AD∥EF; (2)若AB=6,AC=8,BC=10,求DF的长. 13.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫作 三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于第 三边，且等于第三边的一半”.类似地，我们把 连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E,F分别 是AB,CD的中点，那么EF就是梯形ABCD 的中位线.通过观察、测量，猜想EF和AD, BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的 结论. 5 第六章平行四边形1052平行四边形的判定 第1课时利用边判定平行四边形 1.58 2.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.证明：，AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90° .在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=CB,BD=DB, ∴.Rt△ABD≌Rt△CDB,∴.AB=CD. 又：AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 4.c5.B6.3 7.证明：，AB∥CD,.∠ABE=∠DCF. (∠ABE=∠DCF, 在△ABE和△DCF中，∠AEB=∠DFC, AE-DF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS),.AB=CD AB∥CD,∴.四边形ABDC是平行四边形. 8.D9.(6,4)或(-6,4)或(0，-4) 10.解：(1)证明：，BE=CF, ∴.BE+EC=EC十CF,即BC=EF. .AB∥DE,AC∥DF,.∠B=∠DEF,∠ACE=∠F, ∴.△ABC≌△DEF(ASA),∴.AB=DE AB∥DE,∴.四边形ABED是平行四边形 (2)EC=7 11解：(1)没有出发时，这两根橡皮筋互相平分.理由如下： 如图1.四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD,即EF与MN互相平分 A(E) D(0 B图1 B 图2 (2)若同时出发，这两根橡皮筋还存在(1)中的关系.理由如下： 如图2，连接EN,NF,FM,ME. 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C,AD=BC. 由题意，得AE=CF,DM=BN, ∴.AD-DM=BC-BN,即AM=CN, .△AEM≌△CFN,∴.EM=FN. 同理可得，EN=FM, 四边形ENFM是平行四边形，∴EF与MN互相平分。 第2课时利用对角线判定平行四边形 1.B2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.53 4.证明：，'∠ABD=∠CDB,∠AOB=∠COD,AO=CO. .△ABO≌△CDO,∴.BO=DO. 又，'AO=CO,.四边形ABCD是平行四边形 5.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO,BO=DO. E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点， B0=号A0.G0=2c0.F0=20,H0=号D0. ∴.EO=GO,FO=HO. ∴.四边形EFGH是平行四边形. 6.D7.A8.120 ·答 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO. O为AC的中点，.OA=OC ∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF. 证法1：，△AOE≌△COF,.OE=OF 又，OA=OC,.四边形AFCE是平行四边形. 证法2：，△AOE≌△COF,.AE=CF. 又，AE∥CF,四边形AFCE是平行四边形. (2)AC平分∠BAE,∴∠BAC=∠EAC. AD∥BC,∠EAC=∠ACB, .∠BAC=∠ACB,∴.BC=AB=6. ,四边形AFCE是平行四边形，∴.CF=AE=8, .BF=CF-BC=8-6=2. 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OB=OD,OA=OC. .BE=DF,..OB-BE=OD-DF,OE=OF 又OA=OC,∴.四边形AECF是平行四边形. (2)成立.理由略 (3)证明：AE∥CF,∴∠AEO=∠CFO. .∠AOE=∠COF,OA=OC, .△AOE≌△COF,∴.OE=OF. 又：OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形. 第3课时平行线之间的距离及平行 四边形判定方法的选择 1.D2.c3.B4.65.2cm或10cm 6.B7.∠F=∠CDE(答案不唯一) 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， '.AB=CD,∠BCD=∠BAD,.∠HCG=∠EAF :DH=BF,∴DH+CD=BF+AB,即CH=AF 又'CG=AE,∴.△HCG≌△FAE,∴.EF=GH 同理可得，EH=GF.∴.四边形EFGH是平行四边形. 9.C10.A11.①③ 12解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=CB,AD∥CB,∴.∠ADE=∠CBF. :AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AED=∠CFB=90°， .△ADE≌△CBF,.AE=CF. 又AE∥CF,.四边形AFCE是平行四边形. (2)63 5 13.解：(1)证明：E是BD的中点，∴BE=DE. :AD∥BC,∠ADE=∠CBE. :∠AED=∠CEB,∴△ADE≌△CBE,.AE=CE. (2)证明：，'AE=CE,BE=DE, ∴.四边形ABCD是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD. .DF=CD,.DF=AB. 又DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形. (3)24 3三角形的中位线 1.D2.B3.B【变式】B 4.证明：：P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的 中点，.PM,PN分别是△BCD和△ABD的中位线， 案15· .PM-BC.PN-T AD. AD=BC,∴.PM=PN,.∠PMN=∠PNM. 5.证明：D,G分别是AB,AC的中点， DG是△ABC的中位线DG/BC,DG=2BC. E,F分别是OB,OC的中点， EF是△OBC的中位线， ∴EF/BC,EF=2BC,DG=EF,DG∥EP, .四边形DEFG是平行四边形 6.87208A9.A10号 11.24 12.解：(1)证明：D,E分别是BC,AC的中点， DE是△ABC的中位线，DE/AB,DE=号AB, :AP=2AB,∴DE=A. 又，DE∥AF,∴.四边形ADEF为平行四边形， ∴.AD∥EF. (2)213 1 13.EF∥AD∥BC,EF=2(AD+BC.证明略 章末复习 1.C2.C3.AD=DE(答案不唯一)4.129°5.26.8 7解：平行四边形AEFD如图所示。 8解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴∠AFE=∠BCE. E为线段AB的中点，.AE=BE ∠AEF=∠BEC, 在△AEF和△BEC中，∠AFE=∠BCE, AE-BE, ∴.△AEF≌△BEC(AAS),.EF=EC, ∴.四边形ACBF是平行四边形，∴.BF∥AC. (2)√13 9.(1)6-t2t8-2t(0<t<4)或2t-8(4<t<6) (82或号 10.C11.C12.A13.30°14.3 15.解：(1)证明：如图，连接EF,AE E,F分别为BC,AC的中点， ∴EF∥AB,EF=号AB. 又AD=2AB,EF=AD, 又EF∥AD,.四边形AEFD是平行四边形， ∴.AF与DE互相平分，.AP=FP. (2)5 16.√/13 17解：(1)E,F分别是BC,AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，EF∥AB且EF=号AB, 1 AB=2AD,即AD=2AB,AD∥EF,AD=EF, .四边形AEFD是平行四边形， AF与DE互相平分. (2)√2I 中考新趋势 解：(1)2 (2)BE=2AP.理由如下： 如图，过点B作BH∥AE,交DE于点 H,连接PH,CH,AH BH∥AE,∠BAC=60°， ∴.∠DBH=∠BAC=60° .AB=CE,AC=BD, ∴.AB+BD=CE+AC,即AD=AE △ADE是等边三角形，∠D=60°，DE=DA, ∴△DBH是等边三角形，∴BH=BD=DH,BH=AC. ,BH∥AC,.四边形ABHC是平行四边形， .AH,BC互相平分. ,P为BC的中点，A,P,H三点共线，∴AH=2AP AD-ED, 在△ADH和△EDB中，∠ADH=∠EDB, DH=DB, ,.△ADH≌△EDB(SAS), .BE=AH,.'.BE=2AP. 同步检测卷 周周清小卷(1.1~1.2) 1.A2.C3.C4.C5.A6.C7.B8.C9.40 10.②11.612.1800°13.(6,14)或(14,8) 14.证明：假设∠DAB是钝角或直角. ,AB=AC,AD是底边BC上的高，∠BAC=2∠DAB. :∠DAB是钝角或直角， 2∠DAB≥180°，不符合三角形的内角和定理， .假设不成立，∠DAB是锐角 15.证明：如图，延长AE,交BC 于点F.:BD为∠ABC的平分 线，AE⊥BD, .∠ABE=∠FBE,∠AEB ∠FEB=90°. ∠ABE=∠FBE, 在△ABE和△FBE中，〈BE=BE, ∠AEB=∠FEB, ∴.△ABE≌△FBE(ASA), BF=AB=5,AE=EF=3,∠BAE=∠BFE,∴AF=6. .BC=11,.CF=6,.AF=CF,.∠CAF=∠C, ∴.∠AFB=∠FAC+∠C=2∠C,∴.∠BAE=2∠C 16.解：(1)AB=(2+1)BD 答案16·