6.1 第2课时平行四边形对角线的性质与梯形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第2课时 平行四边形对 A知识分点练 夯基础 知识点1平行四边形对角线的性质 1.(2024·西安高新一中月考)如图，在□ABCD中， 下列结论一定正确的是 ( A.AB=AD B.AO=BO C.AD=CD D.AO=CO B 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC= 10cm,BD=6cm,则AD的长为 ( A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm 3.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 若AC=6,BD=8,则AB的长可能是() A.10 B.8 C.7 D.6 第3题图 第4题图 4.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O.若 AD=6,AC+BD=18,则△BOC的周长为 5.(教材P156例2变式)如图，O为□ABCD的对角 线AC的中点，过点O的直线与AD,BC分别 相交于点E,F.求证：DE=BF. D 96数学8年级下册BS版 角线的性质与梯形的性质 知识点2梯形的性质 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.若∠A= 100°，则∠B的度数为 () B A.80° B.85 C.90° D.100° [变式]在第6题中，若AB=CD,则∠C的度 数为 7.下列图形中，一定是轴对称图形的有( ①平行四边形 ②等腰三角形 ③等腰梯形 ④直角梯形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,DE∥ AB.若梯形ABCD的周长为26，BE=4,则 △DEC的周长为 B 9.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB= CD.已知∠B=60°，AD=8,BC=18.求： (1)梯形ABCD的腰AB的长； (2)梯形ABCD的面积. B能力综合练 练思维 10.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若△ABE 的周长为6，则□ABCD的周长为 () A.8 B.10 C.12 D.14 第10题图 变式题图 [变式]如图，在平行四边形ABCD中， AC=6,E是AD上一点，△DCE的周长是平 行四边形ABCD周长的一半，且EC=4,连接 EO,则EO的长为 11.【分类讨论思想】若等腰梯形的三边长分别为 3,5,11,则这个等腰梯形的周长为 12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,对角 线AC⊥BD于点O,AE⊥BC,DF⊥BC,垂 足分别为E,F.若AD=4,BC=8,则AE= B E 13.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,AE⊥BD,CF⊥BD. (1)求证：△AEO≌△CFO; (2)若∠BAC=90°，AB=√3，BD=4√2，求 □ABCD的面积. C拓展探究练 提素养 14.(教材P158习题T7变式)生物老师将一块平行四 边形的试验田分给甲、乙两个小组进行花卉 栽培竞赛如图1，点O为试验田中的灌溉井， 生物老师决定把相对的两块三角形试验田 (△AOB,△COD)分给甲组，剩下的部分分给 乙组，两组共用灌溉井.方案公布后，两个小组 的同学议论纷纷，有的说这样不公平.刚刚学 习过平行四边形性质的你认为这种方案公平 吗？请说明理由.如图2，你能否找到一个简捷 的方法，将这块试验田分成两块，使两个小组 分得的试验田的面积一样大，而且能共用灌 溉井？ 图1 图2 第六章平行四边形97(2)该游客最多购买11个A种挂件 10.(1)一等奖的奖品的单价为60元，二等奖的奖品的单价 为45元 (2)共有三种购买方案： 方案一：购买4件一等奖的奖品、23件二等奖的奖品； 方案二：购买7件一等奖的奖品、19件二等奖的奖品； 方案三：购买10件一等奖的奖品、15件二等奖的奖品 章末复习 1.B2.B3.D4D5.-6.A7A 8.(1)x十2(2)6+2x 9解：原式2红÷（任5）6：9 _2(x-3),x 2 x ·(x-3)2=x-3 x≠0且x≠3，.x可取-1,1,2. 2 百x=1时，原式=13三一2（答案不唯一）习 10.C11.C12.213.x=-314.A 15.(1)A种型号帐篷的单价为600元，B种型号帐篷的单 价为1000元 (2)当购买A种型号帐篷15顶，B种型号帐篷5顶时，总 费用最低，最低总费用为14000元 【易错易混专练】1.D2.D3.C 4化简结果为一x取2，值为}5无解 6.解：我认为小丁和小迪的解法都不正确，正确的解答过程 如下： 方程两边都乘x一2，得x十x一3=x一2. 解得x=1. 经检验，x=1是原分式方程的根. 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边和角的性质 1.C2.C3.10cm24.B【变式1】60°【变式2】110 5.B6.D7.35°【变式】2 8.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠A=∠C. .DE⊥AB,BF⊥CD,∴.∠DEA=∠BFC=90°. (∠DEA=∠BFC, 在△DEA和△BFC中，∠A=∠C, AD=CB, ∴.△DEA≌△BFC(AAS),∴.AE=CF. 9.B10.B11.10 12.解：AE=CF且AE∥CF.理由如下： 解法1：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,∴.∠ABE=∠CDF. (AB=CD. 在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF, BE=DF, '.△ABE≌△CDF(SAS), ∴.AE=CF,∠AEB=∠CFD, ·答乳 .180°-∠AEB=180°-∠CFD, 即∠AED=∠CFB,.AE∥CF, .AE=CF且AE∥CF. 解法2：，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC,·∠ADE=∠CBF. ,BE=DF,∴，BE十EF=DF+EF,即BF=DE .△ADE≌△CBF(SAS), ∴AE=CF,∠AED=∠CFB,∴AE∥CF, .AE=CF且AE∥CF. 13解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,.∠ABC+∠BCD=180. :BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, ÷∠EBC=∠ABC,∠FCB=号∠BCD. ∠EBC+∠FPCB=Z(∠ABC+∠BCD)=90. ∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠FCB)=90°， .BE⊥CF (2)OE=3 14.A 第2课时平行四边形对角线的性质 与梯形的性质 1.D2.A3.D4.15 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC. :O为对角线AC的中点，.AO=CO, .△AOE≌△COF,∴.AE=CF, ..AD-AE=BC-CF,..DE=BF. 6.A【变式】80°7.B8.18 9.(1)AB=10(2)S带形ABCD=65V3 10.C【变式】√711.24或3012.6 13.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC. ,AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEO=∠CFO=90° :∠AOE=∠COF,∴.△AEO≌△CFO. (2)2√15 14.解：公平，理由如下： 如图1，过点O作GH⊥AD,交AD于点H,交BC于点G 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC. GH⊥ADGH1BC,SAae+SAa=合AD· OH+号BC.0G=号AD.GH=2SAc, .△OAD和△OBC的面积之和等于□ABCD面积的一 半，故这种方案公平 G 图1 图2 如图2，作出口ABCD的两条对角线，过对角线的交点和，点 O的直线能将平行四边形平分. 14· 2平行四边形的判定 第1课时利用边判定平行四边形 1.58 2.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.证明：，AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90° .在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=CB,BD=DB, ∴.Rt△ABD≌Rt△CDB,∴.AB=CD. 又：AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 4.c5.B6.3 7.证明：，AB∥CD,.∠ABE=∠DCF. (∠ABE=∠DCF, 在△ABE和△DCF中，∠AEB=∠DFC, AE-DF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS),.AB=CD AB∥CD,∴.四边形ABDC是平行四边形. 8.D9.(6,4)或(-6,4)或(0，-4) 10.解：(1)证明：，BE=CF, ∴.BE+EC=EC十CF,即BC=EF. .AB∥DE,AC∥DF,.∠B=∠DEF,∠ACE=∠F, ∴.△ABC≌△DEF(ASA),∴.AB=DE AB∥DE,∴.四边形ABED是平行四边形 (2)EC=7 11解：(1)没有出发时，这两根橡皮筋互相平分.理由如下： 如图1.四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD,即EF与MN互相平分 A(E) D(0 B图1 B 图2 (2)若同时出发，这两根橡皮筋还存在(1)中的关系.理由如下： 如图2，连接EN,NF,FM,ME. 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C,AD=BC. 由题意，得AE=CF,DM=BN, ∴.AD-DM=BC-BN,即AM=CN, .△AEM≌△CFN,∴.EM=FN. 同理可得，EN=FM, 四边形ENFM是平行四边形，∴EF与MN互相平分。 第2课时利用对角线判定平行四边形 1.B2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.53 4.证明：，'∠ABD=∠CDB,∠AOB=∠COD,AO=CO. .△ABO≌△CDO,∴.BO=DO. 又，'AO=CO,.四边形ABCD是平行四边形 5.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO,BO=DO. E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点， B0=号A0.G0=2c0.F0=20,H0=号D0. ∴.EO=GO,FO=HO. ∴.四边形EFGH是平行四边形. 6.D7.A8.120 ·答 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO. O为AC的中点，.OA=OC ∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF. 证法1：，△AOE≌△COF,.OE=OF 又，OA=OC,.四边形AFCE是平行四边形. 证法2：，△AOE≌△COF,.AE=CF. 又，AE∥CF,四边形AFCE是平行四边形. (2)AC平分∠BAE,∴∠BAC=∠EAC. AD∥BC,∠EAC=∠ACB, .∠BAC=∠ACB,∴.BC=AB=6. ,四边形AFCE是平行四边形，∴.CF=AE=8, .BF=CF-BC=8-6=2. 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OB=OD,OA=OC. .BE=DF,..OB-BE=OD-DF,OE=OF 又OA=OC,∴.四边形AECF是平行四边形. (2)成立.理由略 (3)证明：AE∥CF,∴∠AEO=∠CFO. .∠AOE=∠COF,OA=OC, .△AOE≌△COF,∴.OE=OF. 又：OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形. 第3课时平行线之间的距离及平行 四边形判定方法的选择 1.D2.c3.B4.65.2cm或10cm 6.B7.∠F=∠CDE(答案不唯一) 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， '.AB=CD,∠BCD=∠BAD,.∠HCG=∠EAF :DH=BF,∴DH+CD=BF+AB,即CH=AF 又'CG=AE,∴.△HCG≌△FAE,∴.EF=GH 同理可得，EH=GF.∴.四边形EFGH是平行四边形. 9.C10.A11.①③ 12解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=CB,AD∥CB,∴.∠ADE=∠CBF. :AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AED=∠CFB=90°， .△ADE≌△CBF,.AE=CF. 又AE∥CF,.四边形AFCE是平行四边形. (2)63 5 13.解：(1)证明：E是BD的中点，∴BE=DE. :AD∥BC,∠ADE=∠CBE. :∠AED=∠CEB,∴△ADE≌△CBE,.AE=CE. (2)证明：，'AE=CE,BE=DE, ∴.四边形ABCD是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD. .DF=CD,.DF=AB. 又DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形. (3)24 3三角形的中位线 1.D2.B3.B【变式】B 4.证明：：P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的 中点，.PM,PN分别是△BCD和△ABD的中位线， 案15·