4.1 因式分解&4.2 提公因式法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第四章因式分解 1因 A知识分点练 夯基础。 知识点1因式分解的概念 1.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分 解的是 ( A.6a2b2=3ab·2ab B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2-4x+4=(x-2)2 D.x2-x-4=x(x-1)-4 知识点2因式分解与整式乘法的关系及其简单 应用 2.对于式子①x-3xy=x(1-3y),②(x十3)· (x一1)=x2十2x一3，从左到右的变形表述正 确的是 A.都是因式分解 B都是整式乘法 C.①是因式分解，②是整式乘法 D.①是整式乘法，②是因式分解 3.利用因式分解简便计算69×99十32×99一99， 下列选项正确的是 ( A.99×(69+32)=99×101=9999 B.99×(69+32-1)=99×100=9900 C.99×(69+32+1)=99×102=10098 D.99×(69+32-99)=99×2=198 4.(2x-3)(x+2)是多项式 因式分解 后的结果。 [变式](1)把x2+3x+c因式分解为(x+1)· (x+2),则c的值为 (2)若二次三项式2x2一bx一3可因式分解为 (2x十1)(x-c),则b= ,C= 5.(教材P113习题T3变式)由一个 A 边长为a的小正方形与两个a 长、宽分别为a,b的小长方形 b bC 拼接成的一个大长方形 ABCD如图所示，利用该图形写出一个多项式 的因式分解： 式分解 B 能力综合练 练思维 6.下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解 且分解正确的是 () A.(x+2y)(x-2y)=x2-4y2 B.x2+y2=(x+y)2 C.x2-2xy+y2=(x-y)2 Dx2+4=x(c+) 7.(教材P123复习题T3变式)利用因式分解说明 25-512能被12整除. 8.【新考法·阅读理解】已知二次三项式2x2十 x十a有一个因式是x十2，求另一个因式以及 a的值. 解：设另一个因式是2x十b. 根据题意，得2x2十x+a=(x+2)(2x十b). 展开，得2x2+x十a=2x2十(b+4)x十2b, b+4=1, b=-3, 所以 解得 2b=a, a=-6, 所以另一个因式是2x一3，a的值是一6. 请你仿照上述做法解答下面的问题： 已知二次三项式3x2+10x十m有一个因式是 x+4,求另一个因式以及m的值. 第四章因式分解65 2提公因式法 第1课时公因式为单项式的因式分解 A 知识分点练 夯基础■ B能力综合练 练思维 知识点1公因式的概念 7.(2024·丹东凤城期末)计算（一2）100十（一2）9的结 1.多项式xy一x的公因式是 果为 () A.x B.x-1 C.y D.xy A.-29 B.29 C.-2 D.2 2.(1)多项式2a2+4ab中各项的公因式是 8.如图，长、宽分别为a,b的长方形的周长为10， 面积为8，则a2b十ab2的值为 (2)多项式πrh十πr3中各项的公因式 ( ) 是 A.40 B.60 (3)多项式一3x2十9xy一6x中各项的公因式 C.80 D.100 是 9【新情境·跨学科】如图，把三个电阻串联起来， 知识点2提公因式（单项式)法因式分解 线路AB上的电流为I(A),电压为U(V),则 3.把多项式a2+2a因式分解得 U=IR1+IR2+IR.当R1=19.22,R2= A.a(a+2) B.a(a-2) 35.42,R3=45.42,I=2.2A时，U=V. C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2) 4aa口人4 4.将多项式ab一2ab2提公因式后，另一个因式 R R 为 () 10.把下列各式因式分解： A.a-2b B.-a+26 (1)4xy+10xy2+2y3; C.2a-b D.-2a+b 5.因式分解： (1)2a2-6a= (2)x2y+2xy= (3)-p3十p2q= (2)-a2b*c+2ab2c3-ab2c. 6.把下列各式因式分解： (1)3x2y-6xy; C拓展探究练 提素养 11.【代数推理】(1)填空： (2)-4m+16m2-12m3. ①33-4×32+5×3= ②34-4×33+5×32= ③35-4×34+5×33= (2)猜想下列各题的结果，并验证第②个等式， ①32025-4X32024十5X32023= ②3m+2-4×3m+1+5X3"= 66数学8年级下册BS版 第2课时公因式 A知识分点练 夯基础一 知识点1提公因式（多项式)法因式分解 1.把5(a一b)一m(a一b)提公因式后，其中一个 因式是a一b,则另一个因式是 () A.5+m B.5-m C.m-5 D.-m-5 2.将3a(x一y)-9b(x-y)用提公因式法因式分 解，则应提的公因式是 A.3a-b B.x-y C.3(x-y) D.3a+6 3.因式分解： (1)(m-2)2-(m-2)= (2)a(a-b)+ab(a-b)= (3)2a(y-z)-3b(之-y)= 4.把下列各式因式分解： (1)m2(a-3)+m(3-a); (2)(a-b)2+b(b-a); (3)(x-a)3-(a-x)2. 知识点2提公因式法因式分解的应用 5.先因式分解，再求值：(a+b)(a一b)一(a- 1 b)2,其中Q=1,b=一2 为多项式的因式分解 B能力综合练 练思维 6.将多项式(a一1)2一a十1因式分解，结果正确 的是 ( ) A.a-1 B.(a-1)(a-2) C.(a-1)2 D.(a+1)(a-1) 7.已知a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足 ab-b2=ac一bc,则△ABC是 三 角形. 8.先因式分解，再求值：已知2m一n=3,4m十 3n=1,求5n(2m-n)2-2(n-2m)3的值. C拓展探究练 提素养、 9【新考法·阅读理解】阅读下面因式分解的过 程，并回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1十x)3. (1)上述因式分解的方法是 共用了 次； (2)多项式1十x十x(x十1)十x(x+1)2+…十 x(x十1)2025因式分解的结果是 (3)依照上述方法因式分解：1十x+x(x十1)十 x(x十1)2十…十x(x十1)"(n为正整数)， 第四章因式分解6711.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求 B A 1 A -↓------ -- /17 (2)如图，△A2B2C2即为所求.连接AE,AA2, 8m=8x22×2x1-7×2x1-7×3x1= (3)如图，连接AA3. 由题意可得，对称中心为线段AA,的中点 A(1,5),A3(一3，一1)，.对称中心的坐标为（一1,2） 故答案为(-1,2). 12.解：(1)等边三角形 (2)AD⊥OD,理由如下： 由(1)，知△OCD为等边三角形，.∠ODC=60° 由旋转的性质，得∠ADC=∠BOC=150°， ∴.∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，.AD⊥OD. (3)2√7 中考新趋势 1.(1)(2,0)(2)①P1②-5≤t≤-1 (3)t=-4或t=-2 2.解：(1)①如图，△AB'C即为所求. ②45 (2),'将△APC绕点A按顺时针方向 C 旋转60°，得到△AP'B, .AP'=AP=3,∠P'AP=60°，P'B=PC=4,∠AP'B= ∠APC=150°， △APP'是等边三角形，Pp'=3,∠APP=60°， ∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=90°. 在Rt△BPP'中，由勾股定理，得PB=√PB十PP= √42+32=5. (3)3(4)45 第四章因式分解 1因式分解 1.C2.C3.B4.2x2+x-6【变式】(1)2(2)53 5.a2+2ab=a(a+2b)6.C 7.解：原式=(52)7-512=514-512=512×(52-1)=512× 24=512×12×2,.257-512能被12整除 8.另一个因式是3x一2，m的值是一8 2提公因式法 第1课时公因式为单项式的因式分解 1.A2.(1)2a(2)πr2(3)-3x3.A4.A 5.(1)2a(a-3)(2)xy(x+2)(3)-p2(p-q) ·答茅 6.(1)3xy(x-2)(2)-4m(1-4m+3m2) 7.B8.A9.220 10.(1)2y(2x+5xy+y2)(2)-ab2c(ab-2c2+1) 11.解：(1)①6②18③54 (2)①2×32023②2X3" 验证：3"+2-4×3+1+5×3"=3”(32-4×3十5)=2×3 第2课时公因式为多项式的因式分解 1.B2.c 3.(1)(m-2)(m-3)(2)a(a-b)(1+b) (3)(y-x)(2a+3b) 4.(1)m(a-3)(m-1)(2)(b-a)(2b-a) (3)(x-a)2(x-a-1) 5.因式分解的结果为26(a-6),值为-号6.B7.等腰 8.因式分解的结果为(2m-n)2(4m十3n),值为9 9.(1)提公因式法2(2)(1十x)22s(3)(1+x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 1.B 2.(1)(m+2)(m-2)(2)(1-3x)(1+3.x) (3(z+子)(x-）(400.5m+a6)0.5m-b) (5)(7-4x)(7+4x) 3.士4 4.(1)(2x+5y)(2x-5y)(2)(7-3xy)(7+3xy) 3(9a+6)(号a-6）412z-y10z+y 5.A 6.(1)7(m+2)(m-2)(2)4a(x+y)(x-y) (3)-2m(n+1)(n-1) 7.(1)4xy(2x+1)(2x-1) (2)(x+y)(6m+11n)(6m-11n) 8.D9.5a-6b10.1411.B12.A 13.(1)5(a+b)(a-b)(2)(x-y)(a+4)(a-4) (3)(7m-n)(m-7n) (4)-(4x2y2+1)(2xy+1)(2xy-1) i4.①ma-b=a+60(a-b)(2)-5C3),08 第2课时运用完全平方公式因式分解 1.c2.D3.(3a-1)2 4(-》(88m+ayga+y- 5.D6.2m(x-y)2 7.(1)a(2m-1)2(2)xy(x+3)2(3)-3x(2x-y)2 (4)(y+1)(y-1)(x+2) 8.C9.(1)10000(2)90000 1 10.D11.C12.2x或-2x或4x 13.解：(1)完全平方公式(2)(x-2) (3)设x2-2x=y. 原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y十1)2=(x2-2x+ 1)2=(x-1)4. 14.(1)(a-4)(a-8)(2)最小值为1(3)最小值为4 11·