专题20 一次函数背景下直角三角形存在性问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册一次函数背景下直角三角形存在性问题，通过几何法“两线一圆”和代数法勾股定理构建学习支架，从两定点动点问题切入，连接一次函数与直角三角形性质，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于融合几何直观与代数运算，例题解析具体（如求点D坐标时用代数法列方程），培养学生推理意识和运算能力。学生能掌握解题方法提升逻辑思维，教师可借助系统资源高效开展教学。

初中数学 八年级下册·（RJ版） 第二十三章　一次函数 专题20　一次函数背景下直角三角形存在性问题 ▶必备知识 方法点拨　如图，在平面直角坐标系中，已知两定点A，B， C为x轴上的一个动点，且满足△ABC为直角三角形，求所有 满足条件的点C的坐标. 上一页 下一页 几何法：两线一圆 （1）过线段的端点A，B作垂线，与x轴的交点C1，C2即为 满足条件的点C，此时∠BAC＝90°或∠ABC＝90°； （2）以线段AB的中点为圆心， AB的长为半径作圆，与x 轴的交点C3，C4即为满足条件的点C，此时∠ACB＝90°. （拓展） 上一页 下一页 代数法：勾股定理＋距离公式 设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），则AB2＝ （xA－xB）2＋（yA－yB）2，AC2＝（xA－xC）2＋（yA－ yC）2，BC2＝（xB－xC）2＋（yB－yC）2. ①若∠A＝90°，则AB2＋AC2＝BC2；②若∠B＝90°，则 AB2＋BC2＝AC2；③若∠C＝90°，则AC2＋BC2＝AB2. 上一页 下一页 【例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且 与正比例函数y＝ x的图象交于点C（m，3）. （1）求m的值及一次函数的解析式； 上一页 下一页 解：（1）将点C（m，3）代入y＝ x，得3＝ m， 解得m＝2，∴C（2，3）. ∵直线y＝kx＋b过点B（0，2），C（2，3）， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝ x＋2. 解：（1）将点C（m，3）代入y＝ x，得3＝ m， 解得m＝2，∴C（2，3）. ∵直线y＝kx＋b过点B（0，2），C（2，3）， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝ x＋2. 上一页 下一页 （2）若点D在y轴上，当△ACD是以AC为直角边的直角三角 形时，求点D的坐标. 【例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且 与正比例函数y＝ x的图象交于点C（m，3）. 上一页 下一页 解：（2）设D（0，n）.令y＝ x＋2＝0， 得x＝－4， ∴A（－4，0）， ∴AC2＝（2＋4）2＋32＝45，AD2＝n2＋42，CD2＝22＋（n－ 3）2. ①当∠CAD＝90°时，AC2＋AD2＝CD2， ∴45＋n2＋42＝22＋（n－3）2，解得n＝－8， ∴点D的坐标为（0，－8）. 解：（2）设D（0，n）.令y＝ x＋2＝0， 得x＝－4， ∴A（－4，0）， ∴AC2＝（2＋4）2＋32＝45，AD2＝n2＋42，CD2＝22＋（n－ 3）2. ①当∠CAD＝90°时，AC2＋AD2＝CD2， ∴45＋n2＋42＝22＋（n－3）2，解得n＝－8， ∴点D的坐标为（0，－8）. 上一页 下一页 ②当∠ACD＝90°时，AC2＋CD2＝AD2， ∴45＋22＋（n－3）2＝n2＋42，解得n＝7， ∴点D的坐标为（0，7）. 综上所述，点D的坐标为（0，－8）或（0，7）. ②当∠ACD＝90°时，AC2＋CD2＝AD2， ∴45＋22＋（n－3）2＝n2＋42，解得n＝7， ∴点D的坐标为（0，7）. 综上所述，点D的坐标为（0，－8）或（0，7）. 上一页 下一页 ▶学以致用 1. 如图，已知点A（－1，0）和点B（1，2），在y轴上有一 点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有 （　B　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 B 1 2 上一页 下一页 2. 如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C （1，m），与x轴交于点B. （1）求直线l2的解析式. 1 2 上一页 下一页 解：（1）∵直线l1：y＝x＋3过点C（1，m）， ∴m＝1＋3＝4，∴C（1，4）. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b. ∵直线l2过点A（3，0），C（1，4）， ∴ 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6. 解：（1）∵直线l1：y＝x＋3过点C（1，m）， ∴m＝1＋3＝4，∴C（1，4）. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b. ∵直线l2过点A（3，0），C（1，4）， ∴ 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6. 1 2 上一页 下一页 （2）在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存 在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C （1，m），与x轴交于点B. 1 2 上一页 下一页 解：（2）存在. 设点D（t，0）. ∵A（3，0），C（1，4）， ∴AC2＝（3－1）2＋（0－4）2＝20， CD2＝（1－t）2＋（4－0）2＝t2－2t＋17， AD2＝（t－3）2＝t2－6t＋9. 1 2 上一页 下一页 ①当∠ADC＝90°时，xD＝t＝xC＝1，∴D（1，0）. ②当∠ACD＝90°时，AC2＋CD2＝AD2， 即20＋t2－2t＋17＝t2－6t＋9，解得t＝－7， ∴D（－7，0）. ③当∠CAD＝90°时，不符合题意. 综上所述，满足条件的点D的坐标为（1，0）或（－7，0）. ①当∠ADC＝90°时，xD＝t＝xC＝1，∴D（1，0）. ②当∠ACD＝90°时，AC2＋CD2＝AD2， 即20＋t2－2t＋17＝t2－6t＋9，解得t＝－7， ∴D（－7，0）. ③当∠CAD＝90°时，不符合题意. 综上所述，满足条件的点D的坐标为（1，0） 或（－7，0）. 1 2 上一页 下一页 谢谢观看 $