21.3.3 第2课时正方形的判定（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第2课时 A知识分点练 夯基础、 知识点正方形的判定 1.如图，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方 形的是 ) A.AC=BD B.AB BC C.AD=BC D.AC⊥BD D 第1题图 第2题图 2.【新考法·开放题】如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,请添加一个条 件： ,使得菱形ABCD为正方形. 3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边 BC上的点F处，折痕为BE.若将纸片沿EF 剪开，则四边形ABFE是一个正方形，其数学 原理是 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF, AE⊥AF.求证：四边形AECF是正方形 54数学8年级下册RJ版 正方形的判定 5.(教材P77练习T3变式)如图，在矩形ABCD中， 点E,F分别在边AB,BC上，AF⊥DE,且 AF=DE,AF与DE相交于点G.求证：矩形 ABCD是正方形. B能力综合练 练思维 6.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理的 内容如图所示，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件， 则下列条件添加错误的是 () A D (1) 矩形 (2) C D 平行 四边形 D 正方形 (3 菱形c (4) B A.(1)处可填∠A=90 B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填AC⊥BD D.(4)处可填∠B=∠D 7.如图，E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条 边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下列 结论不一定正确的是 ) A.∠AFP=∠BPQ B.EF∥QP C.四边形EFPQ是正方形 D.四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积 的一半 8.如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥ BC于点D.小明同学灵活运用轴对称知识将图 形进行翻折变换：分别以直线AB,AC为对称 轴，画出△ABD,△ACD的轴对称图形，点D 的对称点分别为点E,F,延长EB,FC相交于 点G. 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形AEGF是正方形； (2)若AD=6,BD=2,求CD的长， C拓展探究练 提素养、 9.【新考法·过程性学习】如图，四边形ABCD是 正方形，点P在线段AC上，点E在射线BC 上，且PB=PE,连接PD,O为线段AC的 中点. [感知]如图1，当点P在线段AO上时， ①易证△ABP≌△ADP(不需要证明)，进而 得到PE与PD的数量关系是 ②过点P作PM⊥CD于点M,PN⊥BC于点 N,易证Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)， 进而得到PE与PD的位置关系是 [探究]如图2，当点P在线段OC上（点P不与 点O,C重合)时，试写出PE与PD的数量关 系和位置关系，并说明理由. D B N 图1 图2 温馨提示：学习至此，建议使用周周清小卷6(21.3) 第二十-章四边形557.BD=2/3,S题形Bcm=2√38.A9.510√3 11.(1)略(2)24 12解：[问题提出]Sm=SAm十Sm=号BD· AE+号BD·CE=2BD.(AE+CE)=合BD·AC '.BD=20 cm,AC=40 cm, 1 六S￥ABCD-=2×20×40=400(cm2). 1 [类比探究]S=S△AD十SACHD=乞BD·AE十 2BD.CE-=BDAE+CB)=号BD:AC=号× 1 40×30=600(cm2). [结论]两对角线乘积的一半 [拓展提高]如图，过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M. Sg魂形ABCD=S△ABD十SACBD= 2BD·AN+2BD·CM= 1 BD.(AN+CM)-X40X30=600(em). 第2课时菱形的判定 1.B 2.证明：解法1：，AE∥CD,CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形. :∠ACB=90°，D为AB的中点， CD-TAB-AD. ∴.四边形ADCE是菱形. 解法2：利用对角线互相垂直进行证明. 连接DE,与AC交于点O(图略)，证明DO⊥AC,也可证 明四边形ADCE是菱形. 3.164.略5.四条边相等的四边形是菱形 6.略7.A8.AB=CD 9.解：(1)证明：在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， .AD-2 BC-CD-DB,AE-DE. ,'AF∥BC,∴.∠AFE=∠DBE. ∠AFE=∠DBE, 在△AEF和△DEB中，： ∠AEF=∠DEB, AE=DE, ∴.△AEF≌△DEB(AAS),∴.AF=DB, ..AF=DC, ∴四边形ADCF是平行四边形. AD=CD,.四边形ADCF是菱形. (2)30 ·答 11 10.解：1)当t=3时，四边形ABQP是矩形 (2)四边形EQCP能为菱形. 由题意，得PE=(8-t)cm,CQ=(11-2t)cm. 在Rt△PDC中，CP2=CD2+DP2=16+t2. 若四边形EQCP为菱形，则PE=CQ=CP. 由PE=CQ,得8-t=11-2t,解得t=3. 当t=3时，PE=CQ=CP=5, .当t=3时，四边形EQCP为菱形. 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.B2.B3.B4.22.55.75°6.(-2，-1) 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AD,∠BCE=∠CDF=90. .AF=DE,..DF=CE. (BC=CD, 在△BCE和△CDF中，{∠BCE=∠CDF, CE=DF, ..△BCE≌△CDF(SAS). (2)5 8.证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°， ∴.∠DOF+∠COF=90. .∠EOF=90°，.∠COE+∠COF=90°， ∴.∠COE=∠DOF,∴.△COE≌△DOF(ASA), ∴.CE=DF 7 【变式】49.210.B 11.(1)略(2)成立.理由略 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠BAG+∠DAE=90°. DE⊥AG,∴∠AED=∠DEF=90°， .∠DAE+∠ADE=90°，.∠ADE=∠BAG. ,BF∥DE,∴.∠BFA=∠DEF=90°， ∴.∠AED=∠BFA,.△ADE≌△BAF(AAS), .'.AE=BF, ∴.AF-BF=AF-AE=EF. (2)AF十BF=EF.证明如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°. DE⊥AG,∠E=90°，.∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE BF∥DE,∴∠AFB=180°-∠E=90°， ∠E=∠AFB,∴.△ADE≌△BAF(AAS),∴AE=BF, .AF十BF=AF十AE=EF. (3)8 第2课时正方形的判定 1.D2.AC=BD(答案不唯一) 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 6· 4.证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形. AE⊥AF,∠EAF=90°， ∴四边形AECF是正方形. 5.证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，∴∠BAF+∠DAF=90° ,DE⊥AF,.∠AGD=90°， ∴.∠ADE+∠DAF=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. 又，'AF=DE,∠ABF=∠DAE=90°， .△ABF≌△DAE(AAS), ..AB=AD. 四边形ABCD是矩形， .矩形ABCD是正方形. 6.D7.D 8.解：(1)证明：根据题意，得△ABD≌△ABE,△ACD≌ △ACF, .AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC= ∠FAC,∴.AE=AF :∠BAC=45°， ∴.∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC= ∠BAC+∠BAC=90°. :AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， .四边形AEGF是矩形， 又AE=AF, .四边形AEGF是正方形 (2)3 9.[感知]①PE=PD②PE⊥PD [探究]PE=PD,PE⊥PD.理由略 探究与发现利用菱形的性质和判定 尺规作图 1.D2.A 3解：(1)如图.①以点N为圆心，适当长度为半径画孤，交 AB于C,D两点； ②分别以点C,D为圆心，CN的长为半径画孤，两孤交于 点N'; ③连接N'M,交AB于点P,点P即为所求. M D B (2)如图，分别以点A,B为圆心，AB的长为半径画孤，分 别交AD和BC于点E,F,连接BE,AF交于点O,点O即 为所求 ·答凳 (3)如图.①以，点B为圆心，BD的长为半径画孤，交BC于 点F; ②分别以点D,F为圆心，BD的长为半径画孤，两孤交于 点P(不与点B重合)： ③作射线DP,交AC于点E,点E即为所求 数学活动 1.c 2.四边形GHDF是黄金矩形.理由略 3.D 4.解：(1)裁剪方法如图1所示，此时这个大正方形的边长 为5 图1 图2 (2)栽剪方法如图2所示，最少只需剪2刀 章末复习 ①AB∥CD,AD∥BC②AD∥BC③∠BAD=90 ④AC=BD⑤AB=AD⑥AC⊥BD⑦AB=AD ⑧AC⊥BD⑨∠BAD=9O°⑩AC=BD①AD⊥BC, AB ILCD@∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC③OA= OC,OB=OD@AD⊥BC,AB⊥CD⑤∠BAD= ∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°⑥OA=OD=OC=OB ⑦AB=AD=DC=BC⑧∠BAD=∠BCD,∠ABC= ∠ADC9AC⊥BD 1.B【变式】B2.C3.45° 5 4.(1)18号(2)1<AB<7(3)70 (4)作图略①平行②矩形③正方形 5.D6.C7.c8.A9.B 10.解：(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线，∴.DE∥BC. ,DG=FC,∴，四边形DFCG是平行四边形」 又，DF⊥BC,∴.∠DFC=90°， ∴.四边形DFCG是矩形. (2)BC=8,AC=210 11解：(1)证明：AB∥CD,∴.∠ABF=∠CDE. ,AF⊥AB,CE⊥CD,.∠BAF=∠DCE=90° .BE=EF=FD. ∴.BE+EF=FD十EF,即BF=DE. (∠BAF=∠DCE 在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE, BF=DE, .∴.△ABF≌△CDE(AAS). (2)四边形AECF是菱形.理由略 7.