21.3.3 第2课时 正方形的判定（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

第2课时 A分点训练 。夯实基础 知识点正方形的判定 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O.只需添加一个条件，即可证明菱形 ABCD是正方形，这个条件可以是( A.∠ABC=90° B.AB=BC C.AC⊥BD D.AB=CD (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知□ABCD的对角线AC,BD交于 点O.添加下列条件后，仍不能判定口ABCD 是正方形的是 A.AB=AD,AC=BD B.AB=BC,AC⊥BD C.∠BAD=90°，AC⊥BD D.∠AOD=90°，AO=DO 3.新趋势动手操作（教材P76练习T1变式）如 图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在 BC边上的点F处，折痕为BE.若沿EF剪 下，则折叠部分是一个正方形，其数学原 理是 ) B A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 4.新趋势半开放性题)如图，已知☐ABCD的对 角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB. (1)如果 ,那么四边形ABCD为正 方形；（写出一个能使结论成立的条件） 正方形的判定 (2)根据题目中的条件和你添加的条件进行 证明。 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,点E,F在对角线BD上，且BE= DF,OE=OA,连接AE,AF,CE,CF.求证：四 边形AECF是正方形. B综合运用 。提升能力 6.如图，已知AC=√2cm,小红进行如下操作： 分别以点A,C为圆心，1cm的长为半径作 弧，两弧分别相交于点B,D,依次连接A,B, C,D,则四边形ABCD的形状是 ( A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 第二十一章四边形 69 7.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线 AE交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点 F,连接AC. (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)若CE=√2BE,求∠DAC的度数， 8.(西南大学附中期中)如图，在矩形ABCD中. (1)利用直尺和圆规完成以下基本作图：作 ∠ABC的平分线，交AD于点E,过点E 作EF⊥BC交BC于点F;(保留作图痕 迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，证明：四边形ABFE 是正方形.（请补全下面的证明过程，不 写依据) 证明：.EF⊥BC,∴.① .四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠ABC=90°， 70数学八年级下册人教版 .∠A=∠ABC=∠EFB=90°. .四边形ABFE为② .四边形ABCD为矩形，∴.③ .∠AEB=∠EBF. ,BE平分∠ABC,.④ ∴.∠AEB=∠ABE..⑤ ∴，四边形ABFE为正方形， C创新拓展 ⊙发展素养 9.（南川区期中)如图，已知四边形ABCD为正 方形，AB=5√，点E为对角线AC上一动 点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于 点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接 CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形 (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请说明理由.边形AECF是菱形.3.B4.C5.证明：AB=5,OA =4,OB=3,∴.OA2+OB=AB,∠AOB=90°.∴.AC⊥ BD.∴.□ABCD是菱形.6.菱四条边相等的四边形是 菱形7.证明：AB=AC,AD是边BC上的中线，AD ⊥BC.AD垂直平分BC.∴.BE=CE,BF=CF.∠BED =∠CED.·CF∥BE,∠BED=∠CFD..∠CED= ∠CFD.∴.CE=CF..BE=BF=CF=CE.∴四边形 BECF是菱形 综合运用 8.D9.B10.1611.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由 如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD是平 行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,则AE =AF.'SABCD=AE·CD=BC·AF,.CD=BC.∴.四边 形ABCD是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm.AD∥ BC,∴.∠ABF=∠BAD=30°.∴.AB=2AF=2cm.四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm..重叠部分的面积为 BC·AF=2cm. 创新拓展 12.解：(1)如图所示。 (2)①AD∥BC ②AD=CB③DE=BF④菱形 专题突破矩形、菱形与60度角 1.D2.B3.解：如图， 连接 EF交AD于M..四边形ABCD是矩形，.DE=AE= 合BD,∠BAD=90.BD=VAD+AE=4V.DE= AE=号BD=2万.：△ADF是等边三角形，“AD=DF =AF=2E.EF垂直平分AD.DM=AD=E, ∠MFD=30°..FM=√DF2-DMF=3,EM= √DE-D=5.∴.EF=FM十EM=8.垂线段最短， .当EG⊥FG时，EG有最小值，∴.此时△FGE为直角三角 形，其中∠PGE-90,”∠EFG=30,∴EG=号EF=4 4.D5.√36.(1)解：四边形ABCD是菱形，∴.AB= BC.∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴.AC=AB =2.又：E是线段AC的中点…BELAC,AE=号AC= 1,.BE=V2-下=B,∴.△ABC的面积为号AC·BE= √3.(2)证明：如图②， P作EG∥BC交AB于点 G.四边形ABCD是菱形，.AB=BC.∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴·AB=AC.:EG∥BC,易得 参考答案第} △AGE是等边三角形，∴.AG=AE=EG.AB=AC, .BG=CE.CF=AE,.CF=EG.∠AGE=60°， .∠BGE=120°.∠ACB=60°，.∠ECF=120°， ∠BGE=∠ECF.在△BGE和△ECF中， GE=CF, ∠BGE=∠ECF,∴.△BGE≌△ECF(SAS),∴.BE=EF. BG=EC, 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 分点训练 1.B2.A3.84.√2-15.15°【变式题】15°6.(2， -2)7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AD=CD, ∠A=∠BCD=∠ADC=90°.∴.∠DCF=90°=∠A.又 :∠EDF=90°，.∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即 ∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA)..DE=DF. 8.证明：：AC,BD是正方形的对角线，∴∠BAC=∠ABO= ∠DBC=45.:BE平分∠DBC,∠OBF=∠DC 22.5°..∠ABF=∠ABO+∠OBF=67.5°.∴.∠AFB= 180°-∠BAC-∠ABF=67.5°..∠ABF=∠AFB. :.AB=AF. 综合运用 9.A10.5 5 11.解：(1)如图所示 D(2)①角平 分线的定义②BA=BF③AE=EF④AB=AD 创新拓展 12.解：(1)AG=CE(2)取AG=EC,连接EG.四边形 ABCD是正方形，.AB=BC,∠B=90°.：AG=CE,.BG =BE,∴.△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG= 45°，∠AGE=135°.：四边形ABCD是正方形，.∠BCD =90°.：CF是正方形ABCD外角的平分线，∴.∠DCF= 45°，∠ECF=90°+45°=135°.：AE⊥EF,.∠AEB+ ∠FEC=90°.∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE= ∠CEF,△GAE≌△CER,AE=ER,(3)当k=号时， 四边形ECFP是平行四边形，证明如下：由(2)，得△GAE ≌△CEF,.CF=EG,设BC=x,则BE=kx,∴.CF=GE= √2kx,EC=(1-k)x.EP⊥AC,.△PEC是等腰直角三 角形∴∠PFC=5,∠PBC+∠BCF=18,PE=-号 (1一k)x..PE∥CF,当PE=CF时，四边形PECF是平行 四边形，号(1-)x=E红，解得k=子 第2课时正方形的判定 分点训练 1.A2.B3.A4.解：答案不唯一，如：(1)AB=AD (2)四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD. 0页（共55页） ∠OBC=∠OCB,OB=OC.∴.AC=BD..四边形 ABCD是矩形.AB=AD,.四边形ABCD是正方形. 5.证明：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,OA=OC, OB=OD.BE=DF,∴.OE=OF..四边形AECF是平行 四边形.又AC⊥BD,.四边形AECF是菱形.OE= OA,∴.EF=AC..四边形AECF是正方形. 综合运用 6.D7.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠FAB= ∠ABE=90°，AF∥BE.·EF⊥AD,.∠AFE=90°= ∠FAB=∠ABE.∴.四边形ABEF是矩形.，AE平分 ∠BAD,AF∥BE,∴.∠FAE=∠BAE=∠AEB.∴.AB= BE.∴四边形ABEF是正方形.(2)解：四边形ABEF是 正方形，∴易得AE=√2BE,∠FAE=45°.CE=√2BE, AE=CE.∴.∠EAC=∠ECA.:AF∥BC,∴.∠DAC= ∠ECA=∠EAC.·.∠DAC= 号∠FAE=2.5. 8.解： (1)如图所示。 D(2)①∠EFB=90°②矩形 ③AD∥BC④∠ABE=∠EBF⑤AB=AE 创新拓展 9.(1)证明：如图，具 过点E作EM⊥BC于 G BMF C H M,EN⊥CD于N,∴.∠CNE=∠FME=∠BCD=90°， ∴四边形EMCN是矩形，∴.∠MEN=90°.：点E是正方 形ABCD对角线上的点，.EM=EN.,∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF.在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME, EN=EM,.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF= ∠DEN=∠FEM, DE.四边形DEFG是矩形，∴.矩形DEFG是正方形 (2)解：CE十CG的值是定值，定值为5√6.在正方形DEFG 和正方形ABCD中，DE=DG,AD=DC.:∠CDG+ ∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°，.∠CDG=∠ADE.在 AD=CD. △ADE和△CDG中，∠ADE=∠CDG,.△ADE≌ DE-DG. ACDG(SAS),..AE=CG,..CE+CG=CE+AE=AC= √2AB=5V6,是定值. 专题特训中点四边形问题【回归教材】 【一题多问】(1)证明：连接BD.:E,H分别是AB,DA的 中点，EH是△ABD的中位线.EH=令BD,EH∥ BD,同理可得FG=之BD,FG∥BD.∴EH=FG,EH∥ FG.∴.四边形EFGH是平行四边形.(2正方形(3)10 6(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.:E,F 参考答案第 分别是AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥ AC,EF=号AC同理可得HG/AC,HG=之ACEF∥ HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.：'AB AD,BC=CD,∴AC是线段BD的垂直平分线，.AC⊥ BD.E,H分别是AB,AD的中点，.EH是△ABD的中 位线..EH∥BD.EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°.四边形EFGH是矩形.【变式题】C【拓展练】 ab 22036 专题特训与正方形有关的三种常考模型 1.A2.√53.B4.证明：(1)取AB的中点M,连接EM. :四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABE=∠BCD =90°，，E为BC中点，M为AB中点，.AM=MB=CE =BE,∴.∠BME=∠BEM=45°，∴.∠AME=180° ∠BME=180°-45°=135°.，EF交正方形外角平分线CF 于点F,∴.∠DCF=45°，.∠ECF=135°.∠B=90, ∠BAE+∠AEB=90°.∠AEF=90°，.∠AEB十 ∠FEC=90°，∴.∠BAE=∠FEC.在△AME和△ECF中 ∠MAE=∠CEF, AM=EC, .△AME≌△ECF(ASA),.AE= ∠AME=∠ECF, EF.(2)在AB上截取BM=BE,连接ME.∠B=90°， .∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=135°=∠ECF. AB=BC,BM=BE,.AM=EC.在△AME和△ECF Y∠MAE=∠CEF, 中，AM=EC,∴.△AME≌△ECF(ASA),∴.AE ∠AME=∠ECF, =EF,5.解：(1)：四边形ABCD为正方形，∴∠ADC= ∠B=90°，AB=AD..∠ADG=90°，.△ADG≌ △ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG..∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°= ∠EAF,即∠EAF=∠FAG.AF=AF,△AFG≌ △AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF十BE, 即EF=BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上 截取GD=BE.同(1)可证△AEB≌△AGD,∴.EB=DG, AE=AG,∠EAB=∠GAD.又，∠BAG+∠GAD=90°，∴ ∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90. ∴.∠EAG=∠BAD=90°.∠EAF=45°，.∠FAG= ∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°..∠EAF=∠GAF. :AF=AF,.△EAF≌△GAF(SAS).EF=FG.:FD =FG+DG,∴.DF=EF+BE. 专题特训特殊四边形中的定值、最值问题 1.A2.A【变式题】解：(1)四边形ABCD是菱形， AB=10,A0=C0,AC⊥BD,B0=号BD=&.在 Rt△ABO中，AO=√/AB-BOP=6,∴.AC=2AO=12. ∴Sm=合AC·BD=96,(2)GE+GF的值不发生变 化.理由如下：连接AG,由题意，得San=号Sm 1页（共55页）