考点05 三角形的中位线9大题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点05 三角形的中位线 考点一：三角形中位线 1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， 考点二：中点四边形 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 题型一：与三角形中位线有关的证明问题 三角形中位线证明题的易错点主要集中在概念、定理、推理和书写上： 1、 学生常混淆只要是中点连线就是中位线，忽略必须是两边中点这一前提，容易记错定理； 2、 把平行且等于第三边的一半写成相等、垂直或只写其一； 3、 证明时不先点明两个中点条件就直接使用中位线结论； 4、 在复杂图形中找错对应的三角形和边，使用逆定理时只凭中点无平行条件就错误判定另一中点； 5、 计算长度时常忘记除以 2； 6、在四边形相关证明中不连对角线构造中位线，或逻辑不完整就判定形状，导致步骤缺失或推理不严谨 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，是的中位线，是的中线．求证：． 证法1：∵是的中位线， ∴ ． ∵是的中线，， ∴ ， ∴． (1)请把证法1补充完整； (2)试用不同的方法证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）连接、，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可． 【详解】（1）解：∵是的中位线， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：连接， ∵是的中位线，是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【答案】（1）见解析；②见解析 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． （1）连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据矩形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：如图②，连接、， ，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：时，四边形为矩形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故答案为：②． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，点D、E分别为、的中点，延长到点F，使得，连接，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，三角形中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）先根据点D、E分别为、的中点，证明是的中位线，再根据中位线性质，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 题型二：利用三角形的中位线求长度 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键． 【详解】解：延长，，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型三：利用三角形的中位线求角度 【典例】（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理和直角三角形斜边中线定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理，并灵活应用． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点 ∴ ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 题型四：利用三角形的中位线求面积 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点D为的中点，点在边上，且、相交于点，若的面积为 24 ，则四边形的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造三角形全等得到是的中点． 取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得，，可证明，得到，因为的面积为 24 ，所以，，因为，根据四边形的面积，即可得出四边形的面积． 【详解】如图，取的中点，连接， ∵点是的中点，， ∴， ， ， ， ∵的面积为 24， ， ， ， ∴四边形的面积， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，理解三角形的重心的定义，等底或同底同高或等高的两个三角形的面积相等，同高或等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定义是解决问题的关键．延长到H，使，连接，，延长交于点E，则，证明四边形是平行四边形得，，进而得是的中位线，则，，根据三角形的面积公式得，由此得，进而得，则，再根据得，据此即可得出四边形CDFE的面积． 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，，延长交于点E， ∴， ∵F是的重心， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵，的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：8． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证是的中位线，得，由，，得，，即可解答； （2）过点E作于H，证是等腰三角形，得，由勾股定理求出、即可解答； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， （2）解：过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，等边的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，再利用平行四边形的判定方法得出答案； （2）过点D作于G，可求得，，求出，得到，则． 【详解】（1）证明：分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ； （2）解；如图所示，过点D作于G， ，， 四边形是平行四边形， ， 为的中点，等边三角形的边长为4， ， ， ∵为的中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 题型五：三角形中位线的实际应用 在三角形中位线的实际应用问题里，学生最容易出错的是不能从实际场景中准确抽象出三角形模型，常常误把中点连线直接当作中位线，忽略必须是两条边的中点这一关键条件，还容易找错对应的第三边，混淆中位线和第三边的数量关系，要么忘记除以 2、要么多除一次，再加上对题意理解不清、图形看错或线段对应错误，导致列式和结果都出现偏差。 【典例】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 【答案】80 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得到． 【详解】解：如图说是，连接， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】（1）10；（2），；（3）见解析；（4）的长为． 【分析】（1）根据平移的性质即可求解； （2）由拼接知：是的中位线，，据此求解即可； （3）根据（2）的方法拼接即可； （4）连接，由拼接知，根据菱形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的拼接，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 题型六：三角形中位线的最值问题 三角形中位线的最值问题，核心易错点在于：学生往往不能正确把中位线长度转化为第三边的长度，常常忽略中位线等于第三边一半这一关系，直接把中位线当成所求线段去判断最值，还容易在动点问题里找错对应的三角形和第三边，分不清谁是定值、谁是变线段，再加上忽视动点所在范围、图形位置变化等条件，导致把中位线的最值和原线段的最值搞反，要么漏写等号，要么判断错最大或最小值。 【典例】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 取的中点，连接，先整理得是的中位线，故，再结合勾股定理算出，根据求解，即可解决问题． 【详解】解：取的中点，连接， ∵点M是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵ ∴, 在中，， 当三点共线，则， 即的最小值为， 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·重庆武隆·期末）如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论 （2）先判断出，得出，同(1)的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论. 【详解】（1）解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ， ， ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，， ， 是等腰三角形， 同（1)的方法得，， ， 同(1)的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大，即：最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ， ， ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出BD最大时，△PMN的面积最大． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·月考）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 【答案】(1)矩形 (2)四边形为菱形；证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质及矩形的判定可得出答案； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴为平行四边形， 又∵是菱形， ∴，则， ∴为矩形． 故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 题型七：三角形中位线的辅助线添加问题 三角形中位线相关的辅助线添加，学生最容易出错的地方是不会在复杂图形里通过连接中点、延长中位线或构造三角形来形成中位线模型，遇到四边形问题时想不到连接对角线构造出三角形中位线，遇到只有一个中点的题目不会再取另一个中点配成中位线，也不擅长把中位线延长一倍构造全等三角形转化线段与平行关系，常常因找不到中位线、构不成基本图形而无法用定理，导致思路卡住。 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接，取中点，连接，并延长交于点，可得为的中位线，则，再由勾股定理求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，并延长交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）如图，中，，点E在的延长线上，点D在边上，M、N分别是的中点．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点F，连接、，证明、分别是、的中位线，由三角形中位线定理得出，，，证出，根据勾股定理计算，即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接、， ∵M、N、F分别是、、的中点， ∴、分别是、的中位线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的定义及性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 如图：连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长即可． 【详解】解：如图：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． (1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； (2)连，取中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)且．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． （1）根据中位线的性质得出，，，，根据得出，根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出即可得答案； （2）连接、，根据中位线的性质得出，根据平行线的性质，结合得出，根据中位线的性质求出，，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：（1）且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． （2）解：如图所示：连接、， ∵、分别是和的中点， ∴，， 由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴． 题型八：三角形中位线的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形． ①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系． (2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解； （2）由三角形的中位线定理可得，，，由②的结论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ； ②如图1，四边形是垂美四边形， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 即：； （2）解：如图，连接， 、分别是中边、的中点，， ，，， ， 四边形是垂美四边形， ， ， ． 故答案为 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形的定义并运用是解题的关键． 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【提出问题】如图2，与都是等腰直角三角形．．求证：四边形是“等垂四边形”； (2)【拓展探究】如图3，四边形是“等垂四边形”，，点M、N分别是的中点，连接．已知腰，求的长； (3)【综合运用】如图4，四边形是“等垂四边形”，，底，则较短的底长的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明得到，延长交延长线于F，交于点O，由，推出，即，即可证明四边形是“等垂四边形” （2）连接，取的中点G，连接，延长交于点H，由题意可知，则，由三角形中位线定理得到 ，进一步证明，则是等腰直角三角形，即可得到； （3）延长交于点P，分别取的中点M、N，连接，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，由（2）知，，由三角形三边的关系得到；由于，当最小时，最大，即此时最大，求出当点D与点P重合时，，则此时；即可推出． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交延长线于F，交于点O， ∵， ∴，即， ∴四边形是“等垂四边形”； （2）解：连接，取的中点G，连接，延长交于点H， ∵四边形是“等垂四边形”，， ∴， ∴， ∵点M，N，G分别是的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：延长交于点P，分别取的中点M、N，连接， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵，即， ∴，即； ∵， ∴当点D与点P重合时在中，由勾股定理得， ∴此时； ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； （2）解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 题型九：中点四边形 中点四边形的易错点主要是学生容易记混原四边形对角线与中点四边形形状的关系，常常忽略任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，只凭原四边形是否为特殊图形来判断，还会把对角线相等对应中点四边形是菱形、对角线互相垂直对应中点四边形是矩形这两个结论弄反，证明时也经常不利用三角形中位线定理严谨推导，直接凭直观下结论，造成推理不规范、结论错误。 【典例】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中点四边形的性质以及三角形中位线定理和菱形的判定，利用三角形中位线定理以及菱形的判定得出即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形． A、添加，则， ∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意； B、添加，则， ∴四边形是菱形．故选项B符合题意； C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 1．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线的性质得到，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 【点睛】注意三角形中位线平行于底边且等于底边的一半． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定条件是解题关键，注意对角线相等的四边形不一定是矩形． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵ A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； ∵ B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故错误； ∵ C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； ∵ D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确； ∴ 不正确的是B． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 、、、分别是、、、的中点， ，， 四边形的周长， 又， 四边形的周长． 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点M、N分别为边、的中点，连接、、，若，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握三角形中位线定理． 连接，利用三角形中位线定理，三角形的面积关系即可求解． 【详解】解：连接， ，点、分别为边、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ， ， ，， ． 故选：C． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．40 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明是菱形，可得是的中位线，根据勾股定理求得，根据菱形的性质求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴； ∵点分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：B． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，取的中点F，连接，若，则等于_____ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键． 由题意易得点O为的中点，，然后根据三角形的中位线可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 故答案为：4． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 【答案】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键． 连接交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，进而推出为的中位线，得到，设，利用勾股定理列方程，解得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，为对称轴，点为对应点， 连接交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ，点为的中点， 是边的中点， 为的中位线， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：4 14．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再求出 ，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，分解中位线性质得出，，，在中，过点O作于点P，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵E为中点，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，过点O作于点P，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 16．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的翻折变换，勾股定理，中位线的性质定理，解题的关键是掌握翻折的性质和矩形的性质，构造三角形中位线解决问题． 延长到，使，连接，求出，根据翻折得到可得，故当H，F，C共线时，最小，的最小值为； 由是的中位线，即可得的最小值． 【详解】解∶ 延长到，使，连接，如图∶ 四边形是矩形， ， ， 将沿翻折得到， ， 当，，共线时，最小，最小值为； 点为的中点，， 是的中位线， ， 的最小值为； 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，先由高的定义得到，从而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，结合题中，即可得到，则是等腰三角形，最后由等腰三角形三线合一性质即可得证； （2）先由等腰三角形三线合一性质得到是的中点，结合是的中点，由三角形中位线的判定与性质即可得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在中，是高，则， 是中线， 点为边的中点， 则在中，， ， ， 则是等腰三角形， 是的中点， 是底边上的中线， 则由等腰三角形三线合一性质得到； （2）解：在中，是高，若，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， 则， 是中线， 点为边的中点， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形高线定义、中线定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟记三角形相关几何性质及判定是解决问题的关键． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为F； (2)若的面积为，． ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①10，②2 (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； （3）由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）解：如图，作垂足为， （2）解：①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ∴， ； （3）解：∵ ，为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 ． 20．（25-26九年级上·河南南阳·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【答案】(1)①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；②见解析； (2) 【分析】题目主要考查矩形的判定，中位线及垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据证明过程直接写出依据即可；②根据中位线的性质及垂直平分线的性质证明即可； （2）根据题意得出，确定，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理及直接三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 21．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． (1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)直角三角形且． (2)． 【分析】本题主要考查了中位线的性质和勾股定理等性质，解决此题的关键是合理利用中位线的性质． （1）根据中位线的性质可知，，所以可得，，因为，进而可得到答案； （2）根据中位线的性质：中位线等于第三边的一半，再根据勾股定理即可得到答案； 【详解】（1）解：是直角三角形，且，理由如下： ∵是的中位线， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：∵是的中位线，， ∴， 同理得：， 由（1）可知：， ∴． ∴线段的长为． 22．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．    (1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 【答案】(1)见解析 (2)时，平行四边形是菱形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件． （1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形； （2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明: ∵分别是边的中点, 且， 同理，且， ∴且 ∴四边形是平行四边形； （2）当时，平行四边形是菱形.理由为：   分别是边的中点, ∴， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 23．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． (1)如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点E作于点F由等腰直角三角 形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点M，连接，由三形中位线定理得出，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出则可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形 ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴； ②过点E作于点F ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分，， ∴； （2） 取的中点M，连接 ∵四边形是正方形 ∴ ∵M为的中点， ∴为的中位线 ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题． 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形． (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称） ②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形； (2)已知在垂角线四边形中，，，，则 ①如图②，当时，四边形的面积是______； ②如图③，当时，求四边形的面积； 【答案】(1)①菱形；② (2)①12；② 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形和正方形的判定等知识， （1）①根据菱形的对角线相交且互相垂直即可得到答案，②先根据中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据得到四边形是矩形，最后根据正方形四条边相等即可得到答案； （2）①先证明，再证明，即可得到答案；②设和交于点O，过点C作于点H，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，最后根据勾股定理建立方程，解方程求出，即可得到答案． 【详解】（1）解，①∵菱形的对角线相交且互相垂直， ∴菱形一定是垂角线四边形， 故答案为：菱形； ②如下图所示， ∵M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， 当时，矩形是正方形， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设和交于点O，如下图所示， ∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，四边形的面积为：， 故答案为：12； ②设和交于点O，过点C作于点H，如下图所示， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 三角形的中位线 考点一：三角形中位线 1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， 考点二：中点四边形 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 题型一：与三角形中位线有关的证明问题 三角形中位线证明题的易错点主要集中在概念、定理、推理和书写上： 1、 学生常混淆只要是中点连线就是中位线，忽略必须是两边中点这一前提，容易记错定理； 2、 把平行且等于第三边的一半写成相等、垂直或只写其一； 3、 证明时不先点明两个中点条件就直接使用中位线结论； 4、 在复杂图形中找错对应的三角形和边，使用逆定理时只凭中点无平行条件就错误判定另一中点； 5、 计算长度时常忘记除以 2； 6、在四边形相关证明中不连对角线构造中位线，或逻辑不完整就判定形状，导致步骤缺失或推理不严谨 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，是的中位线，是的中线．求证：． 证法1：∵是的中位线， ∴ ． ∵是的中线，， ∴ ， ∴． (1)请把证法1补充完整； (2)试用不同的方法证明． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，点D、E分别为、的中点，延长到点F，使得，连接，求证： (1)； (2)． 题型二：利用三角形的中位线求长度 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 题型三：利用三角形的中位线求角度 【典例】（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【变式2】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 题型四：利用三角形的中位线求面积 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点D为的中点，点在边上，且、相交于点，若的面积为 24 ，则四边形的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，等边的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 题型五：三角形中位线的实际应用 在三角形中位线的实际应用问题里，学生最容易出错的是不能从实际场景中准确抽象出三角形模型，常常误把中点连线直接当作中位线，忽略必须是两条边的中点这一关键条件，还容易找错对应的第三边，混淆中位线和第三边的数量关系，要么忘记除以 2、要么多除一次，再加上对题意理解不清、图形看错或线段对应错误，导致列式和结果都出现偏差。 【典例】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式2】（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 【变式3】（2025·河北·一模）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 题型六：三角形中位线的最值问题 三角形中位线的最值问题，核心易错点在于：学生往往不能正确把中位线长度转化为第三边的长度，常常忽略中位线等于第三边一半这一关系，直接把中位线当成所求线段去判断最值，还容易在动点问题里找错对应的三角形和第三边，分不清谁是定值、谁是变线段，再加上忽视动点所在范围、图形位置变化等条件，导致把中位线的最值和原线段的最值搞反，要么漏写等号，要么判断错最大或最小值。 【典例】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为________． 【变式2】（24-25九年级上·重庆武隆·期末）如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·月考）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 题型七：三角形中位线的辅助线添加问题 三角形中位线相关的辅助线添加，学生最容易出错的地方是不会在复杂图形里通过连接中点、延长中位线或构造三角形来形成中位线模型，遇到四边形问题时想不到连接对角线构造出三角形中位线，遇到只有一个中点的题目不会再取另一个中点配成中位线，也不擅长把中位线延长一倍构造全等三角形转化线段与平行关系，常常因找不到中位线、构不成基本图形而无法用定理，导致思路卡住。 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）如图，中，，点E在的延长线上，点D在边上，M、N分别是的中点．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______．    【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． (1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； (2)连，取中点，连接，若，，求的长． 题型八：三角形中位线的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形． ①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系． (2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”，如图1，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【提出问题】如图2，与都是等腰直角三角形．．求证：四边形是“等垂四边形”； (2)【拓展探究】如图3，四边形是“等垂四边形”，，点M、N分别是的中点，连接．已知腰，求的长； (3)【综合运用】如图4，四边形是“等垂四边形”，，底，则较短的底长的取值范围为 ． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 题型九：中点四边形 中点四边形的易错点主要是学生容易记混原四边形对角线与中点四边形形状的关系，常常忽略任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，只凭原四边形是否为特殊图形来判断，还会把对角线相等对应中点四边形是菱形、对角线互相垂直对应中点四边形是矩形这两个结论弄反，证明时也经常不利用三角形中位线定理严谨推导，直接凭直观下结论，造成推理不规范、结论错误。 【典例】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   ∴是的中位线， 【变式2】（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 1．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D．1.5 5．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点M、N分别为边、的中点，连接、、，若，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．40 D．24 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是___________． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，取的中点F，连接，若，则等于_____ ． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 14．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______． 16．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为____________． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为F； (2)若的面积为，． ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示） 20．（25-26九年级上·河南南阳·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 21．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． (1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 22．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．    (1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 23．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． (1)如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形． (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称） ②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形； (2)已知在垂角线四边形中，，，，则 ①如图②，当时，四边形的面积是______； ②如图③，当时，求四边形的面积； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $