考点03 平行四边形的判定与性质12大题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点03 平行四边形的判定与性质 考点一：平行四边形的概念与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 考点二：平行四边形的判定定理 1. 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下四种思路： （1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； （2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； （3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； （4）已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 题型一：数图形中平行四边形的个数 1. 只看 “形状像”，不按定义判断 2. 漏数 “组合而成” 的平行四边形 3. 把梯形、普通四边形当平行四边形 4. 斜着放就认不出来 5. 重复数、顺序乱 6. 多层图形不会用 “公式法”（横边线段数 × 竖边线段数 = 平行四边形总个数） 【典例】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式1】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏·月考）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 题型二：利用平行四边形的性质求解 对边相等别用邻，对角相等邻互补。对角线只互相平分，不相等也不垂直。求边长要分情况，三角关系别忘记。平行加角平分线，等腰三角形必出现。 【典例】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质．由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为___________． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理解三角形以及平行四边形的性质和周长计算．熟练掌握全等三角形的证明方法以及判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明与全等，通过证明三角形全等即可得出线段相等； （2）先利用勾股定理求出斜边长度，再根据平行四边形的性质求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为E是的中点， 所以． 在和中， ， 所以≌． 所以． 因为是边上的中线， 所以， 所以． （2）解：在中，，，， 根据勾股定理． 因为是边上的中线， 所以． 因为，， 所以四边形是平行四边形． 所以，． 所以四边形的周长为． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 题型三：利用平行四边形的性质证明 【典例】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明； （2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2024·江苏无锡·一模）如图，中，点、在上，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，根据垂直的定义求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ∴． 题型四：平行四边形性质的其他应用 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】16 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形性质，平行四边形性质，是解题的关键． （1）利用勾股定理构造等腰直角三角形，使，则底角； （2）利用勾股定理构造高，，平移到，由，得到． 【详解】（1）取点C，使，，连接，即为所求作； （2）取点E，使，，把平移到，连接，，四边形即为所求作的平行四边形． 题型五：证明四边形是平行四边形 1、把 “平行且相等” 写成 “平行、相等” 必须写：AB ∥ CD 且 AB = CD 2、只证一组条件就下结论，逻辑跳步 3、图形看着像，不证明直接当平行四边形用 【典例】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及准确分析线段的位置关系是解题的关键． （1）通过证明，得，从而，结合证平行四边形； （2）先根据线段位置关系正确计算长度，再用勾股定理算、的长，进而求周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中，， ∴四边形的周长为：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． 在和中： ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中角对的直角边为斜边的一半是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识点，能根据性质证出是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）首先根据平行四边形的性质得出，，然后结合得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点G，H分别是与的中点，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形性质证明，，得出，再证明，即可求证； （2）利用直角三角形斜边性质得出，，得出，，，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中，， ∵点G，H分别是与的中点，，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型六：添加一个条件使之成为平行四边形 一组对边平行，另一组对边相等 → 错！可以是等腰梯形 一组对边相等，一组对角相等 → 错！不能判定 一组对边平行，一组邻角互补 → 错！这是平行线自带的，推不出平行四边形 对角线相等 → 错！那是矩形，不是平行四边形判定 对角线互相垂直 → 错！那是菱形 【典例】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 题型七：求与已知三点构成平行四边形的点的个数 【典例】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后； (2)将绕着点旋转，请画出旋转后 (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． (4)在平面直角坐标系中存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)、、． 【分析】（1）本题考查平移作图，根据题干条件，先平移关键点，再依次连接关键点的对应点即可． （2）本题考查旋转作图，作图关键在于找准旋转中心，旋转角和旋转方向，先旋转关键点，再依次连接关键点的对应点即可． （3）本题考查对称中心的概念，对应点连线的交点即是对称中心． （4）本题考查平行四边形的判定，根据判定即可解题． 【详解】（1）    （2）    （3）    解：如图所示：对称中心为， 故答案为：． （4）    解：因为点使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形， 如图所示：点的坐标为、、． 故答案为：、、． 题型八：运用平行四边形的判定与性质求解 【典例】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 (2)如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）根据平行四边形的判定和性质定理得到，，由（1）可知，，，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键， （1）根据勾股定理可得到的长，可得到，从而推出四边形是平行四边形，故可得，从而得到的长； （2）根据，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）连接交于点，过点作延长线于点，根据平行四边形的性质和勾股定理，得到，，设，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理列方程，求出，再求出，然后证明，得到，即可求出折痕的长； （2）分三种情况求解：①当点落在边上时，连接，根据折叠的性质证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形求解即可；②当点落在边上时，连接交于点，连接、，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可；③当点落在边上时，连接交于点，过点作于点，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出点与点重合，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，过点作延长线于点， 在中，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即， ， ，，， ， ， ； （2）解：①如图，当点落在边上时，连接， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点落在边上时，连接交于点，连接、， ，，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ； ③如图，当点落在边上时，连接交于点，过点作于点， 由折叠的性质可知，，垂直平分， ， ， 同②理可证， ， 又，， ， ， ，即点与点重合， 在中，， ， ，， ， ， 综上可知，点之间的距离为或或． 题型九：平行四边形的性质与判定的应用 【典例】（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定、作一个角等于已知角及平行四边形的判定与性质； （1）方法一：作，与的交点即为所求作点；方法二：以为圆心为半径作弧，再以为圆心为半径作弧，两弧交于点F，连接，与的交点为点E，根据题意得出四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； （2）取格点M，连接与格线交于点N，连接交于点E，则四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； 【详解】（1）解：方法一：点E即为所求作点； 方法二：点E即为所求作点； 理由如下：， 四边形是平行四边形， ； （2）解：点E即为所求作点； 【变式1】（24-25八年级下·山西太原·月考）已知：在中，于点．    (1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)连接，若，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）由，，可得，再证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，则，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作，    （2）证明：如图，   ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， 由（2）知，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式2】（2024·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 【答案】（1）图见解析，的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3） 【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点，画出 ，利用分割法即可求解的面积； （2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点，结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形； （3）通过构造小矩形长为，宽为的矩形网格图，然后取格点，使得，，，再利用割补法即可求解； 【详解】解：（1）取格点，画出 ，如图所示， ， 故的面积为3． （2）① 取格点，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形， 平行四边形的底边为5，高为1， 平行四边形的面积为5. ② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况， ， ， ， ． （3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为，宽为，取格点，如图所示， ，，， 符合题意， 的面积为：， 的面积． 题型十：平行四边形的动点问题 最大易错：分类讨论漏情况 第二易错：把 “平行四边形” 当成 “矩形” 第三易错：表示边长时符号错 第四易错：平行四边形判定条件用错 第五易错：忘记取值范围 t≥0，且不超过边长 第六易错：坐标系里动点，坐标写反、符号错 【典例】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．问几秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2秒或3秒 【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别利用①当时，②当时，列方程得出答案即可． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为．依题意得：，． ∵， ①当时，四边形是平行四边形． 即， 解得． ②当时， 四边形是平行四边形，即， 解得：． 综上分析可知：经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 题型十一：平行四边形的存在性问题 【典例】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． (1)求，的解析式； (2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； (3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ，的解析式分别为，； （2）对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． ，． ． 设点的坐标为． 则． ， ， 解得或 符合条件的点的坐标为或； （3）存在，点的坐标为或或． 如解图，由（1）（2）可知，，， 设点的坐标为． ①当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ②当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ③当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 【变式3】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式． (2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，，，或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、以及平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的方法解决问题． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设点P的坐标为，求出，根据，得到，求出，由此得到点P的坐标； （3）设点N的坐标为，分别以的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解. 【详解】（1）解：当，， ， 当，即，解得， 点M为线段的中点， ． 设直线的函数解析式为，将，代入得， ， 解得 直线的函数解析式为． （2）解：设点P的坐标为， ， ， ， 点P的坐标为或． （3）解：如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为 ① 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ② 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ③ 当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， 综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为，，或． 题型十二：平行四边形的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____． 【答案】2≤m≤4 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 【变式1】（2024·浙江宁波·一模）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)-或或 【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）利用证明，得，可证明结论； （3）首先利用含角的直角三角形的性质求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；    （2）连接，    四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）作于， 四边形平行四边形， ，，， 平分， ，    ， ， 四边形是“等邻边四边形”， 当时，； 当时，作于，    ， 在中，由勾股定理得，， ； 当时，，，， ，    ， ， ， ， ， ， ， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)是 (2)当或时，四边形是和等梯形； (3)是等腰三角形，理由见解析 (4)理由见解析 【分析】（1）连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； （2）连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴四边形是和等梯形， 故答案为：是； （2）连接，， ∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由如下： 延长使得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）我们定义：只有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形． (1)四边形是等对角四边形，，若，，则_____，______． (2)如图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等． (3)如图③，在平行四边形中，，，，点E为的中点，过点E作，交于点F．点P是射线上一个动点，设，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了四边形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、含的直角三角形和矩形的判定和性质；解决本题的关键通过作辅助线运用以上的性质即可得出结果． （1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出； （2）根据题目已给信息作图即可； （3）过D点作于H，则四边形为矩形，根据含的直角三角形的性质求出和，分两种情况讨论进行求值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是等对角四边形，， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）由题意可得：等对角四边形如图所示 （3）如图③，作于H， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 如图③，当时，， ∴， 在含的中， ， 如图④，连接， ∵， ∴为等边三角形， 当， 在含的中 ， ∴． 综上所述或． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）▱中，：：：可以为（   ） A．：：： B．：：： C．：：： D．：：： 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角相等可得答案． 此题主要考查了平行四边形的性质．其性质：平行四边形的两组对角分别相等． 【详解】解：平行四边形对角相等， 对角的比值应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在中，分别平分，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 5．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；再利用直线的性质（与轴夹角为 ），结合截得线段长度求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积．本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与x轴所夹锐角为45° 【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为，经过时移动距离为，经过时移动距离为， ∴． 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，由图可知 ∵直线与夹角为， ∴， ∴面积为． 故选；． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为_____． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为________． 【答案】32 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义．由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：， 故答案为：32． 9．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接， 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 10．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 【答案】 【分析】延长与交于点M，由平行四边形的性质得长度，，由折叠性质得的值和的值，进而得的值，再根据是等腰直角三角形，便可求得结果． 【详解】解：延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 则 即 ∴， 由折叠知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造直角三角形． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________． 【答案】/30度 【分析】先延长与的延长线交于点F，连接，然后根据题目中的条件，可以求得，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以求得的度数． 【详解】解：延长与的延长线交于点F，连接，如图所示， ， ， 是的中点， ， ∵四边形是平行四边形，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点M为的中点， ， ∴， ， ， 又∵M为中点，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 12．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 13．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得到，，再由角平分线的定义和平行线的性质得到，则，同理可得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图1，在中，．以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． （1）由在中，，，，根据勾股定理即可求得与的长，即可求得点的坐标； （2）首先可得，根据是的中点，可证得，，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （3）首先设的长为，由折叠的性质可得：，然后根据勾股定理可得方程，解此方程即可求得的长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的坐标为； （2）证明：， 轴， 轴轴， 轴，即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （3）解：设的长为， ， ， 由折叠的性质可得：， 在中，， 即， 解得：， 即． 16．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果一个四边形的对角线长度相等，则称该四边形为“等角线四边形”． (1)下列一定是“等角线四边形”的有_____（填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图①，四边形为“等角线四边形”，是的中点，若它的对角线可绕点旋转与重合，证明：； (3)如图②，四边形为“等角线四边形”，则它的对角线可绕点旋转与重合，请用无刻度的直尺和圆规作出满足条件的一个点（保留作图痕迹，并写出简要的作图步骤） 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）结合平行四边形、矩形、菱形、正方形性质即可判断； （2）由题意得出、、、，由等边对等角可推得，， 由可得，即可得证； （3）作，的垂直平分线，，与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：矩形，正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不相等， 矩形，正方形为“等角线四边形”． 故答案为：②④． （2）证明：连接，，如图， 四边形为“等角线四边形”， ， 是的中点， ， 四边形的对角线可绕点旋转与重合， ，， ， ，， ， ， ． （3）分别作，的垂直平分线，，与交于点，如图， 则点满足条件的一个点． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形、矩形、菱形、正方形性质，等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，作线段垂直平分线，解题关键是正确理解题中“等角线四边形”的定义． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请直接写出点B的坐标　　　　　　； (2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【详解】（1）解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； （2）解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 19．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）②3，2；（2）①；②或 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，根据余角的性质得出，根据证明即可； ②根据点B、A的坐标确定平移方式，然后结合平行四边形的性质求解即可； （2）①先求出，，过C作于D，同（1）可证，得出，，则可求出，然后根据待定系数法求解即可； ②设，，分三种情况讨论：以、为对角线；以、为对角线；以、为对角线，根据平行四边形的性质，平移的规律构建方程组求解即可． 【详解】解：（1）①∵旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴B向右平移4个单位，向上平移2个单位得到A， 在中，，， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到，即， 故答案为：3，2； （2）①当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， 过C作于D， 同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②设，， 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转、平移，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，待定系数法，平行四边形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． (1)当点在边上运动时，求证：； (2)当点在内部时，求的取值范围； (3)当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）结合平行四边形的性质易证，得到，即可得出结论； （2）根据30度角所对的直角边等于斜边一半得到，再利用两个临界值分别讨论：①当点与点重合时，由旋转的性质得到是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②当点落在边上时，证明四边形是平行四边形，再证明，得到，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点在边上运动时，经过点时，证明出，从而推出，再结合含30度角的直角三角形求解；②当点在边上运动时，且，根据勾股定理和含30度角的直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：在中，为对角线的中点， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ①当点与点重合时，如图， 线段绕着点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得； ②当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当点在内部时，的取值范围为； （3）解：①如图，当点在边上运动时，经过点时，与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 解得； ②如图，当点在边上运动时，如果，则与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 平行四边形的判定与性质 考点一：平行四边形的概念与性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 考点二：平行四边形的判定定理 1. 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下四种思路： （1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； （2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； （3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； （4）已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 题型一：数图形中平行四边形的个数 1. 只看 “形状像”，不按定义判断 2. 漏数 “组合而成” 的平行四边形 3. 把梯形、普通四边形当平行四边形 4. 斜着放就认不出来 5. 重复数、顺序乱 6. 多层图形不会用 “公式法”（横边线段数 × 竖边线段数 = 平行四边形总个数） 【典例】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【变式1】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（25-26八年级下·江苏·月考）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 题型二：利用平行四边形的性质求解 对边相等别用邻，对角相等邻互补。对角线只互相平分，不相等也不垂直。求边长要分情况，三角关系别忘记。平行加角平分线，等腰三角形必出现。 【典例】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为___________． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 题型三：利用平行四边形的性质证明 【典例】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】（2024·江苏无锡·一模）如图，中，点、在上，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型四：平行四边形性质的其他应用 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 【变式2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 题型五：证明四边形是平行四边形 1、把 “平行且相等” 写成 “平行、相等” 必须写：AB ∥ CD 且 AB = CD 2、只证一组条件就下结论，逻辑跳步 3、图形看着像，不证明直接当平行四边形用 【典例】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点G，H分别是与的中点，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型六：添加一个条件使之成为平行四边形 一组对边平行，另一组对边相等 → 错！可以是等腰梯形 一组对边相等，一组对角相等 → 错！不能判定 一组对边平行，一组邻角互补 → 错！这是平行线自带的，推不出平行四边形 对角线相等 → 错！那是矩形，不是平行四边形判定 对角线互相垂直 → 错！那是菱形 【典例】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 题型七：求与已知三点构成平行四边形的点的个数 【典例】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26八年级下·江苏南京·月考）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后； (2)将绕着点旋转，请画出旋转后 (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． (4)在平面直角坐标系中存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标是___________． 题型八：运用平行四边形的判定与性质求解 【典例】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 (2)如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 题型九：平行四边形的性质与判定的应用 【典例】（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（24-25八年级下·山西太原·月考）已知：在中，于点．    (1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形； (3)连接，若，，，则______． 【变式2】（2024·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 题型十：平行四边形的动点问题 最大易错：分类讨论漏情况 第二易错：把 “平行四边形” 当成 “矩形” 第三易错：表示边长时符号错 第四易错：平行四边形判定条件用错 第五易错：忘记取值范围 t≥0，且不超过边长 第六易错：坐标系里动点，坐标写反、符号错 【典例】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．问几秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十一：平行四边形的存在性问题 【典例】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． (1)求，的解析式； (2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； (3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式． (2)如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十二：平行四边形的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____． 【变式1】（2024·浙江宁波·一模）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）我们定义：只有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形． (1)四边形是等对角四边形，，若，，则_____，______． (2)如图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等． (3)如图③，在平行四边形中，，，，点E为的中点，过点E作，交于点F．点P是射线上一个动点，设，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）▱中，：：：可以为（   ） A．：：： B．：：： C．：：： D．：：： 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在中，分别平分，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 5．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为_____． 8．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为________． 9．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 10．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________． 12．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 13．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 15．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图1，在中，．以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 16．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果一个四边形的对角线长度相等，则称该四边形为“等角线四边形”． (1)下列一定是“等角线四边形”的有_____（填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图①，四边形为“等角线四边形”，是的中点，若它的对角线可绕点旋转与重合，证明：； (3)如图②，四边形为“等角线四边形”，则它的对角线可绕点旋转与重合，请用无刻度的直尺和圆规作出满足条件的一个点（保留作图痕迹，并写出简要的作图步骤） 18．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请直接写出点B的坐标　　　　　　； (2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 19．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． (1)当点在边上运动时，求证：； (2)当点在内部时，求的取值范围； (3)当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $