7.3 定义、命题、定理（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

本讲义聚焦“定义、命题、定理”核心知识点，系统梳理定义的本质特征、命题的组成与分类（真命题、假命题）、定理的推理证实及证明的规范过程，通过知识点解析、基础练习、七种典型题型（如判断命题、举反例、补全证明等）到综合练习，构建从概念理解到应用实践的完整学习支架。 该资料以“数学思维”和“数学语言”为核心设计亮点，通过举反例判断假命题培养学生的推理意识，补全证明过程强化逻辑表达能力，如题型5中通过填充推理依据训练严谨思维。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固知识，有效查漏补缺，提升数学表达与问题解决能力。

7.3 定义、命题、定理 内容导航 知识点一 定义与命题 1 知识点二 定理与证明 2 题型1 判断是否是命题 4 题型2 判断真假命题 6 题型3 举反例 7 题型4 命题改写 8 题型5 补全证明过程 10 题型6 根据给出信息组命题并证明 13 题型7 逻辑推理证明 16 综合练习 18 知识点一 定义与命题 类别 内容 示例 定义 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 命题的定义 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 对顶角相等 命题的组词 命题由题设与结论两部分组成。题设是已知事项，结论 是由已知事项推出的事项。 “对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”结论是“两个角相等” 命题的表达形式（改写） 通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” 命题的分类 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 对顶角相等 假命题 命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 相等的角是对顶角 提示：一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 注意：(1)命题是判断事情的语句，一般为陈述句，不能是祈使句、疑问句、感叹句或描述图形的句子等； (2)命题判断的结果可以是肯定的，也可以是否定的。 (3) 有些简写的命题，题设和结论不够明显，要经过分析并改写成“如果……那么…”的形式.在改写时，需适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意。 特别提醒:(1)命题必须对某一件事作出判断，不管作出的判断是正确的还是错误的； (2)命题作出的判断通常包含“是”或“不是”、“具有”或“不具有”等类似的词语。 (3)命题一定是由题设和结论两部分组成的，题设是结论存在的前提. (4)对有些命题，其题设与结论不一定只有一个，一定要分清它们的题设和所对应的结论。 【基础练习1】下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是真命题 (3)不是命题 (4)是命题，不是真命题 【分析】本题考查了命题，判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，理解命题的定义是解题的关键． （1）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （2）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （3）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （4）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：是命题， 如果，，那么是正确的命题， 即是真命题； （2）解：是命题， 等角的补角相等是正确的命题， 即是真命题； （3）解：不是命题． （4）解：是命题， 两个锐角的和是钝角是错误的命题，比如，则， 即不是真命题； 【基础练习2】下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论． 【详解】解：（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题； （2）垂线段最短，对吗？不是命题； （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 （4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题； 知识点二 定理与证明 类别 内容 定理的定义 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 证明的定义 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 注意：(1)定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。 (2)判定假命题只需要举一个反例即可，而真命题的证明需要严格的推理。 (3)证明过程应按照“前因后果”的次序书写，其中的每一步推理都要有依据，推理的依据只能是命题给出的已知条件、已经学过的定义、基本事实和已经证明过的定理.不能凭“想当然”就把未被证实的命题作为推理的依据。 (4)推理和证明是有区别的，推理是证明过程的组成部分， 【基础练习1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【基础练习2】阅读并理解下面的证明过程，请在括号内填写对应的结论或推理的依据． 已知：如图，，分别平分，，且． 求证：． 证明：分别平分，（已知） ，（①________）， （已知） （等式的基本事实）， 又（已知） ②________（等式的基本事实）， （③________）， ，（④________）， （已知） （⑤________）． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等 【分析】证明是解决问题的关键．由角平分线的定义和已知条件得出，证出，由内错角相等证出，再由平行线的性质得出同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】证明：分别平分（已知）， ∴， （ ①角平分线的定义）． （已知）， （等式的基本事实）． 又（已知）， （等式的基本事实）． （③内错角相等，两直线平行）． （④两直线平行，同旁内角互补）， （已知） （⑤等角的补角相等）． 题型1 判断是否是命题 【典例】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 【变式练习1】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【答案】是，不是，是，不是 【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题是可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，分析每个句子是否符合这一定义即可． 【详解】解：①“对顶角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ②“画一个角等于已知角”是动作描述，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； ③“两直线平行，同位角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ④“a，b两条直线平行吗？”是疑问句，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【变式练习2】下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 题型2 判断真假命题 【典例】下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 【变式练习1】下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 【变式练习2】下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 方法技巧：判断命题真假的方法 判断一个命题是真命题，可以通过实验和推理论证的方式。 判断一个命题是假命题，只要能举出一个反例即可: 它符合命题的题设，但不满足命题的结论就可以了。 题型3 举反例 【典例】对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 【变式练习1】判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 【答案】（即可） 【分析】根据绝对值的定义，当a为负数时，，因此命题不成立． 本题考查了绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，， 故命题是假命题； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式练习2】判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 【答案】(1)假命题．反例见解析 (2)假命题．反例见解析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 【详解】（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2）解：若，则，为假命题，，则． 题型4 命题改写 【典例】请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：_______． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题考查命题的改写，关键是准确区分命题的题设与结论．原命题中，“一个三角形有两个角相等”是题设，“这个三角形是等腰三角形”是结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【变式练习1】把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 【变式练习2】指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 解后反思：命题改写的三点注意 (1)可适当地补充一些修饰成分，但不能改变命题的原意； (2)语句要通顺、合理； (3)题设和结论两部分都应该是一个独立完整的句子。 题型5 补全证明过程 【典例】中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质、补角的性质，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，根据等角的补角相等，可证结论成立． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （平角的定义）， （等角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；． 【变式练习1】在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 如图，点分别在上，于点．求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）， ________（________）， （________）． （平角的定义）， （________）． （已知）， （________）， （________）． 【答案】垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， （）． （已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 【变式练习2】请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴______（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 先证出，再借助平行线的性质得出，进而证出，即可求证． 【详解】证明：． 证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 总结：“因为”“所以”结伴行，“证明”齐心来完成 (1)证明过程中有因必有果，有果必有因。 (2) “因为”必须是已知事实或已证事实，“所以”必须是由前面已知事实推出的事实. 题型6 根据给出信息组命题并证明 【典例】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式练习1】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【变式练习2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型7 逻辑推理证明 【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 【答案】623 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 【变式练习1】某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【答案】参观团只能去C、D两地 【分析】本题主要考查了逻辑推理，由②可知，当去E时，则由⑤可知必须去A、D，则由①④可知必须去B、C，则与③矛盾，则不去E，一定要去D，再由④可知，要去D，由③可知不去B，由①可知不去A，据此可得答案． 【详解】解：由②D、E两地至少去一处可知，若去E地，则由⑤知，必须去A、D两地，由①和④知必须去B、C两地，但与③矛盾， ∴不能去E地， ∴必须去D地 ∴由④知必须去C地，再由③知，不能去B地， ∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地， 故该参观团只能去C、D两地． 【变式练习5】如图，在中，于点D，点E在上，于点F，交于点G，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线定义，先根据“同位角相等，两直线平行”得，再由平行线性质得，，结合，得，题目得证． 【详解】证明：，， ， ， ，， 又， ， 综合练习 一、单选题 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 命题是能够判断真假的陈述句，据此分析各选项即可． 【详解】解：A：“连接，两点”是操作指令，无法判断真假，不是命题，故该选项符合题意； B：“对顶角相等”是命题，故该选项不合题意； C：“等角的补角相等”是命题，故该选项不合题意； D：“垂线段最短”是命题，故该选项不合题意． 故选：A． 2．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 3．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 4．对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例时，所举的例子要符合原命题的条件，但是不符合原命题的结论，据此求解即可． 【详解】解：反例需满足且， 选项A：，不满足，该选项不符合题意； 选项B：，，但，该选项不符合题意； 选项C：，不满足，该选项不符合题意； 选项D：，，且，该选项符合题意； 故选：D． 5．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 6．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②、④是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；结论是两个角相等，故④正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误； 综上所述判断正确的为：①②④，共3个， 故选：B． 7．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 8．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 9．下列命题正确的有（   ） ①过一点有且只有一条直线平行于已知直线 ②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 ③若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等． ④相等的两个角是对顶角． ⑤平行于同一直线的两直线互相平行． ⑥连接A、B两点的线段就是两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，对顶角，两点间的距离，平行公理，逐一进行判断即可． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故①为假命题； 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，故②为假命题； 若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等；故③为真命题； 相等的两个角不一定是对顶角；故④为假命题； 平行于同一直线的两直线互相平行；故⑤为真命题； 连接A、B两点的线段的长就是两点之间的距离；故⑥为假命题； 综上：共有2个真命题； 故选A． 10．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 11．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 12．有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（   ） A．红心A B．红心2 C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8，A， 8， 2，2， A， 8，2， 8， A，8， A， 2，8， 2， A，据此分6种情况分别求出三步操作后最右边的牌即可得到答案． 【详解】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种： A， 2， 8， A， 8， 2， 2， A， 8， 2， 8， A， 8， A， 2， 8， 2， A， 第一种初始排列：A，2，8， 第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8， 第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动． 第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8． 第二种初始排列：A，8，2， 第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8． 第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动． 第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8． 第三种初始排列：2，A，8， 第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8， 第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8， 第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8． 第四种初始排列：2，8，A， 第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A， 第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8． 第五种初始排列：8，A，2， 第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A， 第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8． 第六种初始排列：8，2，A， 第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8． 综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8， 故选：C． 二、填空题 13．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有__________，是真命题的有__________．（填序号） 【答案】 ②③ ③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 14．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据乘法法则判断命题的真假，即可求解． 【详解】解：当时，无论取何数，都成立． 因此该命题是真命题． 故答案为：真． 15．能判断命题“若，则”是假命题的反例是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了写出命题的反例，理解题意是解题的关键． 通过举反例，当 x 取负值且满足时，x 不一定大于1即可求解． 【详解】解：取 ，则，但 ，不满足 ， ∴命题“若，则”不成立， 故答案为：（答案不唯一）． 16．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 17．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，选择一个真命题，再按要求写成“如果那么”的形式即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”是一个真命题， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．（答案不唯一） 18．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表： 参赛者 比赛项目 A B C 总分 小明 2 小亮 3 小颖 1 已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛______是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”） 【答案】小亮 【分析】本题主要考查了逻辑推理．根据比赛规则和已知条件，小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同，因此他在另一个项目（B或C）中也得3分．通过分析各种可能的情况，计算三人的总分，发现小亮的总分总是最高，因此小亮是冠军． 【详解】解：∵小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同， ∴小亮在项目B或项目C中不可能得2分或1分，只能得3分， ∴小亮的总分至少为分， ∵小明在项目B中得2分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况， ∴小明的总分至多为分， ∵小颖在项目C中得1分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况， ∴小颖的总分至多为分， ∵三人的总分各不相同， ∴小亮的总分总是高于小明和小颖，即小亮是冠军． 故答案为：小亮． 三、解答题 19．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，见解析 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是假命题，见解析 【分析】本题考查了命题的定义，命题的真假，相反数，有理数，有理数的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据命题的定义进行判定，再结合相反数的性质得出原命题是真命题，即可作答． （2）根据命题的定义进行判定，再结合有理数与自然数的定义得出原命题是假命题，即可作答． （3）根据命题的定义进行判定，即可作答． （4）根据命题的定义进行判定，即可作答． （5）根据命题的定义进行分析，即“”是命题，且是假命题；再举反例：当时，分别算出等式左边为9，右边为5，左边右边，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如果a，b互为相反数，那么是命题，且是真命题； （2）解：“有理数一定是自然数”是命题，且是假命题； 例如：是有理数，但不是自然数， ∴原命题是假命题， （3）解：“延长线段”不是命题； （4）解：“明天一定下雨吗？”不是命题； （5）解：“”是命题，且是假命题； 当时， 则 即等式左边为9，右边为5，左边右边， 因此原命题是假命题． 20．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是，结论是这个数能被5整除，结论是这个数能被5整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 21．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 【答案】2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定定理，以及平行公理的推论． 先由已知角相等推出，再由同角的补角相等推出，最后根据平行公理的推论得到． 【详解】证明：（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （已证）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 22．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 24．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【答案】(1)3胜0平1负 (2)A队能出线 (3)队能出线 【分析】本题考查了不等式的应用，二元一次方程的应用及逻辑推理，根据球队的积分判断出胜负的场次是解题的关键． （1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【详解】（1）解：个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）解：小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）解：假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0负， 可以看出，队只败给了队，即、、都负于队了， 3队里有1队和队平了1次，其他2队都负于队， 、、，3队里积分最高的是2胜1平1负，有7分． ∴队出线了． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 定义、命题、定理 内容导航 知识点一 定义与命题 1 知识点二 定理与证明 2 题型1 判断是否是命题 3 题型2 判断真假命题 3 题型3 举反例 4 题型4 命题改写 4 题型5 补全证明过程 5 题型6 根据给出信息组命题并证明 6 题型7 逻辑推理证明 7 综合练习 8 知识点一 定义与命题 类别 内容 示例 定义 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 命题的定义 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 对顶角相等 命题的组词 命题由题设与结论两部分组成。题设是已知事项，结论 是由已知事项推出的事项。 “对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”结论是“两个角相等” 命题的表达形式（改写） 通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” 命题的分类 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 对顶角相等 假命题 命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 相等的角是对顶角 提示：一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 注意：(1)命题是判断事情的语句，一般为陈述句，不能是祈使句、疑问句、感叹句或描述图形的句子等； (2)命题判断的结果可以是肯定的，也可以是否定的。 (3) 有些简写的命题，题设和结论不够明显，要经过分析并改写成“如果……那么…”的形式.在改写时，需适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意。 特别提醒:(1)命题必须对某一件事作出判断，不管作出的判断是正确的还是错误的； (2)命题作出的判断通常包含“是”或“不是”、“具有”或“不具有”等类似的词语。 (3)命题一定是由题设和结论两部分组成的，题设是结论存在的前提. (4)对有些命题，其题设与结论不一定只有一个，一定要分清它们的题设和所对应的结论。 【基础练习1】下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 【基础练习2】下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 知识点二 定理与证明 类别 内容 定理的定义 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 证明的定义 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 注意：(1)定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。 (2)判定假命题只需要举一个反例即可，而真命题的证明需要严格的推理。 (3)证明过程应按照“前因后果”的次序书写，其中的每一步推理都要有依据，推理的依据只能是命题给出的已知条件、已经学过的定义、基本事实和已经证明过的定理.不能凭“想当然”就把未被证实的命题作为推理的依据。 (4)推理和证明是有区别的，推理是证明过程的组成部分， 【基础练习1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【基础练习2】阅读并理解下面的证明过程，请在括号内填写对应的结论或推理的依据． 已知：如图，，分别平分，，且． 求证：． 证明：分别平分，（已知） ，（①________）， （已知） （等式的基本事实）， 又（已知） ②________（等式的基本事实）， （③________）， ，（④________）， （已知） （⑤________）． 题型1 判断是否是命题 【典例】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【变式练习1】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【变式练习2】下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 题型2 判断真假命题 【典例】下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式练习1】下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习2】下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 方法技巧：判断命题真假的方法 判断一个命题是真命题，可以通过实验和推理论证的方式。 判断一个命题是假命题，只要能举出一个反例即可: 它符合命题的题设，但不满足命题的结论就可以了。 题型3 举反例 【典例】对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式练习1】判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 【变式练习2】判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 题型4 命题改写 【典例】请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：_______． 【变式练习1】把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 【变式练习2】指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 解后反思：命题改写的三点注意 (1)可适当地补充一些修饰成分，但不能改变命题的原意； (2)语句要通顺、合理； (3)题设和结论两部分都应该是一个独立完整的句子。 题型5 补全证明过程 【典例】中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 【变式练习1】在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 如图，点分别在上，于点．求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）， ________（________）， （________）． （平角的定义）， （________）． （已知）， （________）， （________）． 【变式练习2】请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴______（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 总结：“因为”“所以”结伴行，“证明”齐心来完成 (1)证明过程中有因必有果，有果必有因。 (2) “因为”必须是已知事实或已证事实，“所以”必须是由前面已知事实推出的事实. 题型6 根据给出信息组命题并证明 【典例】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式练习1】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【变式练习2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 题型7 逻辑推理证明 【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 【变式练习1】某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【变式练习2】如图，在中，于点D，点E在上，于点F，交于点G，且．求证：平分． 综合练习 一、单选题 1．下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 2．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 3．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 4．对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 5．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 6．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 7．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 8．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 9．下列命题正确的有（   ） ①过一点有且只有一条直线平行于已知直线 ②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 ③若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等． ④相等的两个角是对顶角． ⑤平行于同一直线的两直线互相平行． ⑥连接A、B两点的线段就是两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 11．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 12．有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（   ） A．红心A B．红心2 C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能 二、填空题 13．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有__________，是真命题的有__________．（填序号） 14．命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 15．能判断命题“若，则”是假命题的反例是__________． 16．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 17．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 18．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表： 参赛者 比赛项目 A B C 总分 小明 2 小亮 3 小颖 1 已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛______是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”） 三、解答题 19．下列各语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假并对假命题举反例说明． (1)如果a，b互为相反数，那么． (2)有理数一定是自然数． (3)延长线段． (4)明天一定下雨吗？ (5)． 20．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 21．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 22．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 23．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 24．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 学科网（北京）股份有限公司 $