（寒假讲义-预习篇）第四讲 定义、命题、定理（十大重点考点练+三难度分层练 共50题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第四讲 定义、命题、定理 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。 2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。 3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。   教学重难点 重点：理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。 难点：理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：命题 2 知识点二：真命题、假命题 2 知识点三：公理、定理 3 知识点四：证明 3 优选考点讲练 3 考点一：判断是否是命题 3 考点二：写出命题的题设与结论 3 考点三：判断命题真假 4 考点四：举例说明假（真）命题 4 考点五：定理与证明 5 考点六：写出一个命题的已知、 5 考点七：求证及证明过程 6 考点八：已知证明过程填写理论依据 6 考点九：根据给出的论断组命题并证明 8 考点十：举反例 8 三难度分层练（基础 提高 拔尖） 9 基础通关练 9 能力提升练 10 拔尖拓展练 12 知识点一：命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点二：真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【易错点拨】 只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 知识点三：公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【易错点拨】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 知识点四：证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【易错点拨】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 考点一：判断是否是命题 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【变式】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 考点二：写出命题的题设与结论 【例2】把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 考点三：判断命题真假 【例3】（23-24七年级下·重庆永川·期中）下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式】（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 考点四：举例说明假（真）命题 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 考点五：定理与证明 【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【变式】（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 考点六：写出一个命题的已知、 【例6】下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【变式】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 考点七：求证及证明过程 【例7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【变式】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 考点八：已知证明过程填写理论依据 【例8】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 考点九：根据给出的论断组命题并证明 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 考点十：举反例 【例10】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C． D．， 【变式】．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 2．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 4．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 能力提升练 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·重庆江北·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的两个角是对顶角 D．同旁内角互补 4．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 6．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 7．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 2．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 3．（24-25七年级下·广东江门·月考）下列命题中真命题的个数是（） （1）邻补角相等；（2）平行于同一直线的两条直线平行；（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．            乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．        丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（    ）． A．甲  丁 B．乙  丙 C．乙  丁 D．以上都不正确 5．“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是 （填“真”或“假”）命题． 6．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列命题中：①一个角的补角可能是锐角 ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有 (填题号)． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 9．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 定义、命题、定理 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。 2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。 3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。   教学重难点 重点：理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。 难点：理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：命题 2 知识点二：真命题、假命题 2 知识点三：公理、定理 3 知识点四：证明 3 优选考点讲练 3 考点一：判断是否是命题 3 考点二：写出命题的题设与结论 4 考点三：判断命题真假 6 考点四：举例说明假（真）命题 6 考点五：定理与证明 9 考点六：写出一个命题的已知、 10 考点七：求证及证明过程 10 考点八：已知证明过程填写理论依据 12 考点九：根据给出的论断组命题并证明 14 考点十：举反例 16 三难度分层练（基础 提高 拔尖） 17 基础通关练 17 能力提升练 21 拔尖拓展练 26 知识点一：命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点二：真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【易错点拨】 只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 知识点三：公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【易错点拨】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 知识点四：证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【易错点拨】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 考点一：判断是否是命题 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【思路引导】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【完整解答】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 【变式】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【思路引导】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【完整解答】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 考点二：写出命题的题设与结论 【例2】把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【思路引导】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可． 【完整解答】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【完整解答】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点三：判断命题真假 【例3】（23-24七年级下·重庆永川·期中）下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路引导】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角，点到直线的距离． 根据平行线的性质、对顶角的性质和点到直线距离的定义分别判断即可． 【完整解答】解：①∵同旁内角互补需两直线平行，未指定平行条件，∴命题①为假； ②∵内错角相等需两直线平行，未指定平行条件，∴命题②为假； ③∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴命题③为假； ④∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴命题④为假. 综上，真命题个数为0， 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用点到直线的距离的定义、平行线的性质及判定方法及垂直的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【完整解答】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫作点到直线的距离，正确，符合题意； B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交两种位置关系，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 考点四：举例说明假（真）命题 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【完整解答】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【完整解答】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 考点五：定理与证明 【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【完整解答】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【思路引导】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【完整解答】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 考点六：写出一个命题的已知、 【例6】下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 【变式】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【思路引导】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【完整解答】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【考点剖析】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 考点七：求证及证明过程 【例7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【完整解答】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【思路引导】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【完整解答】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【考点剖析】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 考点八：已知证明过程填写理论依据 【例8】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【思路引导】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【完整解答】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【考点剖析】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【思路引导】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【完整解答】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 考点九：根据给出的论断组命题并证明 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【完整解答】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【思路引导】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【完整解答】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【考点剖析】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 考点十：举反例 【例10】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查判断命题的真假，角度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．要说明命题是假命题，需找到满足条件但结论不成立的反例． 【完整解答】解：A、，其和为90°，但，符合原结论，不能说明命题是假命题；   B、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题；   C、，和为且，能说明命题是假命题；   D、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题．   故选：C． 【变式】．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2)命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【思路引导】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【完整解答】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·月考）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【思路引导】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【完整解答】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【完整解答】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【完整解答】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【完整解答】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【思路引导】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【完整解答】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 【答案】两直线平行 【思路引导】本题考查命题的定义．将命题改为““如果……那么……”的形式即可判断． 【完整解答】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行． 故答案为：两直线平行． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【思路引导】写出命题的题设与结论．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【完整解答】解：原命题的题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”， 因此改写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． (2)在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 【思路引导】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键，确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法即可求解． 【完整解答】（1）解：同位角相等，两直线平行； 题设：同位角相等，结论：两直线平行， ∴改写为：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． （2）解：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 题设：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，结论：这两个三角形全等， ∴改写为：在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 【答案】乙的说法正确 【思路引导】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可． 【完整解答】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断． “内错角相等”满足上述两个条件，是假命题． 因此乙的说法正确． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【思路引导】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【完整解答】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 能力提升练 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【思路引导】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质． 【完整解答】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】此题考查了命题的真假，对顶角，平行线的性质，垂线段最短，平行公理和垂直的定义， 根据以上知识点判断每个命题的真假即可． 【完整解答】解： ①相等的角不一定是对顶角，是假命题； ②两条直线被第三条直线所截时，内错角不一定相等，只有当两直线平行时才成立，是假命题； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线性质，是真命题； ④从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是真命题； ⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，是真命题． ∴真命题有3个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·重庆江北·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的两个角是对顶角 D．同旁内角互补 【答案】B 【思路引导】本题考查命题的真假判断，涉及平方的性质、平行线的性质、对顶角的定义和同旁内角的性质． 根据相关的知识点逐项分析即可． 【完整解答】解：A、若，则或，不一定成立，故A是假命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，成立，故B是真命题，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故C是假命题，不符合题意； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，故D是假命题，不符合题意； 故选B． 4．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【思路引导】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【完整解答】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【思路引导】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【完整解答】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 6．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【思路引导】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论． 【完整解答】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 7．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【答案】李琴倩 【思路引导】本题考查了逻辑推理，根据三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，说明了礼物是李琴倩送的，即可求解． 【完整解答】解：三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，她说礼物不是她送的这是假话，这说明了礼物是李琴倩送的， 故答案为：李琴倩． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查线段的和差，等式的性质，真命题，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，根据等量加等量仍是等量可得，即可证明． 【完整解答】解：∵， ∴， 即． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【思路引导】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【完整解答】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【思路引导】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【完整解答】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【思路引导】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【完整解答】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【思路引导】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的定义对各选项逐一进行判断即可. 【完整解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； B、如果，，那么，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以原命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东江门·月考）下列命题中真命题的个数是（） （1）邻补角相等；（2）平行于同一直线的两条直线平行；（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了判断命题真假，逐个判断命题的真假：命题（1）错误，因为邻补角互补但不一定相等；命题（2）、（3）、（4）均正确，涉及平行公理推论、垂线段性质和平行线性质． 【完整解答】解：∵邻补角是互补的角，但不一定相等（例如，一个角为30°，其邻补角为150°，两者不相等）， ∴命题（1）是假命题． ∵平行于同一直线的两条直线平行（平行公理的推论）， ∴命题（2）是真命题． ∵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段性质）， ∴命题（3）是真命题． ∵两直线平行，同旁内角互补（平行线的性质）， ∴命题（4）是真命题． ∴真命题的个数是3个． 故选：C． 4．甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．            乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．        丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（    ）． A．甲  丁 B．乙  丙 C．乙  丁 D．以上都不正确 【答案】C 【思路引导】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【完整解答】解：由题意，可知： ∵乙、丁的预测是一样的， ∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖． ∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题． 5．“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【思路引导】本题考查了命题真假的判断，平行线的性质，二元一次方程的解法．根据题意，作图分析，再建立方程组即可求解． 【完整解答】解：第一种情况，根据题意，作图如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得:， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， 解得:， ∴； 综上所述，的度数为或. 故答案为：假 ． 6．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）下列命题中：①一个角的补角可能是锐角 ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有 (填题号)． 【答案】①②③ 【思路引导】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用互补的定义、两直线的位置关系、垂直的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【完整解答】解：①一个角的补角可能是锐角，正确，是真命题，符合题意； ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交，正确，是真命题，符合题意； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故答案为：①②③． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查命题真假的判断，涉及垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识．解题关键是准确掌握相关几何概念和性质． 根据垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识逐项判断即可． 【完整解答】①垂线段最短，这是一个基本的几何定理，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 ，是真命题． ②相等的角不是对顶角就是同一个角，相等的角除了对顶角、同一个角外，还有同位角、内错角等多种情况，比如两直线平行时，同位角相等，它们既不是对顶角也不是同一个角，所以该命题是假命题． ③两直线平行，同旁内角相等，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即同旁内角和为 ，并非相等，所以该命题是假命题． ④两个锐角的和是锐角或者直角，例如与这两个锐角，它们的和是，是钝角，并非一定是锐角或者直角，所以该命题是假命题． ⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这是平行公理的推论，是真命题． 综上，假命题的有②③④； 故答案为：②③④． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【思路引导】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【完整解答】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 9．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【完整解答】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【完整解答】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $