考点02 解二元一次方程（组）（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

02 解二元一次方程（组） 考点一：代入消元法解二元一次方程组 1、消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 2、代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 3、代入消元法的具体步骤： （1） 变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 （2） 代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 考点二：加减消元法解二元一次方程组 1、加减消元法： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别 相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 2、加减消元法的具体步骤： （1） 变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 （2） 加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 （3） 求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 （4） 回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 考点三：三元一次方程（组）的定义 1、三元一次方程的定义： 含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2、三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。 考点四：解三元一次方程组 1、基本思想： 三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程。 2、基本步骤： （1） 变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。 （2） 求解：求解二元一次方程组。 （3） 回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。 （4） 求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。 （5） 写解：用写出方程组的解。 题型一：代入消元法 1. 从方程组中选一个系数较简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。 2. 将得到的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。 5. 将解写成 ( (x, y) ) 的形式。 1. 代入时符号错误，特别是移项时忘记变号。 2. 代入后未化简直接计算，导致计算复杂。 3. 解出一个未知数后忘记代入求另一个未知数。 4. 最终结果未写成有序数对形式。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．（18-19七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想． 将方程①代入②，然后进行消元，即可判断． 【详解】解：， 把①代入②得：， 去括号得：． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）由方程组，可得出x与y的关系是_______． 【答案】 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想消去字母m是解本题的关键．把代入即可消去m得到关于x，y的关系． 【详解】解：， 把代入得，， 整理得， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为． 题型二：加减消元法 1. 将方程组中的两个方程化为 ( ax + by = c ) 的形式。 2. 观察同一未知数的系数，若相等或互为相反数，直接相加或相减消去一个未知数。 3. 若系数不相等，则找一个未知数的最小公倍数，将两个方程两边同时乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数。 4. 相加或相减消去一个未知数，解出一元一次方程。 5. 代入求另一个未知数，写出解。 1. 乘数时只乘一边，忘记两边同时乘。 2. 相加或相减时符号出错，特别是相减时忘记减整个方程。 3. 选择消去的未知数不合适，导致计算复杂。 4. 解出一个未知数后，代入原方程时选错方程，导致计算错误。 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 2．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 利用加减消元法，即可解方程组． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解． 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键．可求得，再把代入①计算即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ， 把代入①，得， 解得， 原方程组得解是． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的方法是关键． 根据题意，①，②，得到未知数x的系数相同，运用加减消元法解得，由此即可求出． 【详解】解：， ①，得③， ②，得④， ④－③，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解是． 5．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）求出，再将代入求出即可； （2）先化简，然后求出，再将代入求出即可． 【详解】（1） 得 解得： 将代入得 解得 ∴ （2） 整理得 得， 解得 将代入得 解得 ∴． 题型三：二元一次方程组的特殊解法 1. 整体代入法：当一个式子整体出现时，可将其看作一个整体代入。 2. 换元法：设 ( m = ax + by )，( n = cx + dy )，将原方程组转化为关于 ( m )、( n ) 的方程组。 3. 参数法：设 ( x = kt )，( y = mt ) 等形式，代入求解。 4. 轮换对称法：若方程组具有对称性，可考虑相加、相减或设 ( x + y = u )，( xy = v ) 等技巧。 1. 换元后忘记回代求 ( x )、( y )。 2. 整体代入时，忽略代入后方程的化简。 3. 对特殊结构不敏感，强行用普通解法增加计算量。 4. 对称性方程组中，忽略 ( x = y ) 这种特殊情况。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选：D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 题型四：构造二元一次方程组求解 1. 根据题意设出未知数，一般设两个未知数。 2. 找出题目中的等量关系，列出两个方程。 3. 将方程联立成方程组。 4. 选择合适的方法（代入或加减）解方程组。 5. 检验解是否符合题意。 1. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 2. 等量关系找不全或找错，只列出一个方程。 3. 解出方程后未检验是否符合实际意义（如人数不能为负数）。 4. 单位不统一直接列式，导致计算错误。 1．（20-21七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·自主招生）关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 3．（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到，再由锂原子的个数相等得到，即可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则___________ … … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型五：已知二元一次方程组的解的情况求参数 1. 将解直接代入方程组中的每个方程。 2. 得到关于参数的方程（组）。 3. 解这个方程（组）求出参数的值。 4. 若涉及“无解”“无数解”等情况，需结合系数比例关系分析。 1. 代入时混淆未知数与参数，代入位置错误。 2. 只代入一个方程，忽略另一个方程的条件。 3. 解含参方程时运算错误，导致参数求错。 4. 对“无解”“无数解”的条件理解不清，如忽略的情况。 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选：． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）当_____时，方程组的解、的值互为相反数． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用互为相反数得到，再代入方程组求解． 因为的值互为相反数，所以．将代入方程组计算即可． 【详解】解：将代入方程组， 得到：， 解得． 故答案为：3． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是_______． ①方程组的解也是的解；②x，y值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．两方程相加计算判断①；求出方程组的解x，y的值，根据互为相反数求出a的值判断②；求出的值判断③；根据求出a的值判断④解答即可． 【详解】解：①将方程组中两个方程相加，得 ∴方程组的解也是 的解，故①正确； ②解方程组 得， 当x，y的值互为相反数时， ， 即 解得 ∴当时，x，y的值互为相反数，故②不正确； ③原方程组的解为， ， ∴不论a取什么实数， 的值始终不变，都为 ，故③正确； ④若 则 ， 解得：，故④正确； 综上分析可知， ①③④正确． 故答案为：①③④． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 6．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 题型六：二元一次方程组的错解复原问题 1. 分析错解的原因：是看错系数、代错方程还是计算错误。 2. 将错解代入错误的方程，得到关于参数的关系式。 3. 将正解代入正确的方程，得到另一组关系式。 4. 联立这些关系式，求出原方程组中的参数或系数。 5. 还原原方程组，求出正确的解。 1. 分不清哪个解对应哪个方程，导致代入错误。 2. 忽略错解满足的是“看错后的方程”，而非原方程。 3. 只求参数，忘记最后要还原方程组并求解。 4. 未明确哪个系数被看错，导致关系式列错。 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，正确理解定义是解题的关键． 把，代入方程即可得到一个关于，的方程组，即可求得，的值，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程，得到：， 解得：． 故，，． 题型七：方程组相同解问题 1. 若两个方程组有相同的解，则这个解同时满足两个方程组中的所有方程。 2. 将解代入第一个方程组，求出未知数的值（或参数的关系）。 3. 将解代入第二个方程组，验证或求出另一个参数。 4. 有时需先解出一个不含参数的方程组，再将解代入含参方程组求参数。 1. 将“有相同解”理解为“方程组相同”，忽略参数的存在。 2. 解出一个方程组的解后，代入另一个方程组时只代一个方程。 3. 未检验解是否同时满足所有方程。 4. 混淆“同解”与“有公共解”的区别。 1．（19-20七年级下·浙江嘉兴·期中）若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得， 令， 则化简为：， 方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴ ∴， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法．联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：联立得：， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为， 把代入得：， 即， 得：，解得：， 把代入④得：， ∴， 故答案为：0． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，先求出方程 的解，再把代入得，然后解方程即可，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 5．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 题型八：三元一次方程组的定义及解 1. 三元一次方程组含有三个未知数，每个方程中未知数的次数都是1，且是整式方程。 2. 解三元一次方程组的基本思路是“消元”——先消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3. 常用方法：代入消元法、加减消元法。 4. 解出后代入原方程组检验。 1. 消元时选错未知数，导致计算复杂。 2. 消元后得到的二元一次方程组解错，导致最终答案全错。 3. 解出两个未知数后，忘记代入求第三个未知数。 4. 未检验解是否满足所有方程，特别是分式或含参情况。 1．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则___________． 【答案】 【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数，得出与的关系，再得出与的关系，最后求比值．本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系． 【详解】解：， ①②得：，， ①②得：，， ． 故答案为：． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数z，得到关于x、y的方程组，再进一步解答，即可得答案． 【详解】解：， ①②得：④， ①③得：⑤， ⑤④得：， 解得：， 把代入⑤得：， 把，代入③得：， ∴方程组的解为：． 5．（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 6．（22-23七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，通过解方程组求出的值，再代入中求解即可． 【详解】解：，得： ； 解得：； ∵的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 3．（20-21七年级下·浙江台州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用等式性质将①变形即可． 【详解】解：由①得：， 故选：C． 4．（18-19七年级下·浙江杭州·期中）若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B． 5．（18-19七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的方程组     给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可． 此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解． 【详解】解： 得：， 即， 把代入①得：， 当，即时，， 把代入， 此时， ∴，不是方程组的解；选项①错误； 假设x与y互为相反数，， 无解，选项②正确； 当时，代入，中， 解得， 代入中，成立， ∴也是方程的解，选项③正确； 由x与y都为自然数， ∴，都为自然数， ∴， 解得， ，为整数，故和为偶数， 为奇数， ∴， 自然数解有4对，选项④正确． ∴不正确结论的个数为1个； 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江·月考）关于x，y的方程组，下列说法正确的是________（填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若，满足方程组，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，先根据加减消元法解方程求出，的值，然后代入代数式计算即可．掌握解二元一次方程的方法（代入消元法、加减消元法）是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∴， 即的值为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； 其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 把两个方程相加并整理，可以得出，从而可得，即可判断①，当时，原方程组的解满足，而方程的解满足，即可判断②，先解方程组，可得，然后再计算的值，即可判断③，将方程组中的字母消去，即可判断④． 【详解】解：， ①②得：， ， ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，即， ， ， 则第一个结论正确， ②原方程组的解满足：， 当时，， 而当时，方程的解满足， 则第二个结论不正确， ③， 解得：， ， 无论取什么实数，的值始终不变， 则第三个结论正确， ④， 由方程②得：③， 把方程③代入方程①得： ， 解得：， 则第四个结论正确， 正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知方程组的解满足方程，则______ ． 【答案】 【分析】解出已知方程组中x，y的值代入方程即可． 【详解】解：∵， 解得：， 代入方程， 得， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 10．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则__________． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （4）根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （2）解：方程组可整理为， 得：，解得：， 把代入②，得， 所以方程组的解是． （3）解：， 得：，即③， 得：， 得：， 则方程组的解为． （4）解：， 得：④， 得：⑤， 得：，即， 把代入④得：， 把，代入③得：， 则方程组的解为 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 解二元一次方程（组） 考点一：代入消元法解二元一次方程组 1、消元思想： 将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。 2、代入消元法： 将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。 3、代入消元法的具体步骤： （1） 变形：即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来。 （2） 代入：将变形得到的式子代入另一个方程。得到消元后的一元一次方程。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。 考点二：加减消元法解二元一次方程组 1、加减消元法： 在二元一次方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程分别 相减或相加就能消除这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 2、加减消元法的具体步骤： （1） 变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数。 （2） 加减：当方程组中同一个未知数的系数化相等时，则把两个方程相减，当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时，则把两个方程相加。消元得到一元一次方程。 （3） 求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值。 （4） 回代：将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。 考点三：三元一次方程（组）的定义 1、三元一次方程的定义： 含有3个未知数且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2、三元一次方程组的定义： 方程组中含有3个未知数，含未知数的项的次数都是1且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。 考点四：解三元一次方程组 1、基本思想： 三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程。 2、基本步骤： （1） 变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。 （2） 求解：求解二元一次方程组。 （3） 回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。 （4） 求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。 （5） 写解：用写出方程组的解。 题型一：代入消元法 1. 从方程组中选一个系数较简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。 2. 将得到的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。 5. 将解写成 ( (x, y) ) 的形式。 1. 代入时符号错误，特别是移项时忘记变号。 2. 代入后未化简直接计算，导致计算复杂。 3. 解出一个未知数后忘记代入求另一个未知数。 4. 最终结果未写成有序数对形式。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·浙江温州·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）由方程组，可得出x与y的关系是_______． 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 题型二：加减消元法 1. 将方程组中的两个方程化为 ( ax + by = c ) 的形式。 2. 观察同一未知数的系数，若相等或互为相反数，直接相加或相减消去一个未知数。 3. 若系数不相等，则找一个未知数的最小公倍数，将两个方程两边同时乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数。 4. 相加或相减消去一个未知数，解出一元一次方程。 5. 代入求另一个未知数，写出解。 1. 乘数时只乘一边，忘记两边同时乘。 2. 相加或相减时符号出错，特别是相减时忘记减整个方程。 3. 选择消去的未知数不合适，导致计算复杂。 4. 解出一个未知数后，代入原方程时选错方程，导致计算错误。 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 2．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）解方程组：． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）解方程组：． 5．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）解下列方程组： (1)； (2)． 题型三：二元一次方程组的特殊解法 1. 整体代入法：当一个式子整体出现时，可将其看作一个整体代入。 2. 换元法：设 ( m = ax + by )，( n = cx + dy )，将原方程组转化为关于 ( m )、( n ) 的方程组。 3. 参数法：设 ( x = kt )，( y = mt ) 等形式，代入求解。 4. 轮换对称法：若方程组具有对称性，可考虑相加、相减或设 ( x + y = u )，( xy = v ) 等技巧。 1. 换元后忘记回代求 ( x )、( y )。 2. 整体代入时，忽略代入后方程的化简。 3. 对特殊结构不敏感，强行用普通解法增加计算量。 4. 对称性方程组中，忽略 ( x = y ) 这种特殊情况。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 2．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为__________． 4．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 题型四：构造二元一次方程组求解 1. 根据题意设出未知数，一般设两个未知数。 2. 找出题目中的等量关系，列出两个方程。 3. 将方程联立成方程组。 4. 选择合适的方法（代入或加减）解方程组。 5. 检验解是否符合题意。 1. 设未知数时未明确含义，导致列式混乱。 2. 等量关系找不全或找错，只列出一个方程。 3. 解出方程后未检验是否符合实际意义（如人数不能为负数）。 4. 单位不统一直接列式，导致计算错误。 1．（20-21七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·自主招生）关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 3．（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为_____． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则___________ … … 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 题型五：已知二元一次方程组的解的情况求参数 1. 将解直接代入方程组中的每个方程。 2. 得到关于参数的方程（组）。 3. 解这个方程（组）求出参数的值。 4. 若涉及“无解”“无数解”等情况，需结合系数比例关系分析。 1. 代入时混淆未知数与参数，代入位置错误。 2. 只代入一个方程，忽略另一个方程的条件。 3. 解含参方程时运算错误，导致参数求错。 4. 对“无解”“无数解”的条件理解不清，如忽略的情况。 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为________． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）当_____时，方程组的解、的值互为相反数． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是_______． ①方程组的解也是的解；②x，y值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 6．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 题型六：二元一次方程组的错解复原问题 1. 分析错解的原因：是看错系数、代错方程还是计算错误。 2. 将错解代入错误的方程，得到关于参数的关系式。 3. 将正解代入正确的方程，得到另一组关系式。 4. 联立这些关系式，求出原方程组中的参数或系数。 5. 还原原方程组，求出正确的解。 1. 分不清哪个解对应哪个方程，导致代入错误。 2. 忽略错解满足的是“看错后的方程”，而非原方程。 3. 只求参数，忘记最后要还原方程组并求解。 4. 未明确哪个系数被看错，导致关系式列错。 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 题型七：方程组相同解问题 1. 若两个方程组有相同的解，则这个解同时满足两个方程组中的所有方程。 2. 将解代入第一个方程组，求出未知数的值（或参数的关系）。 3. 将解代入第二个方程组，验证或求出另一个参数。 4. 有时需先解出一个不含参数的方程组，再将解代入含参方程组求参数。 1. 将“有相同解”理解为“方程组相同”，忽略参数的存在。 2. 解出一个方程组的解后，代入另一个方程组时只代一个方程。 3. 未检验解是否同时满足所有方程。 4. 混淆“同解”与“有公共解”的区别。 1．（19-20七年级下·浙江嘉兴·期中）若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是___________． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 5．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 题型八：三元一次方程组的定义及解 1. 三元一次方程组含有三个未知数，每个方程中未知数的次数都是1，且是整式方程。 2. 解三元一次方程组的基本思路是“消元”——先消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3. 常用方法：代入消元法、加减消元法。 4. 解出后代入原方程组检验。 1. 消元时选错未知数，导致计算复杂。 2. 消元后得到的二元一次方程组解错，导致最终答案全错。 3. 解出两个未知数后，忘记代入求第三个未知数。 4. 未检验解是否满足所有方程，特别是分式或含参情况。 1．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则___________． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程组： 5．（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 6．（22-23七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 3．（20-21七年级下·浙江台州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（18-19七年级下·浙江杭州·期中）若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（18-19七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的方程组     给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·浙江·月考）关于x，y的方程组，下列说法正确的是________（填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若，满足方程组，则的值为_______． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； 其中正确的有__________． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知方程组的解满足方程，则______ ． 10．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则__________． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4) 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $