考点03 解二元一次方程组（11大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点03 解二元一次方程组 考点一：消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想 2.消元的基本思路：未知数由多变少 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 考点二：代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代 数式表示出来. （2）代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 （3）求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值. （4）回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。 （5）写解：把求得的x、y的值用大括号“”联立起来，就是方程组的解。 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： （1）找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是土1的）未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简。 （2）在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax +b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 （3）用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单。 考点三：加减消元法 1. 加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘 方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数。 （2）加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 （3）求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值. （4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， （5）写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示。 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： （1）化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. （2）选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 题型一：代入消元法 （1）变形：选一个简单的方程，把一个未知数用另一个未知数表示； （2）代入：把变形后的式子代入另一个方程，消掉一个未知数，变成一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，算出一个未知数的值； （4）回代：把求出来的值代回变形后的式子，算出另一个未知数： （5）写解：把两个未知数的值写成方程组的解． （1）变形时符号搞错； （2）代入时漏括号，把代数式代入时一定要加括号，否则负号会错； （3）解一元一次方程计算错，去括号、合并同类项、系数化1，算错数是最常见的； （4）回代时代错方程，求完一个未知数，要代回最简单的变形式，别代回原式，容易算错； （5）最后解写反、写错格式； （6）以为消掉一个元就结束了，一定要求两个未知数，只算一个不算解完． 【典例精讲】（2025秋•西安期末）解方程组：（用代入消元法）． 【变式训练1】（2025秋•永定区期末）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【变式训练2】（2025春•龙马潭区校级期末）（代入法）． 题型二：加减消元法 （1）整理：把方程组写成标准形式； （2）看系数：找 x 或 y 的系数； （3）扩倍（关键）：系数不一样时，把其中一个或两个方程同乘一个数，让 x 或 y 的系数变成相等或相反； （4）加减消元：两式相加或相减，消掉一个未知数，变成一元一次方程； （5）求解、回代、写解：先求出一个未知数，再代回去求另一个，最后写规范解． （1）扩倍时只给一项乘，其他项不乘，两边每一项都要乘，不能漏； （2）加减时符号搞反，系数相同：相减，系数相反：相加； （3）相减时没给每一项都减，不是只消元那一项减，其余项都要减； （4）去括号忘变号，遇到有括号的相减，极易错号； （5）算出一个未知数就停，不回代，必须求x、y两个值才算完整； （6）方程组没整理成标准形式就加减，要先写成 ax+by=c 的统一格式； （7）最后写解格式不对； （8）小数、分数不会先消分母，有分数要先去分母，再加减，不然计算巨容易错． 【典例精讲】（2025春•江阳区校级月考）用加减法解下列方程组： （4）； （2）． 【变式训练1】（2025春•富县月考）用加减消元法解方程组：． 【变式训练2】（2025春•皮山县月考）用加减消元法解下列方程组： （1）； （2）． 题型三：根据方程特点灵活选用方法解方程组 （1）代入法 适用于一个方程已经写成y = ···或x =···的形式，或者容易整理成该形式的情况； （2）加减法 当两个方程中某个未知数的系数相等或成倍数，或可通过简单乘法变成这样时使用． （1）明明适合代入，非要硬用加减，只要有未知数系数是 1 或 -1，一定要用代入法，最简单、最不容易错； （2）明明适合加减，非要强行变形代入，系数相同、相反、成倍数时，用加减法最快； （3）看到分数、小数就慌，不会先化简，有分数先去分母，有小数先变整数，整理成标准形式再选方法； （4）变形时漏乘、漏项、符号错，不论是代入还是加减，移项、扩倍、去括号都是最容易错的三步． 【典例精讲】（2025秋•蕉岭县期末）解方程组： （1）； （2）． 【变式训练1】（2025秋•东河区期末）已知方程组下列消元过程不正确的是（　　） A．代入法消去a，由②得a＝b+2代入① B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a代入② C．加减法消去a，①+②×2 D．加减法消去b，①+② 【变式训练2】（2025秋•河源期末）求解二元一次方程组： （1）； （2）． 【变式训练3】（2025秋•西安校级期末）解下列方程组： （1）； （2）． 题型四：错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025秋•市北区期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【变式训练1】（2025春•芙蓉区期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 【变式训练2】（2025秋•雁塔区校级期中）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？请试一试． 题型五：二元一次方程组与同类项问题 （1）找指数，看两个同类项里，x 的指数是多少，y 的指数是多少； （2）列方程组，x 的指数相等 → 第一个方程，y 的指数相等 → 第二个方程； （3）解方程组，简单就代入，系数整齐就加减； （4）求结果，算出 x、y（或 a、b），再按题目要求计算． （1）只看字母不看指数，同类项看的是指数相等； （2）指数里有式子不会列方程，直接令指数相等即可； （3）解一元一次方程算错（移项、符号错）； （4）求完 a、b 就停，题目可能还要算 a+b、ab 等； （5）系数不管：同类项和系数无关，只看字母和指数． 【典例精讲】（2025秋•武冈市期末）若与的和是单项式，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 【变式训练1】（2025春•襄城区校级月考）若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•德惠市期中）已知代数式﹣3xn﹣1y3与是同类项，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝1，n＝﹣2 B．m＝﹣1，n＝﹣2 C．m＝1，n＝2 D．m＝﹣2，n＝1 题型六：解方程组时过程出错 根据等式的性质，解方程组、解一元一次方程常见易错点进行分析求解． （1） 移项不变号； （2）去括号忘变号； （3）扩倍时只给一项乘，其余不乘； （4）代入时忘记加括号； （5）加减消元时，只减一项，其余不减； （6）合并同类项算错； （7）系数化1时除反了． 【典例精讲】（2025秋•深圳校级期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 【变式训练1】（2025秋•禅城区期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如下： 解：由①×2得：4x﹣2y＝3③…第一步 ②﹣③，得：x＝1…第二步 把x＝1代入①，得：y＝﹣1…第三步 ∴原方程组的解为第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式训练2】（2025秋•龙岗区校级期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做　 　 法；以上求解步骤中，第一步的依据是　 ． （2）第　 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解：　 ． 解方程组：． 解：①×3，得9x﹣3y＝24，③…第一步 ③﹣②，得﹣y＝4，…第二步 y＝﹣4．…第三步 将y＝﹣4代入①，得x，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 题型七：二元一次方程组与非负性问题 常见的非负性：绝对值、偶次幂、算术平方根，若，则a=b=c=0，即若几个非负数相加等于0，则每一个都必须等于0． （1）看到“非负数”只想到正数； （2）解方程组算错； （3）多个非负数相加． 【典例精讲】（2025秋•和平区期末）若（3x+2y﹣14）2+|2x+y﹣8|＝0，则x+y的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【变式训练1】（2025秋•大英县期末）已知：|x+2y+5|+（x﹣2y﹣2）2＝0，则x2﹣4y2＝　　 ． 【变式训练2】（2025秋•新民市期末）若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　　 ． 题型八：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•大同月考）阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由2×2矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： （1）仿照素材一，用含a的代数式表示： ，若的值为3，则a的值为 ． （2）用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【变式训练1】（2025秋•余江区校级月考）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a． （1）方程2x﹣3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值． 【变式训练2】（2025秋•娄星区期末）新趋势•新定义对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 题型九：整体思想、换元思想解方程组 （1）找整体：在方程组里找相同/相似的代数式； （2）设新元：令这个整体等于m（或n）； （3）换元：把原方程换成只含m、n的简单方程组； （4）先求m、n，再回代求x、y． （1）设完新元忘记回代，只算出m、n就结束； （2）换元时符号写错； （3）解完方程组不检验，容易算错． 【典例精讲】（2025秋•太谷区期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为　 　 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 【变式训练1】．（2025秋•象州县期末）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如x2﹣x＝2，求x2﹣x+186的值．我们不妨将x2﹣x作为一个整体代入，则x2﹣x+186＝2+186＝188． 素材二：已知P（m﹣1，3n+1），其中有理数m，n满足m﹣n＝6，就称点P为“燕南点”．例如要判断点E（3，1）是否为“燕南点”，令，解得，因为m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；再如F（4，﹣2）是否为“燕南点”，令，解得．因为m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； （1）若x2+x＝2，求x2+x+2025的值； （2）请通过计算去判断点M（6，4）是不是“燕南点”． 【变式训练2】（2025秋•左权县期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把x+y＝1看作整体代入①，得5×1﹣x＝3，解得x＝2．将x＝2代入②，得y＝﹣1，所以原方程组的解为． 这种把x+y＝1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【变式训练3】（2025秋•娄底校级期末）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 题型十：同解问题 （1）先找不含参数的方程组，把公共解求出来； （2）这个解就是两个方程组的共同解； （3）把这个解代入带参数的方程里； （4）解出参数． （1）同解指的是解完全相同，不是方程相同； （2）一定先解“全是数字”的那个方程组； （3）解出来必须同时代入两个含参方程； （4）算参数时移项、符号最容易错． 【典例精讲】（2025春•华蓥市期末）已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求方程组的解； （2）求a，b的值． 【变式训练1】（2024春•丰泽区校级期中）已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【变式训练2】（2024春•沙坪坝区校级月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． （1）求m，n的值． （2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值． 【变式训练3】（2024秋•东城区校级期末）小聪研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．回答以下问题： （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　 ； （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 题型十一：整数解 （1）先正常解方程组，把方程组解出来，用一个字母表示另一个字母； （2）抓关键条件：整数，让表示 x、y 的式子结果是整数； （3）用“整除”来分析； （4）列出所有可能，再筛选． （1）解方程组出错，后面全错； （2）找因数找不全，漏掉负数； （3） 只看y是整数，不检验x（必须都为整数）； （4）参数有范围时忘记筛选； （5）把整除关系搞反． 【典例精讲】（2025春•莆田期中）方程组有正整数解，则整数k的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1】（2025秋•亳州期末）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 【变式训练2】（2025秋•江北区校级月考）设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，若x，y满足，那么x+y的值是（　　） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【变式训练3】（2025秋•龙泉驿区期末）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 1．（2025秋•象州县期末）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 2．（2025春•孝南区期末）若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则ab＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣3 3．（2025秋•介休市期末）适合二元一次方程2x+y＝0和2x﹣y＝4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y 2 0 ﹣2 ﹣4 表2 x ﹣1 0 1 2 y ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 A． B． C． D． 4．（2025秋•明水县期末）若x、y满足5|x+y﹣3|+（x﹣2y）2＝0，则有（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•南明区期末）解方程组：，下列做法正确的是（　　） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．①+②，消去x D．①+②，消去y 6．（2025秋•薛城区期末）已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 7．（2025秋•九江月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 8．（2025秋•厦门月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（2025春•九龙坡区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 10．（2025秋•山西期末）若方程的解满足x+y＝2024，则k＝　 　 ． 11．（2025秋•东莞市期末）若单项式﹣2xm﹣ny3与﹣5x6y2m+n是同类项，则这两个单项式的和是　 　． 12．（2025秋•海淀区校级期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有　 　 个． 方案一：要消去x，可以将①×3+②×5； 方案二：要消去x，可以将①×5﹣②×3； 方案三：要消去y，可以将①×2﹣②； 方案四：要消去y，可以将①×2+②． 13．（2025秋•太和县期末）若实数x，y满足方程组，则3x2﹣3y2的值为　 　 ． 14．（2025秋•罗湖区校级期末）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：ad﹣bc，例如3×8﹣5×6＝﹣6．若1，3，则　 　． 15．（2025秋•市南区期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解； ④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　 　 ．（填序号） 16．（2025秋•桥西区期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，若a、b是关于m、n的二元一次方程组的解，则a2﹣b2＝　 　 ． 17．（2025春•长春期末）用代入消元法解方程组． 18．（2025秋•介休市期末）解方程组： （1）； （2）． 19．（2025秋•邵阳县期末）解方程组： （1）； （2）． 20．（2025秋•织金县期末）已知是二元一次方程组的解，求a+2b的值． 21．（2025秋•海原县校级期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b．解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 22．（2025春•聊城期中）是否存在一个数a，使关于x，y的方程组的解满足x﹣2y+1＝0？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 23．（2025秋•石城县期末）定义：如果两个关于x的方程形如ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程3x﹣1＝0与方程x﹣3＝0互为“反对方程”． （1）若关于x的方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　 ． （2）若关于x的方程3x+2m+1＝0与方程5x﹣2n+1＝0互为“反对方程”，求（m+n）2026的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 24．（2025秋•宝安区校级期末）请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 25．（2025•拱墅区校级二模）对于关于二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 26．（2025春•番禺区校级期中）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+3y＝10的所有正整数解． （2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值． 27．（2025春•南昌期末）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“郡麓点”．例如：点E（3，1）令，得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“郡麓点”；点F（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“郡麓点”． （1）请判断点A（7，1）是否为“郡麓点”； （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“郡麓点”，求t的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点D（x，y）是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 解二元一次方程组 考点一：消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想 2.消元的基本思路：未知数由多变少 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 考点二：代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代 数式表示出来. （2）代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 （3）求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值. （4）回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。 （5）写解：把求得的x、y的值用大括号“”联立起来，就是方程组的解。 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： （1）找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是土1的）未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简。 （2）在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax +b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 （3）用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单。 考点三：加减消元法 1. 加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘 方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数。 （2）加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 （3）求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值. （4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， （5）写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示。 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： （1）化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. （2）选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 题型一：代入消元法 （1）变形：选一个简单的方程，把一个未知数用另一个未知数表示； （2）代入：把变形后的式子代入另一个方程，消掉一个未知数，变成一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，算出一个未知数的值； （4）回代：把求出来的值代回变形后的式子，算出另一个未知数： （5）写解：把两个未知数的值写成方程组的解． （1）变形时符号搞错； （2）代入时漏括号，把代数式代入时一定要加括号，否则负号会错； （3）解一元一次方程计算错，去括号、合并同类项、系数化1，算错数是最常见的； （4）回代时代错方程，求完一个未知数，要代回最简单的变形式，别代回原式，容易算错； （5）最后解写反、写错格式； （6）以为消掉一个元就结束了，一定要求两个未知数，只算一个不算解完． 【典例精讲】（2025秋•西安期末）解方程组：（用代入消元法）． 【分析】由①得出x＝5﹣y③，把③代入②得出5﹣y﹣2y＝2，求出y，再把y＝1代入③求出x即可． 【解答】解：， 由①得：x＝5﹣y③， 把③代入②，得5﹣y﹣2y＝2， 解得：y＝1， 把y＝1代入③，得x＝5﹣1＝4， 所以原方程组的解是． 【变式训练1】（2025秋•永定区期末）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【分析】（1）由②得出x＝1﹣5y③，把③代入①得出2（1﹣5y）+3y＝﹣19，求出x，再把y＝3代入③求出x即可； （2）由①得出x＝3+2y③，把③代入②得出3（3+2y）﹣8y＝13，求出y，再把y＝﹣2代入③求出x即可． 【解答】解：（1）， 由②，得x＝1﹣5y③， 把③代入①，得2（1﹣5y）+3y＝﹣19， 解得：y＝3， 把y＝3代入③，得x＝﹣14， 所以方程组的解是； （2）， ②×12得，3y+3＝4x+8③， 由①得，3y＝2x﹣1④， 把④代入③得，2x﹣1+3＝4x+8， 解得，x＝﹣3， ∴y， 所以方程组的解是． 【变式训练2】（2025春•龙马潭区校级期末）（代入法）． 【分析】利用代入消元法求解即可． 【解答】解：， 由①得x＝8﹣3y， 把x＝8﹣3y代入②得，5（8﹣3y）﹣3y＝4， 解得y＝2， 把y＝2代入x＝8﹣3y，得x＝2， 方程组的解为． 题型二：加减消元法 （1）整理：把方程组写成标准形式； （2）看系数：找 x 或 y 的系数； （3）扩倍（关键）：系数不一样时，把其中一个或两个方程同乘一个数，让 x 或 y 的系数变成相等或相反； （4）加减消元：两式相加或相减，消掉一个未知数，变成一元一次方程； （5）求解、回代、写解：先求出一个未知数，再代回去求另一个，最后写规范解． （1）扩倍时只给一项乘，其他项不乘，两边每一项都要乘，不能漏； （2）加减时符号搞反，系数相同：相减，系数相反：相加； （3）相减时没给每一项都减，不是只消元那一项减，其余项都要减； （4）去括号忘变号，遇到有括号的相减，极易错号； （5）算出一个未知数就停，不回代，必须求x、y两个值才算完整； （6）方程组没整理成标准形式就加减，要先写成 ax+by=c 的统一格式； （7）最后写解格式不对； （8）小数、分数不会先消分母，有分数要先去分母，再加减，不然计算巨容易错． 【典例精讲】（2025春•江阳区校级月考）用加减法解下列方程组： （4）； （2）． 【分析】（1）直接利用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：3x＝3， 解得x＝1， 把x＝1代入方程①，得：y＝﹣2， 所以解是：． （2）由整理得， ①+②得6x＝13， 解得：， 把代入方程①，得：， 所以这个方程组的解是：． 【变式训练1】（2025春•富县月考）用加减消元法解方程组：． 【分析】运用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①×2，得6x+4y＝20，③ ③+②，得13x＝52， ∴x＝4， 将x＝4代入①，得3×4+2y＝10， ∴y＝﹣1， ∴． 【变式训练2】（2025春•皮山县月考）用加减消元法解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可； （2）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， ①+②，得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得2+2y＝3， 解得：， ∴方程组的解为； （2）， ①+②，得3x＝9， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得3+y＝4， 解得：y＝1， ∴方程组的解为． 题型三：根据方程特点灵活选用方法解方程组 （1）代入法 适用于一个方程已经写成y = ···或x =···的形式，或者容易整理成该形式的情况； （2）加减法 当两个方程中某个未知数的系数相等或成倍数，或可通过简单乘法变成这样时使用． （1）明明适合代入，非要硬用加减，只要有未知数系数是 1 或 -1，一定要用代入法，最简单、最不容易错； （2）明明适合加减，非要强行变形代入，系数相同、相反、成倍数时，用加减法最快； （3）看到分数、小数就慌，不会先化简，有分数先去分母，有小数先变整数，整理成标准形式再选方法； （4）变形时漏乘、漏项、符号错，不论是代入还是加减，移项、扩倍、去括号都是最容易错的三步． 【典例精讲】（2025秋•蕉岭县期末）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， ②﹣①得：x＝3， 将x＝3代入①得y＝﹣2， 所以方程组的解是； （2）， 整理得：， ①+②得：4x＝﹣4， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得y＝1， 所以方程组的解为． 【变式训练1】（2025秋•东河区期末）已知方程组下列消元过程不正确的是（　　） A．代入法消去a，由②得a＝b+2代入① B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a代入② C．加减法消去a，①+②×2 D．加减法消去b，①+② 【分析】根据代入法和加减法的步骤，逐项判断即可． 【解答】解：∵代入法消去a，由②得a＝b+2代入①， ∴选项A不符合题意； ∵代入法消去b，由①得b＝7﹣2a代入②， ∴选项B不符合题意； ∵加减法消去a，①﹣②×2，不是①+②×2， ∴选项C符合题意； ∵加减法消去b，①+②， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•河源期末）求解二元一次方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）第一个方程的x系数为1，适合用代入消元法：先通过第一个方程用含y的式子表示x，再代入第二个方程求出y的值，最后反代求x； （2）两个方程的未知数系数均不为1，适合用加减消元法：通过给方程两边同乘适当的数，使x的系数相同，再通过方程相减消去x，先求出y的值，再代入求x． 【解答】解：（1）， 由①得，x＝y+1③， 将③代入②得：5（y+1）+2y＝5， 解得y＝0， 将y＝0代入③得x＝1， 所以方程组的解为； （2）， ①×3，得6x+9y＝36③， ②×2，得6x+4y＝26④， ③﹣④，得5y＝10， 解得y＝2， 将y＝2代入①得x＝3， 所以方程组的解为． 【变式训练3】（2025秋•西安校级期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据代入消元法求解即可； （2）将原方程组整理后根据加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 由①得：y＝3+x③， 将③代入②得7x﹣5（3+x）＝9， 解得：x＝12， 将x＝12代入③得y＝3+12＝15， ∴原方程组的解为：； （2）将原方程组整理得：， ①﹣②得：2y＝﹣4， 解得：y＝﹣2， 将y＝﹣2代入①得2x+5×（﹣2）＝8， 解得：x＝9， ∴原方程组的解为：． 题型四：错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025秋•市北区期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【分析】根据方程组解的定义以及二元一次方程组的解法进行计算即可． 【解答】解：∵甲看错了方程①中的a，解得， ∴是方程②的解， 即7a+2b＝13③， ∵乙看错了方程②中的b，解得， ∴是方程①的解， 即3a﹣2b＝7④， ③+④得，10a＝20， 解得a＝2， 把a＝2代入③得，14+2b＝13， 解得b， 答：a＝2，b． 【变式训练1】（2025春•芙蓉区期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【解答】解：把代入方程组得： 把代入ax+by＝2得：﹣3a﹣2b＝2， 把含a，b的方程联立方程组得， 解得：， 由﹣c﹣7＝3，得到c＝﹣10， 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•雁塔区校级期中）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？请试一试． 【分析】根据题意得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值． 【解答】解：由题意得， 6﹣2b＝14，b＝﹣4； ﹣2a﹣3＝﹣5，a＝1， ， 解得，． 题型五：二元一次方程组与同类项问题 （1）找指数，看两个同类项里，x 的指数是多少，y 的指数是多少； （2）列方程组，x 的指数相等 → 第一个方程，y 的指数相等 → 第二个方程； （3）解方程组，简单就代入，系数整齐就加减； （4）求结果，算出 x、y（或 a、b），再按题目要求计算． （1）只看字母不看指数，同类项看的是指数相等； （2）指数里有式子不会列方程，直接令指数相等即可； （3）解一元一次方程算错（移项、符号错）； （4）求完 a、b 就停，题目可能还要算 a+b、ab 等； （5）系数不管：同类项和系数无关，只看字母和指数． 【典例精讲】（2025秋•武冈市期末）若与的和是单项式，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 【分析】根据题意，利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值． 【解答】解：根据题意得：， ①+②得：3a＝9，即a＝3， 把a＝3代入②得：b＝0， 则a+b＝3， 故选：C． 【变式训练1】（2025春•襄城区校级月考）若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，再根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项， 则m＝4，n＝2， 所以方程组为， 把①代入②，得2×4y+y＝8， 解得y， 把y代入①，得x， 所以方程组的解为， 故选：A． 【变式训练2】（2025春•德惠市期中）已知代数式﹣3xn﹣1y3与是同类项，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝1，n＝﹣2 B．m＝﹣1，n＝﹣2 C．m＝1，n＝2 D．m＝﹣2，n＝1 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知n﹣1＝m，m+n＝3， 解得m＝1，n＝2． 故选：C． 题型六：解方程组时过程出错 根据等式的性质，解方程组、解一元一次方程常见易错点进行分析求解． （1） 移项不变号； （2）去括号忘变号； （3）扩倍时只给一项乘，其余不乘； （4）代入时忘记加括号； （5）加减消元时，只减一项，其余不减； （6）合并同类项算错； （7）系数化1时除反了． 【典例精讲】（2025秋•深圳校级期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 【分析】（1）根据解方程组的过程判断即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）小明的做法从第1步开始出现错误； 故答案为：1； （2）， ①﹣②得x+y＝4③，③×3得3x+3y＝12④， ①+④得7x＝21， 解得x＝3， 将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1， 所以原方程组的解为． 【变式训练1】（2025秋•禅城区期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如下： 解：由①×2得：4x﹣2y＝3③…第一步 ②﹣③，得：x＝1…第二步 把x＝1代入①，得：y＝﹣1…第三步 ∴原方程组的解为第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【分析】根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【解答】解：在上述过程中，第二步是消元，消元的依据是等式的基本性质． 小明的解答不正确，对①式2x﹣y＝3，两边乘以2时，右边的3也需要乘以2． 正确的解答过程： ， ①×2，得4x﹣2y＝6③， ②﹣③，得x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①，得2×（﹣2）﹣y＝3， 解得：y＝﹣7， ∴方程组的解为． 【变式训练2】（2025秋•龙岗区校级期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做　 　 法；以上求解步骤中，第一步的依据是　 ． （2）第　 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解：　 ． 解方程组：． 解：①×3，得9x﹣3y＝24，③…第一步 ③﹣②，得﹣y＝4，…第二步 y＝﹣4．…第三步 将y＝﹣4代入①，得x，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 【分析】（1）根据题干中解方程组的步骤即可得出答案； （2）根据题干中解方程组的步骤判断即可； （3）将错误步骤改正并进行正确的解答即可． 【解答】解：（1）由解方程组的步骤可得这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式性质2， 故答案为：加减消元；等式性质2； （2）由解方程组的步骤可得第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3）①×3得：9x﹣3y＝24③， ③﹣②得：y＝4， 将y＝4代入①得3x﹣4＝8， 解得：x＝4， 则原方程组的解为， 故答案为：． 题型七：二元一次方程组与非负性问题 常见的非负性：绝对值、偶次幂、算术平方根，若，则a=b=c=0，即若几个非负数相加等于0，则每一个都必须等于0． （1）看到“非负数”只想到正数； （2）解方程组算错； （3）多个非负数相加． 【典例精讲】（2025秋•和平区期末）若（3x+2y﹣14）2+|2x+y﹣8|＝0，则x+y的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（3x+2y﹣14）2+|2x+y﹣8|＝0， ∴， ①﹣②得：x+y＝6． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•大英县期末）已知：|x+2y+5|+（x﹣2y﹣2）2＝0，则x2﹣4y2＝　　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+2y+5|+（x﹣2y﹣2）2＝0， ∴， ∴x，y， ∴x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）10． 故答案为：﹣10． 【变式训练2】（2025秋•新民市期末）若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　　 ． 【分析】根据非负数的性质可得，解出m和n的值即可解答． 【解答】解：∵|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0， ∴， 解得， ∴m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 题型八：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•大同月考）阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由2×2矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： （1）仿照素材一，用含a的代数式表示： ，若的值为3，则a的值为 ． （2）用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【分析】（1）根据二阶行列式的法则即可得，再建立一个关于a的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据克莱姆法则分别求出D，Dx，Dy的值，由此即可得． 【解答】解：（1）， ∵的值为3， ∴21﹣2a＝3， 解得a＝9， 故答案为：21﹣2a，9． （2）用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． ， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 【变式训练1】（2025秋•余江区校级月考）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a． （1）方程2x﹣3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值． 【分析】（1）根据题意写出方程2x﹣3y＝4的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程ax+by＝c“变更方程”，解得x的值，再根据a+b+c＝0求得y的值，将其代入mx+ny＝p中得到m，n，p的关系，然后将其代入（m+n）m﹣p（n+p）+2026中计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可得方程2x﹣3y＝4的“变更方程”为4x﹣3y＝2， ∴得 解得 故答案为：； （2）根据题意可得ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a， ∴得 解得． ∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b， ∴， 即， ∵是二元一次方程mx+ny＝p的一个解， ∴﹣m﹣n＝p， 即m+n＝﹣p， ∴（m+n）m﹣p（n+p）+2026 ＝﹣pm﹣p（n﹣m﹣n）+2026 ＝﹣pm+pm+2026 ＝2026， 即代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值为2026． 【变式训练2】（2025秋•娄星区期末）新趋势•新定义对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【分析】（1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意可知，对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）方程组的解具有“邻好关系”， 理由如下： 解方程组， 解得， 再代入|x﹣y|＝1，符合条件， ∴方程组的解x，y具有“邻好关系”； （3）解方程组得， ∵方程组的解x，y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1， ∴|m+1﹣（2m﹣4）|＝1，即|5﹣m|＝1， ∴5﹣m＝1或5﹣m＝﹣1， ∴解得：m＝4或6． 题型九：整体思想、换元思想解方程组 （1）找整体：在方程组里找相同/相似的代数式； （2）设新元：令这个整体等于m（或n）； （3）换元：把原方程换成只含m、n的简单方程组； （4）先求m、n，再回代求x、y． （1）设完新元忘记回代，只算出m、n就结束； （2）换元时符号写错； （3）解完方程组不检验，容易算错． 【典例精讲】（2025秋•太谷区期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为　 　 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 【分析】（1）观察方程组中x+y和x﹣y重复出现，设x+y＝m，x﹣y＝n，将原方程组转化为关于m和n的新方程组．用加减消元法解新方程组，先消去n求出m，再代入求n．回代m和n，得到关于x和y的方程组，用加减消元法求出x和y． （2）发现方程组中3x+2y和4x﹣y重复出现，设3x+2y＝a，4x﹣y＝b，转化为关于a和b的新方程组．用代入消元法解新方程组，先由一个方程表示b，再代入另一个方程求a，进而求b．回代a和b，得到关于x和y的方程组，用代入法求出x和y． 【解答】解：（1）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为： ； 故答案为：； 得：， 即， 两式相加可得：2x＝16，x＝8， 两式相减可得：2y＝4，y＝2， 所以方程组的解是：； （2）设3x+2y＝m，4x﹣y＝n， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【变式训练1】．（2025秋•象州县期末）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如x2﹣x＝2，求x2﹣x+186的值．我们不妨将x2﹣x作为一个整体代入，则x2﹣x+186＝2+186＝188． 素材二：已知P（m﹣1，3n+1），其中有理数m，n满足m﹣n＝6，就称点P为“燕南点”．例如要判断点E（3，1）是否为“燕南点”，令，解得，因为m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；再如F（4，﹣2）是否为“燕南点”，令，解得．因为m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； （1）若x2+x＝2，求x2+x+2025的值； （2）请通过计算去判断点M（6，4）是不是“燕南点”． 【分析】（1）将x2+x＝2整体代入该代数式进行计算求解； （2）根据题目定义，先求得对应的m，n的值，再计算m﹣n对结果是否为6即可． 【解答】解：（1）∵x2+x＝2， ∴x2+x+2025 ＝2+2025 ＝2027； （2）由题意得， 解得， ∴m﹣n＝7﹣1＝6， ∴点M（6，4）是“燕南点”． 【变式训练2】（2025秋•左权县期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把x+y＝1看作整体代入①，得5×1﹣x＝3，解得x＝2．将x＝2代入②，得y＝﹣1，所以原方程组的解为． 这种把x+y＝1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【分析】先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【解答】解：方程组整理得， 由②得3x﹣4y＝10③， 将③整体代入，得， 解得：x＝﹣2， 将x＝﹣2代入③，得3×（﹣2）﹣4y＝10， 解得：y＝﹣4， ∴原方程组的解为． 【变式训练3】（2025秋•娄底校级期末）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 【分析】（1）变形①先求出x﹣y的值，把x﹣y的值代入②再求出y；最后代入求出x； （2）变形①先求出2x﹣3y的值，把x﹣y的值代入②再求出y；最后代入求出x； （3）利用①+2×②先求出x2+4y2的值，再代入求出xy的值，最后求出代数式的值． 【解答】解：（1）， 由①，得x﹣y＝1③， 把③代入②，得 4×1﹣y＝5， 解得 y＝﹣1． 把 y＝﹣1 代入①，得 x＝0． 所以原方程组的解为． 故答案为：． （2）， 由①，得2x﹣3y＝2③， 把③代入②，得2y＝9， ∴y＝4． 把y＝4代入③，得2x﹣3×4＝2， ∴x＝7． ∴原方程组的解为． （3）， ①+2×②，得7x2+28y2＝119， ∴x2+4y2＝17③． 把③代入②，得2×17+xy＝36， ∴xy＝2． ∴x2+4y2﹣xy＝17﹣2＝15． 题型十：同解问题 （1）先找不含参数的方程组，把公共解求出来； （2）这个解就是两个方程组的共同解； （3）把这个解代入带参数的方程里； （4）解出参数． （1）同解指的是解完全相同，不是方程相同； （2）一定先解“全是数字”的那个方程组； （3）解出来必须同时代入两个含参方程； （4）算参数时移项、符号最容易错． 【典例精讲】（2025春•华蓥市期末）已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求方程组的解； （2）求a，b的值． 【分析】（1）根据同解方程的含义可得，再利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程ax+y＝6和方程x+by＝0，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由同解方程的含义可得：， ①+②，得5x＝15， 解得：x＝3， 将x＝3代入①，得3×3﹣y＝7，解得y＝2， ∴方程组的解为； （2）把x＝3，y＝2代入方程ax+y＝6和方程x+by＝0中， 可得：， 解得：． 【变式训练1】（2024春•丰泽区校级期中）已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到，解之即可得到答案． 【解答】解：， ①+②得：5x＝15，解得x＝3， 把x＝3代入①得：2×3﹣y＝7，解得y＝﹣1， ∴方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴是方程组得解， ∴， 解得． 【变式训练2】（2024春•沙坪坝区校级月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． （1）求m，n的值． （2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值． 【分析】（1）把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解m，n，从而可得答案． （2）把m，n的值代入求出代数式的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， ①×2+②×3：19x＝38， ∴x＝2， 把x＝2代入①：y＝1， ∴ 把代入得， 解得：； （2）把代入3m﹣2mn+m2﹣1得： 原式＝3﹣2×3+1﹣1＝3﹣6+1﹣1＝﹣3． 题型十一：整数解 （1）先正常解方程组，把方程组解出来，用一个字母表示另一个字母； （2）抓关键条件：整数，让表示 x、y 的式子结果是整数； （3）用“整除”来分析； （4）列出所有可能，再筛选． （1）解方程组出错，后面全错； （2）找因数找不全，漏掉负数； （3） 只看y是整数，不检验x（必须都为整数）； （4）参数有范围时忘记筛选； （5）把整除关系搞反． 【典例精讲】（2025春•莆田期中）方程组有正整数解，则整数k的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】利用加减消元法得到y＝﹣1，再由方程组有正整数解，可确定k+2＝1或k+2＝4或k+2＝2，求出k的值即可． 【解答】解：， ①﹣②得，（k+2）y＝6﹣k， 解得y1， ∵方程组有正整数解， ∴k+2＝1或k+2＝4或k+2＝2， 解得k＝﹣1或k＝2或k＝0， ∴整数k有3个， 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•亳州期末）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 【分析】通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【解答】解：， 由②得，y＝2x， 把y＝2x代入①得，kx+2x＝5， （k+2）x＝5， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即k+2是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴k+2＝1或k+2＝5， ∴k＝﹣1或k＝3， 当k＝﹣1时，﹣k2+1＝﹣（﹣1）2+1＝﹣1+1＝0， 当k＝3时，﹣k2+1＝﹣32+1＝﹣9+1＝﹣8， ∴﹣k2+1的值为0或﹣8． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•江北区校级月考）设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，若x，y满足，那么x+y的值是（　　） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，通过方程组分析出x是整数，在分析y，得出x和y的值即可得出结论． 【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，由方程组得出x是整数， 即 ∴2y﹣[y]＝2， 当y＝2时，x＝1满足方程组得出x+y＝3， 当y＝1.5时，x＝2满足方程组得出x+y＝3.5， 故选：C． 【变式训练3】（2025秋•龙泉驿区期末）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【分析】根据加减法，可得（2a+1）y＝﹣5，根据a是正整数、y的值是整数，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案 【解答】解：①×2﹣②式，得 （2a+1）y＝﹣5． ∵a是正整数，y为整数 ∴2a+1＝5，y＝﹣1， 解得：a＝2． 此时，x＝2，符合题意． ∴a＝2． 1．（2025秋•象州县期末）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， 由①，得y＝2x﹣5， 或由②，得x＝10﹣3y， 故选：B． 2．（2025春•孝南区期末）若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则ab＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣3 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知a﹣b＝2，a+b＝4， 解得a＝3，b＝1， ∴ab＝3． 故选：B． 3．（2025秋•介休市期末）适合二元一次方程2x+y＝0和2x﹣y＝4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y 2 0 ﹣2 ﹣4 表2 x ﹣1 0 1 2 y ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 A． B． C． D． 【分析】观察表格中的数据，两个方程的公共解即为方程组的解． 【解答】解：由表格可知方程组的解是， 故选：C． 4．（2025秋•明水县期末）若x、y满足5|x+y﹣3|+（x﹣2y）2＝0，则有（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得． 故选：C． 5．（2025秋•南明区期末）解方程组：，下列做法正确的是（　　） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．①+②，消去x D．①+②，消去y 【分析】利用代入消元法和加减消元法，对各个选项的做法进行判断即可． 【解答】解：∵①代入②得：2y+1﹣y+1＝0，y+2＝0， ∴消去了x， ∴A选项的做法正确，B选项的做法错误； ∵①+②得：2x＝3y，不能消x和y， ∴C，D选项的做法均错误， 故选：A． 6．（2025秋•薛城区期末）已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 【分析】通过加减消元法，直接计算m+n的值，即可． 【解答】解：， ①﹣②得，2m﹣m﹣n+2n＝3﹣7， 解得：m+n＝﹣4． 故选：A． 7．（2025秋•九江月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 【分析】根据小明同学的解正确，求出c，得到关于a，b的方程，根据小红同学看错了c，得到满足方程ax+by＝3，得到关于a，b的方程，进而得到关于a，b的方程组，进行求解即可． 【解答】解：把代入方程5x﹣cy＝1中，得5×2﹣3c＝1， 解得c＝3， 把代入方程ax+by＝3中，得2a+3b＝3， 把代入ax+by＝3，得3a+6b＝3，即a+2b＝1， 联立得， 解得； 所以a＝3，b＝﹣1，c＝3； 故选：B． 8．（2025秋•厦门月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可． 【解答】解：， 由①得：， 将③代入②得：， 去分母得：40﹣10y﹣9y＝6， 解得：， 将代入③，解得：， ∴丙在去分母的时候出现了错误， 故选：C． 9．（2025春•九龙坡区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】先利用加减消元法进而方程组，得出，然后再根据x，y均为整数，得出k的值即可． 【解答】解：， ②×3，得6x+3y＝﹣6③， ①﹣③，得（k﹣6）x＝8， 解得：， ∵x，y均为整数， ∴k﹣6必须是8的因数，8的因数有：±1，±2，±4，±8共8个， ∴k＝6±1，k＝6±2，k＝6±4，k＝±8， ∴k＝7，5，8，4，10，2，14，﹣2共8个． 故选：D． 10．（2025秋•山西期末）若方程的解满足x+y＝2024，则k＝　2025　 ． 【分析】将方程组的两个方程相加得5x+5y＝5k﹣5，化简可得x+y＝k﹣1，又由x+y＝2024得到k﹣1＝2024，求解即可解答． 【解答】解：， ①+②得，5x+5y＝5k﹣5， ∴x+y＝k﹣1， ∵x+y＝2024， ∴k﹣1＝2024， ∴k＝2025． 故答案为：2025． 11．（2025秋•东莞市期末）若单项式﹣2xm﹣ny3与﹣5x6y2m+n是同类项，则这两个单项式的和是　﹣7x6y3 ． 【分析】根据同类项的概念求出m，n的值，根据合并同类项法则进行计算即可． 【解答】解：根据题意可知，， 解得：， ∴这两个单项式为：﹣2x6y3，﹣5x6y3， ∴﹣2x6y3+（﹣5x6y3）＝﹣7x6y3． 故答案为：﹣7x6y3． 12．（2025秋•海淀区校级期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有　1　 个． 方案一：要消去x，可以将①×3+②×5； 方案二：要消去x，可以将①×5﹣②×3； 方案三：要消去y，可以将①×2﹣②； 方案四：要消去y，可以将①×2+②． 【分析】根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【解答】解：方案一：要消去x，可以将①×3﹣②×5，故方案一错误； 方案二：要消去x，可以将①×3﹣②×5，故方案二错误； 方案三：要消去y，可以将①×2+②，故方案三错误； 方案四：要消去y，可以将①×2+②，故方案四正确， 综上所述，消元方案中正确的个数有1个． 故答案为：1． 13．（2025秋•太和县期末）若实数x，y满足方程组，则3x2﹣3y2的值为　5　 ． 【分析】先解方程组，再把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：， ①×3，得3x﹣3y＝3③， ②+③，得6x＝8， 解得x， 把x代入①，得y， 所以方程组的解是， ∴3x2﹣3y2 ＝3（x2﹣y2） ＝3（x+y）（x﹣y） ＝5， 故答案为：5． 14．（2025秋•罗湖区校级期末）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：ad﹣bc，例如3×8﹣5×6＝﹣6．若1，3，则　2　 ． 【分析】由新定义可得方程组：，利用加减消元法解方程组求出x，y的值．再由新定义运算得出：3x﹣2y，把x，y的值代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴可得方程组：， ①×3，得6x﹣3y＝3③， ③﹣②，得2x＝0， ∴x＝0， 把x＝0代入①，得0﹣y＝1， ∴y＝﹣1． ∴． 故答案为：2． 15．（2025秋•市南区期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解； ④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　②③④　 ．（填序号） 【分析】先求出方程的解，然后根据二元一次方程的解的意义进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：， 解得：， 若方程组的解互为相反数，则x+y＝0， 即2kk0， 解得：k， 故①不正确； 若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20， ∴4（2k）+3（k）＝20， 解得：k＝﹣2， 故②正确； 当k＝1时，x，y， 把x，y代入方程3y﹣x＝k+1， ∵左边＝32，右边＝1+1＝2， ∴左边＝右边， ∴当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解， 故③正确； 当时， 10y﹣5x＝10（k）﹣5（2k） ＝10k+4﹣10k﹣1 ＝3， ∴无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值， 故④正确； 所以，上列说法，其中正确的有②③④， 故答案为：②③④． 16．（2025秋•桥西区期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，若a、b是关于m、n的二元一次方程组的解，则a2﹣b2＝　2　 ． 【分析】利用换元法解方程即可． 【解答】解：设x＝a+b，y＝a﹣b，则关于m、n的二元一次方程组化为组， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴ ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2． 故答案为：2． 17．（2025春•长春期末）用代入消元法解方程组． 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， 由①，得x＝2+y③， 把③代入②，得2（2+y）+y＝4， 解得y＝0， 把y＝0代入③，得x＝2， 所以方程组的解是． 18．（2025秋•介休市期末）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， ①+②，得5x＝10， 解得 x＝2， 将x＝2代入②，得2﹣2y＝4， 解得y＝﹣1， 所以方程组的解为； （2）， ①×2，得6x+4y＝10③， ②+③，得8x＝24， 解得x＝3， 将x＝3代入①，得3×3+2y＝5， 解得y＝﹣2， 所以方程组的解为． 19．（2025秋•邵阳县期末）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【解答】解：（1）， 原方程可化为， ①﹣②得﹣y＝0， ∴y＝0， 把y＝0代入①，得0﹣x＝1， ∴x＝﹣1， ∴原方程的解为； （2）． 原方程可化为， ②×5+①得46y＝46， ∴y＝1， 把y＝1代入②得﹣x+9＝2， ∴x＝7， ∴原方程的解为． 20．（2025秋•织金县期末）已知是二元一次方程组的解，求a+2b的值． 【分析】将代入方程组得，②﹣①即可求解． 【解答】解：根据题意可知，， 整理，得， ②﹣①，得a+2b＝1． 故a+2b的值为1． 21．（2025秋•海原县校级期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b．解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【分析】利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解a、b． 【解答】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得， ∵甲看错了方程①中的a， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得b＝3； ∵乙看错了方程②中的b， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 3a﹣7＝5，解得a＝4； ∴a＝4，b＝3． 22．（2025春•聊城期中）是否存在一个数a，使关于x，y的方程组的解满足x﹣2y+1＝0？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 【分析】利用加减消元法求出，再把，代入x﹣2y+1＝0中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：关于x，y的方程组， 解方程组得， 将代入x﹣2y+1＝0， 得a+3﹣2（a﹣2）+1＝0， 解得a＝8， ∴当a＝8时，方程组的解满足x﹣2y+1＝0． 23．（2025秋•石城县期末）定义：如果两个关于x的方程形如ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程3x﹣1＝0与方程x﹣3＝0互为“反对方程”． （1）若关于x的方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　5　 ． （2）若关于x的方程3x+2m+1＝0与方程5x﹣2n+1＝0互为“反对方程”，求（m+n）2026的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”3x﹣c＝0与c•x﹣3＝0的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【解答】解：（1）∵方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”， ∴c＝5． 故答案为5； （2）根据题意可知，方程3x+2m+1＝0可变为3x﹣（﹣2m﹣1）＝0， 方程5x﹣2n+1＝0可变为5x﹣（2n﹣1）＝0， ∴， 解得：， ∴（m+n）2026＝（﹣3+2）2026＝1； （3）3x﹣c＝0的“反对方程”为c•x﹣3＝0， 由3x﹣c＝0得，， 由c•x﹣3＝0，得， ∵3x﹣c＝0与c•x﹣3＝0的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当c＝3时，，，都为整数， 当c＝﹣3时，，，都为整数， ∴c的值为±3． 24．（2025秋•宝安区校级期末）请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，得出，解得即可． 【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n， 则原方程组可变形为， 用加减消元法解得：， ∴， 解得：， ∴原方程组的解为． 25．（2025•拱墅区校级二模）对于关于二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【分析】根据解二元一次方程组的步骤进行计算． 【解答】解：不同意他的结论，理由如下：， ①×k﹣②得（k2﹣1）y＝kb﹣b， ②×k﹣①得（k2﹣1）x＝kb﹣b， 当k2﹣1≠0，即k≠±1时，x＝y， 则当k≠±1时，无论b为何值，x与y的值相等； 当k＝﹣1且b≠0时，方程组无解． 故不同意小聪的结论． 26．（2025春•番禺区校级期中）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+3y＝10的所有正整数解． （2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值． 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入2x﹣3y+mx+2＝0进行计算即可． 【解答】解：（1）方程x+3y＝10的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入2x﹣3y+mx+2＝0得，8﹣6+4m+2＝0， 解得m＝﹣1． 27．（2025春•南昌期末）阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“郡麓点”．例如：点E（3，1）令，得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“郡麓点”；点F（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“郡麓点”． （1）请判断点A（7，1）是否为“郡麓点”； （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“郡麓点”，求t的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点D（x，y）是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，再求出m﹣n，进行判断即可； （2）先解方程组，求出x，y，再根据新定义列出关于m，n的方程组，求出m，n，再根据新定义列出关于t的方程，解方程即可； （3）先解方程组，求出x，y，再根据新定义列出关于m，n的方程组，求出m，n，再根据新定义列出关于a，b的二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【解答】解：（1）点A（7，1）， ∴， 解得：， ∵m﹣n＝8≠6， ∴A（7，1）不是“郡麓点”； （2）， ①+②得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， ∵点是“郡麓点”， ∴， ∴， ∵m﹣n＝6， ∴， 3（t+5）﹣（1﹣t）＝54， 3t+15﹣1+t＝54， 4t+14＝54， 4t＝40， t＝10， ∴t的值为10． （3）， ①+②得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， ∵点是“郡麓点”， ∴， ∴， ∵m﹣n＝6， ∴， 解得， ∵a，b为正整数， ∴或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $