6.4.3.1余弦定理 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.1余弦定理知识归纳与试题检测(学生版) 【1】教材知识归纳 1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 __________，__________，__________． 变形 ；； 2．常用结论 _______是______________； ________是______________； ________是______________． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 3．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 5．某人向正东方向走了后，向右转，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．5 6．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 8．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，已知，，，则a的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C． D．C为钝角 11．分别为内角的对边．已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．钝角三角形的三边是三个连续的自然数，则该三角形的周长为_________． 13．若为的内角，且，则是_________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）. 14．在中，角的对边分别是，且满足，若，则的最小值为______. 四、解答题 15．证明余弦定理：在中，角A，B，C的对边为a，b，c，则. 16．在中，已知，，，求，和． 17．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 18．在中，，判断的形状． 19．已知，，，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3.1余弦定理知识归纳与试题检测(详解版) 【1】教材知识归纳 1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 __________，__________，__________． 变形 ；； 【答案】 2．常用结论 _______是______________； ________是______________； ________是______________． 【答案】 > 锐角 = 直角 < 钝角 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 2．在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、余弦定理及辨析、向量的模 【分析】利用充分、必要性的定义，结合余弦定理判断题设条件间的推出关系，即可知答案． 【详解】若时，， 所以为钝角三角形； 若为钝角三角形，则不一定为钝角， 所以不一定小于零，即不一定成立， 所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选：A． 3．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理求出，再由向量的数量积公式计算即可. 【详解】， . 故选:B 4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 5．某人向正东方向走了后，向右转，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．5 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】由题意得，解得或， 故选：C． 6．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 7．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 8．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 二、多选题 9．在中，已知，，，则a的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【知识点】余弦定理及辨析、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求解a的值，再验证. 【详解】在中，已知，， 由余弦定理得：，即， 整理得：，解得：或 当时，是底角为的等腰三角形，符合； 当时，是以的直角三角形，符合； 故选：AB 10．在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C． D．C为钝角 【答案】AC 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设，应用余弦定理及得，且，求得，进而依次判断各项的正误. 【详解】在和中，设，则，， 又因为，可得，化简为①， 在中，②， 由①②，可得，因此，， 在中，，又，所以C为锐角. 故选：AC 11．分别为内角的对边．已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】余弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据余弦定理以及基本不等式求得正确答案. 【详解】由余弦定理得． 当且仅当时等号成立， 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD 三、填空题 12．钝角三角形的三边是三个连续的自然数，则该三角形的周长为_________． 【答案】9 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】由钝角三角形的三边是三个连续的自然数，不妨设三边长分别为，其中是最大的边，若三角形为钝角三角形，则所对的角必为钝角，只要根据余弦定理的推论，由其余弦值小于零，构造一个关于的不等式，解不等式即可求出满足条件的的值 【详解】解：设三边长分别为，则所对的角必为三角形中最大的角， 若三角形为钝角三角形，则， 解得， 因为，所以或， 当时，三边长分别为1，2，3不能构成三角形， 当时，三边长分别为2，3，4，能构成三角形， 所以三角形的三边长分别为2，3，4，则周长为9， 故答案为：9 13．若为的内角，且，则是_________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）. 【答案】锐角 【知识点】余弦定理及辨析、余弦定理解三角形 【分析】由已知条件可得，，，即可求解. 【详解】因为， 若、、中有两个小于则出现两个角是钝角，与三角形内角和为矛盾， 所以，，， 所以都是锐角， 所以是“锐角”三角形， 故答案为：锐角. 14．在中，角的对边分别是，且满足，若，则的最小值为______. 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理及辨析、向量加法的法则、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件，利用降幂升角及辅助角公式得到，进而得到，由，得到，再利用余弦定理得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又，得，又， 由余弦定理， 得到，当且仅当时取等号， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．证明余弦定理：在中，角A，B，C的对边为a，b，c，则. 【答案】证明见解析 【知识点】余弦定理及辨析、向量减法的法则、数量积的运算律 【分析】建立图象，把用进行线性表示，两边平方化简即可. 【详解】如图. 设，， 则 所以 所以 16．在中，已知，，，求，和． 【答案】，， 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】由余弦定理得：， ， ， ， 又， ，， ，，． 17．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 18．在中，，判断的形状． 【答案】直角三角形 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】先由化简题设条件，再由余弦定理角化边整理即可求解. 【详解】，∴原式可化为， 由余弦定理可得， 整理得，即， 或， 故一定为直角三角形． 19．已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】思路一：由余弦定理，构造一个三角形，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；思路二：由放缩结合三角形两边之和大于第三边即可得证. 【详解】证法1：由余弦定理可构造， 使，，，， 则， 同理得，. 由三角形两边之和大于第三边，可得， 即. 证法2：由a，b，c为正数， 知，， 相加得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $