专题05 平面向量的应用-正弦﹑余弦定理（七大题型）专项训练-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

专题05 平面向量的应用-正弦﹑余弦定理 【题型1 余弦定理解三角形】 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【题型3 正弦定理解三角形】 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 【题型5 三角形面积公式及其应用】 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 【题型7 向量在平面几何中的应用问题】 【题型1 余弦定理解三角形】 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 2．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 3．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算公式即可得解. 【详解】由余弦定理得． 故选：A. 4．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 5．在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 【答案】(1)7 (2), 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）利用余弦定理求出得，再根据可得答案. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）由余弦定理得，即， 解得（负值舍去），所以，即， 所以. 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 1．在中，，判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】先由化简题设条件，再由余弦定理角化边整理即可求解. 【详解】，∴原式可化为， 由余弦定理可得 ， 整理得，即， 或， 故一定为直角三角形． 2．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 3．在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 5．记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 【题型3 正弦定理解三角形】 1．已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，即， ，又， 或． 故选：BC． 2．在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 / 【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 3．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，， ，． ，． ． 由正弦定理知， ． 故答案为： 4．（1）在中，已知，，，解三角形． （2）在中，已知，，，解三角形． 【答案】（1），，；（2），，. 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，正弦定理求得边，勾股定理可得边. （2）使用三角形内角和及正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由，，得.由正弦定理，可得， 在中，． （2）∵，，∴， 由，得，， 所以， ∴，，. 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 1．在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 2．在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 3．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 4．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用正弦函数的单调性求解； （2）由求得，根据余弦定理求得，再由正弦定理求得答案. 【详解】（1）由，，得，， 所以的单调递增区间是. （2）由题知，，而，则， 由，得，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径. 【题型5 三角形面积公式及其应用】 1．在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三边的数量关系，进而根据余弦定理求出，求出结果. （2）根据三角形中线的向量表示，求出三边的关系，进而求出的值，再根据正弦面积公式，求出结果即可. 【详解】（1）由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. （2） 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. 2．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【分析】由三角形面积公式得的面积，由的面积是的面积的2倍，求得的面积. 【详解】因为，，， 所以. 又D是的中点，所以． 故答案为：. 3．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由余弦定理得，解得，再根据计算即可． 【详解】由余弦定理得， 所以的面积为． 故选：A． 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）应用正弦定理得出结合角的范围得出角； （2）应用正弦定理得出，再得出等腰直角三角形，最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， ， ， ， ， ； （2）由正弦定理：，     ， 又， 所以是等腰直角三角形，所以 . 6．在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1)1. (2) 【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径； （2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 1．已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【详解】（1）由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 2．在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【详解】（1）由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． （2）因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 3．在中，，． (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合题意可得答案； （2）由，可得，结合（1）与可得，然后由余弦定理可得，最后由三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）由正弦定理边角互化，， 因在三角形中，，则，结合， 可得； （2）因，，则. 由（1），则，则. 由余弦定理：， 则，从而. 4．在中，设角的对边分别为，且 (1)若，求b； (2)若的面积为求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，又得，最后利用余弦定理即可求解； （2）由的面积为得，由余弦定理得，即可求，进而求得的周长. 【详解】（1）由有，又，所以， 又由余弦定理有，所以， 即； （2）由题意有，所以， 又由余弦定理有，所以， 所以，所以， 所以， 所以的周长为. 【题型7 向量在平面几何中的应用问题】 1．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证，只需证. （2）由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以， 即，所以. （2）由题意， ， 由勾股定理可得， 所以. 2．如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得； （2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． （2）由图知， ， 即的余弦值为. 3．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 4．如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量的应用-正弦﹑余弦定理 【题型1 余弦定理解三角形】 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【题型3 正弦定理解三角形】 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 【题型5 三角形面积公式及其应用】 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 【题型7 向量在平面几何中的应用问题】 【题型1 余弦定理解三角形】 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 2．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 3．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 5．在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 1．在中，，判断的形状． 2．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 5．记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【题型3 正弦定理解三角形】 1．已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则__________，的面积__________． 3．在中，已知，，，则__________． 4．（1）在中，已知，，，解三角形． （2）在中，已知，，，解三角形． 5．设中，，则（    ） A． B． C． D． 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 正弦定理求外接圆半径】 1．在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 2．在中，，则其外接圆的半径为___________． 3．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 4．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径. 【题型5 三角形面积公式及其应用】 1．在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 2．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 3．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若，，求的面积. 6．在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【题型6 正弦和余弦定理的综合应用】 1．已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 2．在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 3．在中，，． (1)求； (2)若，求的面积. 4．在中，设角的对边分别为，且 (1)若，求b； (2)若的面积为求的周长． 【题型7 向量在平面几何中的应用问题】 1．在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 2．如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 3．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 4．如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 1 学科网（北京）股份有限公司 $