第2章 二元一次方程组基础巩固自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

第2章 二元一次方程组基础巩固自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 2．方程有一组解是，则a的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】把解代入方程解答即可． 本题考查了方程的解，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：方程有一组解是， 故， 解得， 故选：B． 3．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 【答案】A 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组时，直接将①代入②得到的值，进而得到的值． 因此较为简单的方法是代入法． 故选：A． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 6．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可． 【详解】解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 故选：D． 7．《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组． 根据每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得 故选A． 8．下列是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程解的意义，解题关键是理解二元一次方程解的意义． 将各选项的x和y代入方程，验证是否满足． 【详解】解：方程的解需满足左边代数式的值等于右边。逐一验证选项： 代入得，左边=，左边右边，故A不符合； 代入得，左边=，左边右边，故B不符合； 代入得，左边=，左边=右边，故C符合； 代入得，左边=，左边右边，故D不符合， 故选：C． 9．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 10．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：∵长方形的周长为64，， ∴． 设小长方形的长为x，宽为y，依题意得， ， 解得， ∴图中阴影部分面积． 故选：B． 11．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 12．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．请写出二元一次方程的一个正整数解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解 任意给定一个y的正整数值，然后求得对应的x值，确保x也是正整数即可． 【详解】解：当时，， 解得， 因此是方程的一个正整数解． 故答案为：（答案不唯一）． 14．写出一个解是的二元一次方程组：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了行程问题，设飞机无风时的速度为；平均风速为，根据顺风和逆风所需时间找出等量关系求解即可. 【详解】解：飞机无风时的速度为；平均风速为， 则 解得 无风时飞机的平均速度是 故答案为： ． 16．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减法消元解二元一次方程组，解题关键是掌握加减法消元． （1）直接利用加减法求解； （2）先将第1个方程变形后，再利用加减法求解． 【详解】（1）解： 得，解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为； （2） ，得， ，得，解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为． 18．（8分）某科技体验馆为升级体验项目，采购虚拟现实（）相关设备．已知采购1个头盔和1副手柄共需花费1000元；采购6个头盔和3副手柄，共花费4200元．请求出头盔和手柄的单价． 【答案】VR头盔单价为400元，VR手柄单价为600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组求解．设VR头盔单价为x元，VR手柄单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设VR头盔单价为x元，VR手柄单价为y元，则由题意，得 ，解得， 答：VR头盔单价为400元，VR手柄单价为600元． 19．（8分）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值． 【详解】解：①②得：， ①②得：， 代入中，得：， 解得：． 则． 20．（8分）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】（1）将点代入方程，即可解答． （2）将点代入方程，得再代入，即可解答． 【详解】（1）将点代入方程，得， 解得． （2）由题意得：，，b，c为正整数， ∴或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键 21．（10分）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得： ∴， 22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 23．（10分）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 24．（10分）阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）解： 得：， 故答案为：； （2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴（元）． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 二元一次方程组基础巩固自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．方程有一组解是，则a的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 5．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 6．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 7．《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．下列是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 9．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在周长为64的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积S为（） A． B． C． D． 11．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．请写出二元一次方程的一个正整数解：________． 14．写出一个解是的二元一次方程组：______． 15．地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是________ ． 16．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 18．（8分）某科技体验馆为升级体验项目，采购虚拟现实（）相关设备．已知采购1个头盔和1副手柄共需花费1000元；采购6个头盔和3副手柄，共花费4200元．请求出头盔和手柄的单价． 19．（8分）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 20．（8分）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 21．（10分）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 23．（10分）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 24．（10分）阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $