专题02 新定义现场学习题（3题型1重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题02 新定义现场学习题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 三大题型分类 【考点02】 核心重难考点 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】运算规则固化 + 方程化求解 【题型02】图形建模 + 轨迹分析 + 临界求解 【题型03】函数定义转化 + 图像分析 + 联立求解 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】综合压轴类 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 1. 新运算与代数规律 · 自定义运算、差倒数、关联数、特征数 · 考点：代入计算、方程求解、规律周期、参数范围 2. 新几何点 / 线 / 图形 · 等距点、对垂点、倍加点、伴侣三角形、邻等对补四边形等 · 考点：全等、相似、勾股、垂直、平行、轨迹、最值 3. 函数新定义（压轴高频） · 新函数、关联点、零和点、子抛物线、“友好点” · 考点：解析式、图像、交点、判别式、参数范围 5. 分类讨论（失分重灾区） · 位置分类：上 / 下、左 / 右、内 / 外、线段 / 直线 · 大小分类：a＞b、a＝b、a＜b · 状态分类：相交、相切、相离 6. 存在性与最值 · 是否存在点 / 直线 / 图形满足定义 · 最值：几何最短路径、二次函数顶点、临界位置 关键能力与思维瓶颈 1. 三大关键能力 1. 现场学习能力：当场看懂、当场会用 2. 等价转化能力：新定义 ↔ 旧知识 3. 严谨推理能力：不跳步、不漏情况、不超范围 2. 学生典型思维瓶颈 1. 读不懂定义：只看名词，不抓条件，一用就错 2. 不会符号化：文字堆在脑子里，写不出式子 3. 分类就漏：只想到一种情况，丢一半分 4. 不敢联立：几何不敢建系，函数不敢列方程 5. 验证缺失：算出答案不回代定义，增根 / 错解多 命题前瞻与备考策略 1.总体趋势 · 难度稳定在压轴题，区分度高，是拉分题 · 阅读量适中，重思维轻计算 · 强调现场学习、迁移应用、逻辑严谨 2. 三类最可能考的结构 1. 代数新定义新运算 + 方程 + 不等式 + 规律探究 2. 几何新定义新点 / 新四边形 + 轨迹 + 存在性 + 最值 3. 函数综合新定义一次 / 二次函数 + 新点 + 坐标 + 参数范围 3. 命题 “套路”（固定三段式） · 第 (1) 问：直接套用定义，送分保底 · 第 (2) 问：初步应用 + 找规律 / 找性质，承上启下 · 第 (3) 问：综合 + 动态 + 分类讨论，真正压轴 4.考场万能解题模板（直接背） 1. 圈：圈出新名词、条件、范围 2. 译：翻译成式子 / 图形 3. 代：代入小问验证理解 4. 联：联立方程 / 函数 / 几何性质 5. 分：按位置 / 大小分类 6. 验：回代定义检验 ◇考点 01 三大题型分类 题型 核心特征 2026 高频考点 典型示例 代数运算类 定义新运算符号 / 规则，转化为代数式 / 方程 新运算化简、方程求解、参数范围、规律探究 差倒数、自定义运算（a※b=ax+by）、“和谐数” 几何概念类 定义新图形 / 点 / 线 / 关系，转化为几何性质 特殊四边形、新定义点（对垂点 / 等距点）、轨迹、最值 邻等对补四边形、伴侣矩形、“对垂点” 函数综合类 定义新函数 / 点 / 关系，结合一次 / 二次函数 新函数图像、交点、存在性、参数范围、最值 子抛物线、“零和点”、创新函数 ◇考点 02 核心重难考点 1.分类讨论（综合题必考点） 分类依据模糊：新定义常隐含参数范围、位置关系、大小关系（如 a≥b 与 a<b 的新运算）。 讨论不全面：动点 / 动图场景下，漏临界情况（如直线与圆相切、线段端点）。 分类标准混乱：同一题用多个标准分类，导致重复 / 遗漏。 2.模型迁移与综合应用 无法关联旧知识：新定义本质是旧知识的包装（如 “差直三角形”→直角三角形性质，“子抛物线”→二次函数平移 / 对称）。 动态问题建模难：动点轨迹、存在性问题，需结合函数图像、几何图形、方程不等式联立求解。 最值 / 范围求解：新定义下的最值常转化为二次函数最值、几何最短路径、临界位置。 3.逻辑推理与严谨性 忽略定义的适用范围。 证明 / 推导步骤跳跃，无依据（如直接得出结论，未结合定义）。 存在性问题：混淆 “存在一个” 与 “所有”，导致解集错误。 ◇题型 01 运算规则固化 + 方程化求解 方｜法｜提｜练 步骤：写清运算式→代入化简→转化为方程 / 不等式→求解→验证。 难点突破：含参数的新运算，联立方程求参数范围；规律探究题，先算前 3-5 项找周期 / 通项。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例2（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 变式2（2025·河南濮阳·一模）定义新运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 变式3（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 变式4（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． ◇题型 02 图形建模 + 轨迹分析 + 临界求解 方｜法｜提｜练 步骤：画标准图→标注定义条件→转化为几何性质（全等 / 相似 / 勾股 / 坐标）→确定动点轨迹→找临界位置（相切 / 端点 / 重合）→求范围 / 最值。 难点突破：新定义点的轨迹常是直线、圆、线段、抛物线；存在性问题转化为 “图形交点”，联立方程求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川乐山·一模）新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东深圳·二模）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 变式2（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 变式3（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 变式4（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 核将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种图形变换给一个新定义，记为． (1)问题发现 如图①，对作变换得，则 ；直线与直线所夹的锐角度数为 ． (2)拓展探究 如图②，中，且，对作变换得连结，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． (3)问题解决 如图③，中，，对作变换得，若使点在同一直线上，且四边形为矩形，请写出和的值，并写出你的探究过程． ◇题型 03 函数定义转化 + 图像分析 + 联立求解 方｜法｜提｜练 · 步骤：新函数 / 点转化为函数解析式→画图像→结合定义找交点 / 存在性→联立方程 / 不等式→求参数范围 / 最值。 · 难点突破：二次函数新定义（如 “零和点”）→联立 y=ax²+bx+c 与 x+y=0→判别式确定交点个数；新函数图像性质→类比一次 / 二次函数分析单调性、最值 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·山东济南·一模）对于实数a，b，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（   ） ①方程的解为或； ②关于x的方程有三个解，则； ③当时，y随x增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东·二模）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，，则抛物线与轴交点的个数为（　　） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 变式2（2024·山东泰安·二模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 变式3（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4（2025·陕西咸阳·一模）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． ◇重难 01 综合压轴类 方｜法｜提｜练 第 (1) 问：直接应用定义，送分题，确保全对（验证定义理解）。 第 (2) 问：初步应用 + 规律归纳，提炼性质 / 轨迹 / 范围，为第 (3) 问铺垫。 第 (3) 问：综合应用 + 动态分析，结合分类讨论、临界位置、方程函数联立，求最值 / 范围 / 存在性。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 典例2（2025·湖南长沙·二模）新定义：抛物线与x轴交于点、，，与轴交于点．若为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”． (1)抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由． (2)若抛物线是“直角型抛物线”，且，求的值． (3)若抛物线是“直角型抛物线”，的面积为，且函数，当时，的最小值为1，求的值及抛物线的解析式． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 变式2（24-25九年级上·湖南长沙·月考）新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 变式3（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 变式4（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． ◇测能力 1．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 3．（2025·湖南永州·三模）定义一种新运算： 对于任意的非零实数，，定，若定，则的值为__________. 4．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 5．（2026·安徽·一模）新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 6．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 8．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 9．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． ◇提能力 1．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 3．（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：已知是的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求直线上存在的“美点”； (2)求抛物线上存在的“美点”； (3)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求的值； (4)若关于的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 5．（2026·湖北·模拟预测）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求抛物线上存在的“美点”； (2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值； (3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 新定义现场学习题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 三大题型分类 【考点02】 核心重难考点 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】运算规则固化 + 方程化求解 【题型02】图形建模 + 轨迹分析 + 临界求解 【题型03】函数定义转化 + 图像分析 + 联立求解 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】综合压轴类 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 1. 新运算与代数规律 · 自定义运算、差倒数、关联数、特征数 · 考点：代入计算、方程求解、规律周期、参数范围 2. 新几何点 / 线 / 图形 · 等距点、对垂点、倍加点、伴侣三角形、邻等对补四边形等 · 考点：全等、相似、勾股、垂直、平行、轨迹、最值 3. 函数新定义（压轴高频） · 新函数、关联点、零和点、子抛物线、“友好点” · 考点：解析式、图像、交点、判别式、参数范围 5. 分类讨论（失分重灾区） · 位置分类：上 / 下、左 / 右、内 / 外、线段 / 直线 · 大小分类：a＞b、a＝b、a＜b · 状态分类：相交、相切、相离 6. 存在性与最值 · 是否存在点 / 直线 / 图形满足定义 · 最值：几何最短路径、二次函数顶点、临界位置 关键能力与思维瓶颈 1. 三大关键能力 1. 现场学习能力：当场看懂、当场会用 2. 等价转化能力：新定义 ↔ 旧知识 3. 严谨推理能力：不跳步、不漏情况、不超范围 2. 学生典型思维瓶颈 1. 读不懂定义：只看名词，不抓条件，一用就错 2. 不会符号化：文字堆在脑子里，写不出式子 3. 分类就漏：只想到一种情况，丢一半分 4. 不敢联立：几何不敢建系，函数不敢列方程 5. 验证缺失：算出答案不回代定义，增根 / 错解多 命题前瞻与备考策略 1.总体趋势 · 难度稳定在压轴题，区分度高，是拉分题 · 阅读量适中，重思维轻计算 · 强调现场学习、迁移应用、逻辑严谨 2. 三类最可能考的结构 1. 代数新定义新运算 + 方程 + 不等式 + 规律探究 2. 几何新定义新点 / 新四边形 + 轨迹 + 存在性 + 最值 3. 函数综合新定义一次 / 二次函数 + 新点 + 坐标 + 参数范围 3. 命题 “套路”（固定三段式） · 第 (1) 问：直接套用定义，送分保底 · 第 (2) 问：初步应用 + 找规律 / 找性质，承上启下 · 第 (3) 问：综合 + 动态 + 分类讨论，真正压轴 4.考场万能解题模板（直接背） 1. 圈：圈出新名词、条件、范围 2. 译：翻译成式子 / 图形 3. 代：代入小问验证理解 4. 联：联立方程 / 函数 / 几何性质 5. 分：按位置 / 大小分类 6. 验：回代定义检验 ◇考点 01 三大题型分类 题型 核心特征 2026 高频考点 典型示例 代数运算类 定义新运算符号 / 规则，转化为代数式 / 方程 新运算化简、方程求解、参数范围、规律探究 差倒数、自定义运算（a※b=ax+by）、“和谐数” 几何概念类 定义新图形 / 点 / 线 / 关系，转化为几何性质 特殊四边形、新定义点（对垂点 / 等距点）、轨迹、最值 邻等对补四边形、伴侣矩形、“对垂点” 函数综合类 定义新函数 / 点 / 关系，结合一次 / 二次函数 新函数图像、交点、存在性、参数范围、最值 子抛物线、“零和点”、创新函数 ◇考点 02 核心重难考点 1.分类讨论（综合题必考点） 分类依据模糊：新定义常隐含参数范围、位置关系、大小关系（如 a≥b 与 a<b 的新运算）。 讨论不全面：动点 / 动图场景下，漏临界情况（如直线与圆相切、线段端点）。 分类标准混乱：同一题用多个标准分类，导致重复 / 遗漏。 2.模型迁移与综合应用 无法关联旧知识：新定义本质是旧知识的包装（如 “差直三角形”→直角三角形性质，“子抛物线”→二次函数平移 / 对称）。 动态问题建模难：动点轨迹、存在性问题，需结合函数图像、几何图形、方程不等式联立求解。 最值 / 范围求解：新定义下的最值常转化为二次函数最值、几何最短路径、临界位置。 3.逻辑推理与严谨性 忽略定义的适用范围。 证明 / 推导步骤跳跃，无依据（如直接得出结论，未结合定义）。 存在性问题：混淆 “存在一个” 与 “所有”，导致解集错误。 ◇题型 01 运算规则固化 + 方程化求解 方｜法｜提｜练 步骤：写清运算式→代入化简→转化为方程 / 不等式→求解→验证。 难点突破：含参数的新运算，联立方程求参数范围；规律探究题，先算前 3-5 项找周期 / 通项。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 典例2（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：，， ， 解得：． 故选：B． 变式2（2025·河南濮阳·一模）定义新运算：．例如：．则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：方程化为， 一元二次方程化为一般式为， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 变式3（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 【答案】 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 变式4（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 【答案】 117 665 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． ◇题型 02 图形建模 + 轨迹分析 + 临界求解 方｜法｜提｜练 步骤：画标准图→标注定义条件→转化为几何性质（全等 / 相似 / 勾股 / 坐标）→确定动点轨迹→找临界位置（相切 / 端点 / 重合）→求范围 / 最值。 难点突破：新定义点的轨迹常是直线、圆、线段、抛物线；存在性问题转化为 “图形交点”，联立方程求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川乐山·一模）新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线的表达式为，直线的表达式为， 联立，解得：， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离，为的长， ∵， ∴，即：， ∴， ∵在直线上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴； 过点作，则：， ∴， ∴， ∵点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴当点在线段上时，点P到直线OD的距离最小， ∴； 故选B． 典例2（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线新定义：我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： (1)解答过程中“依据”的内容是______． (2)请将解答过程补充完整． (3)如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 【详解】（1）解：解答过程中“依据”的内容是：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故答案为：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上； （2）是的角平分线， ， ，即． 线段，是的等角线； （3）如图：过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ，． 又，线段，是的等角线． ， 平分， 又， ， ，，， ， ． ，， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东深圳·二模）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 【详解】解：（）∵，，， ∴， 故答案为： （）由题意可得：， 则，， ∵， ∴， 解得：； （）如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：，， ∴，， ∴是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线、、、构成内半角时，的值为或或或． 变式2（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 变式3（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 变式4（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 核将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种图形变换给一个新定义，记为． (1)问题发现 如图①，对作变换得，则 ；直线与直线所夹的锐角度数为 ． (2)拓展探究 如图②，中，且，对作变换得连结，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． (3)问题解决 如图③，中，，对作变换得，若使点在同一直线上，且四边形为矩形，请写出和的值，并写出你的探究过程． 【详解】（1）解：∵作变换得， ∴，绕点逆时针方向旋转，即旋转角， ∴ ∴ ∴ 设、与直线分别 交于点D、E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角度数等于旋转角度数． 故答案为：；． （2）解：∵作变换得， ∴， ， ， ， 相似比， ， ， 延长交于，如图， 设交于． ， ， ，直线与直线相交所成的较小角的度数为． （3）解：， 理由：四边形为矩形， ， ， ，则， ， ， 在中，， ∴， ∴， ， 的值为2． ◇题型 03 函数定义转化 + 图像分析 + 联立求解 方｜法｜提｜练 · 步骤：新函数 / 点转化为函数解析式→画图像→结合定义找交点 / 存在性→联立方程 / 不等式→求参数范围 / 最值。 · 难点突破：二次函数新定义（如 “零和点”）→联立 y=ax²+bx+c 与 x+y=0→判别式确定交点个数；新函数图像性质→类比一次 / 二次函数分析单调性、最值 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 典例2（2025·山东济南·一模）对于实数a，b，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（   ） ①方程的解为或； ②关于x的方程有三个解，则； ③当时，y随x增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在方程中， 当时，即，则， 解得：或， 当时，即，则， 解得：或（都不符合题意，舍去）， ∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确； 当时，即，则，即， 当时，即，则，即， 如图，当时，方程有三个解，故结论②错误；    函数中， 当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确； 当时，函数，函数没有最大值，故结论④错误， 综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东·二模）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，，则抛物线与轴交点的个数为（　　） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【详解】解：由题意可知，，， ， 令，则， ， 抛物线与轴交点的个数为有两个交点， 故选：B． 变式2（2024·山东泰安·二模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 【答案】C 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A错误； 由图象可得，函数没有最大值，故B错误； 如图，当时，直线， 当时，，当时，，则， 即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图， 此时直线与该图象恰有三个公共点， 故C正确； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误， 故选：C． 变式3（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F， 则； 分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q， 则，， ∴， ∴， 即； 令，解得：， ∴； 当时，，即； ∴； 而抛物线的对称轴为直线， 当时，，即；当时，，即； ∴； ∴； 故选：D． 变式4（2025·陕西咸阳·一模）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． ◇重难 01 综合压轴类 方｜法｜提｜练 第 (1) 问：直接应用定义，送分题，确保全对（验证定义理解）。 第 (2) 问：初步应用 + 规律归纳，提炼性质 / 轨迹 / 范围，为第 (3) 问铺垫。 第 (3) 问：综合应用 + 动态分析，结合分类讨论、临界位置、方程函数联立，求最值 / 范围 / 存在性。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【详解】（1）解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点； （2）设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点； （3）①设函数图像上的点， 则点M的2倍横变点N的坐标为， 设，则， 点， ， 函数的2倍横变函数的表达式为：； ②当时，， 整理得：， 解得：，， 折点，， 当直线过点H时， ，， 当直线与在点H下方只有一个交点时， 一元二次方程即：有两个相等的实数根， ， 解得：， 当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是． 典例2（2025·湖南长沙·二模）新定义：抛物线与x轴交于点、，，与轴交于点．若为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”． (1)抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由． (2)若抛物线是“直角型抛物线”，且，求的值． (3)若抛物线是“直角型抛物线”，的面积为，且函数，当时，的最小值为1，求的值及抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线是“直角型抛物线”，理由如下： 令，则， 解得：，， ，， ， 令，则， ， ，， ， 为直角三角形， 抛物线是“直角型抛物线”． （2）解：令，则， ， 令，则， ，， ， 抛物线是“直角型抛物线”， 为直角三角形，且， ， ， 整理得：， ， 整理得：，， 在中，， ， ， ，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， 或， ，即， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，的值为或． （3）解：抛物线是“直角型抛物线”， 为直角三角形，且， 由（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， 函数的对称轴为， 由题意得，， ①当，即， 当时，取最小值1， 此时， 解得：（舍去）； ②当时，即， 当时，取最小值1， 此时， 解得：（舍去）； ③当，即， 当时，取最小值1， 此时， 解得：， ，， 解得：， 抛物线的解析式为； 综上所述，，抛物线的解析式为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【详解】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 变式2（24-25九年级上·湖南长沙·月考）新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； （2）解：和都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设， ， ， ， 又， ，即， ， 又， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3）解：如图：过点G作交于点I， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知，， ， ， ， ， 在中，． 变式3（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 【详解】（1）解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点、的“合作点”，点， ∴， 由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：， 当时，，即， 点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时，即， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 变式4（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． ◇测能力 1．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 2．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2025·湖南永州·三模）定义一种新运算： 对于任意的非零实数，，定，若定，则的值为__________. 【答案】或 【详解】解：∵定， ∴， ∴ ， 解得：或， 故答案为：或． 4．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 5．（2026·安徽·一模）新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由得且， 对于，判别式，则，由且得， 综上，a的取值范围为， 由，得， 因为，两边同乘得， 两边平方得：， 解得，符合取值范围， 的对称轴为直线， 的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为． 6．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：①∵点重合，， ∴， 把代入，得， 把代入，得， ∴， 化简整理，得， 解得：，． ∴m的值为或2， ②把代入，得， ∴， ∵轴交函数的图象于点， ∴， ∵轴交函数图象于点， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴ ∵， ∴当时， ，， ∵，， ∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为， 此时，面积的最大，最大值； 当时， ， ， ∵，，对称轴为直线， ∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，都取得最大值， 最大值为2，最大值为6， ∴此时，面积的最大，最大值， ∵， ∴存在，面积的最大，最大值为． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是“初始点”，且点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵点是“初始点”， 点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ∴ ∴点对应的“生成点”即 ∵在反比例函数的图象上， ∴， （3）解：∵点是“初始点”， ∴即， ∴点， ∴点对应的“生成点”是点即， ∴， ∴二次函数为常数）化为， ∴为常数）的顶点， ∴顶点的轨迹为：， ∵， ∴， 中，当时，， 把代入一次函数为常数）得 解得 当与只有相切时， ∴， ∴， 解得 如图， 由图形可得 8．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 9．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． 【详解】（1）解：根据表格数据有，抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵由表格数据可知，在对称轴的右侧随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上，； （2）解：由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得，抛物线的解析式为（）； ∴顶点坐标为， 则绕点旋转后的图象为（）， 列表为： x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 3 2 … 描点并连线，得到函数图象为： 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴根据图象可得，直线与“联动函数”G有且只有两个交点， n的取值范围为或或． 故答案为：或或． ◇提能力 1．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【详解】（1）∵“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，   ∴解得   ∴. （2）①证明：将代入，得，   ∴在抛物线上.   ∴该抛物线为“定点抛物线”.   ②∵， ∴抛物线的开口向下.   由①知抛物线经过点   ∴当抛物线的顶点在处时，抛物线的顶点在最低位置.   ∵点在轴上， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.   ∴抛物线上有两点，，且，   ∴当点在对称轴右侧时，则，   当点在对称轴左侧时， ∵，   ∴离对称轴更近， ∴ 解得：，   当点在对称轴上时，则.   综上，当时，的取值范围为． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 3．（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵ ， 即， ∴； ②如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴、、为调和点列； （2）解：①如图，取点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； 或如图， 则 ②如图， 取点，，连接，设，则， ∴， 以为圆心为半径作弧交轴于点，则， 取的中点，则， 取点，则， 以为圆心为半径，在轴上截取， 取的中点，则， ∴， ∴是的黄金分割点， （3）设直线的解析式为，与轴交于点， ∵在左上侧， ∴， 当时，，解得：，即， ∵， ∴，即，则， ∴，， ∵， ∴抛物线开口向上， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 联立， ∴， ， 设， ∴， ∵， ∴，， ∵、；、是调和点列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴不存在，使得、；、是调和点列． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）新定义：已知是的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求直线上存在的“美点”； (2)求抛物线上存在的“美点”； (3)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求的值； (4)若关于的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：， 直线上存在的“美点”是； （2）解：根据题意得 ，即， 解得：或， 抛物线上存在的“美点”是或； （3）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根， ， ，， 两个“美点”的坐标分别为， 两个“美点”之间的距离为， ； 解得：； （4）解：根据题意得方程，即方程只有一个根， ， 解得， ， ，即 解得：， ， ，， ，，， ，， 是直角三角形， ， 为的中点， ， ， 如图，点在中位线上时，作 ，， ， 根据旋转的性质得， ， 点到的距离为； 当点在中位线上时， 点到的距离为； 如图，当点在中位线上时， 点到的距离为， 综上所述，点到的距离为或或． 5．（2026·湖北·模拟预测）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求抛物线上存在的“美点”； (2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值； (3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 【详解】（1）解：根据题意得 ，即， 解得：或， 抛物线上存在的“美点”是或； （2）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根， ， ，， 两个“美点”的坐标分别为， 两个“美点”之间的距离为， ； 解得； （3）解：根据题意得方程，即方程只有一个根， ， 解得， ， ，即 解得：， ， ，， ，，， ，， 是直角三角形， ， 为的中点， ， ， 如图，点在中位线上时，作 ，， ， 根据旋转的性质得， ， 点到的距离为； 当点在中位线上时， 点到的距离为； 如图，当点在中位线上时， 点到的距离为， 综上所述，点到的距离为或或． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $