专题01 力与物体的平衡（复习讲义）（北京专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

专题01 力与物体的平衡 目录 01 2 02 构·知能架构 3 03 破·题型攻坚 4 题型一 受力分析与静态平衡问题 4 真题动向 4 必备知识 9 真题动向 与传统文化结合、与生产生活情境结合 必备知识 知识1 轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧模型分析比较 知识2 活结与死结、动杆与定杆的弹力分析 知识3 摩檫力相关问题的易错点 知识4 共点力平衡问题的常用推论 关键能力 能力1 应用整体法与隔离法的能力 能力2 选择合适的方法处理平衡问题的能力 命题预测 考向1 受力分析及常见共点力平衡问题 考向2 绳、杆类多物体静态平衡问题 考向3 空间类静态平衡问题 题型二 动态平衡及临界、极值问题 15 真题动向 与传统文化结合、与生产生活情境结合 必备知识 知识1 动态平衡问题 知识2 平衡中的临界与极值问题 知识3 摩擦力的突变、极值及临界问题 关键能力 能力1 掌握处理动态平衡问题的基本方法 能力2 解决不同受力情况下的动态平衡问题 能力3 掌握解决极值问题的基本方法 能力4 解决动态平衡及极值问题的必备数学知识 命题预测 考向1 动态平衡问题 考向2 临界、极值问题 题型三 力电综合问题 21 真题动向 与电路分析、传感器及现代科学仪器结合 必备知识 知识1 电、磁场中的力电综合问题概述 关键能力 能力1掌握力电平衡问题的分析思路与解析方法 命题预测 考向1 力电综合问题 考向2 临界、极值问题 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，试题以选择题为主，题目难度中等。命题趋势：从单一物体的分析→多物体的静态平衡→与电磁场结合→在真实生产/生活情境中综合分析物体平衡，倾向于物体的受力分析为出发点，以反映生产生活的常见问题为切入点。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 受力分析与静态平衡问题 北京卷T6，3分 动态平衡及临界、极值问题 力电综合问题 2026命题预测 2026年北京高考物理预计将延续近年来从静态识别向动态建模深化的趋势，重点考查学生在真实或科技情境中的运用动态平衡解析法语正交分解法进行科学推理论证的能力。 题型一 受力分析与静态平衡问题 1．（2025北京·T6·3分）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025陕晋青宁·T4·4分）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 知识1 轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧模型分析比较 轻绳 轻杆 弹性绳 轻弹簧 图示 受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变 受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略 较大，不可忽略 弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以与杆成任意角度 沿着绳，指向绳收缩的方向 沿着弹簧，指向弹簧恢复原长的方向 知识2 活结与死结、动杆与定杆的弹力分析 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “活结”模型 “活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 “晾衣架”中的“活结”问题 1.模型结构示例 2.模型解读 如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。 由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA＝FOB＝F 水平方向：Fsin θ1＝Fsin θ2，结合几何关系知θ1＝θ2＝θ 竖直方向：Fcos θ＋Fcos θ＝mg 故F＝，可知F只与θ有关。 由几何关系：sin θ＝(L为绳的总长)。 可知θ只与两杆之间的水平距离d有关。 3.模型特点：若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变；两杆之间水平距离越远，θ越大，F越大。 知识3 摩檫力相关问题的易错点 1.判断摩擦力有无及方向的三点注意 （1）静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相反，还可能成一定的夹角。 （2）分析摩擦力方向时，要注意静摩擦力方向的“可变性”和滑动摩擦力方向的“相对性”。 （3）受静摩擦力作用的物体不一定是静止的，受滑动摩擦力作用的物体也不一定是运动的。 2.分析计算摩擦力时的三点注意 （1）在确定摩擦力的大小之前，首先分析物体所处的状态，分清其所受的是静摩擦力还是滑动摩擦力。 （2）滑动摩擦力有具体的计算公式，而静摩擦力要借助其他公式判断，如利用平衡条件或牛顿第二定律列方程等。 （3）“Ff=μF压”中F压并不总是等于物体的重力。 知识4 共点力平衡问题的常用推论 1.若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反。 2.若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。 能力1 应用整体法与隔离法的能力 1.整体法与隔离法 整体法 隔离法 研究对象 几个物体组成的一个整体(或系统) 与周围物体分隔开来的物体 选用原则 当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对整体(或系统)的作用时，宜用整体法 在分析整体(或系统)内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法 注意事项 (1)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂的问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法 (2)一般情况下先整体后隔离，即“整体法”优先 (3)在使用隔离法时，优先选择分析受力简单的研究对象 2.应用整体法和隔离法处理平衡问题的基本思路 整体法和隔离法的选择 1.当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。 2.在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。 3.整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。 能力2 选择合适的方法处理平衡问题的能力 1.分析物体静态平衡的三种常用方法 适用条件 注意事项 优点 合成法 物体受三个力作用而平衡 (1)表示三个力大小的线段长度不可随意画 (2)两力的合力与第三个力等大反向 对于物体所受的三个力，有两个力相互垂直或两个力大小相等的平衡问题求解较简单 矢量三 角形法 物体受三个力作用而平衡 把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形 正交分 解法 物体受三个力或三个以上的力作用而平衡 选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的问题求解较方便 2.处理平衡问题的三个技巧 （1）物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。非特殊角时，可考虑用矢量三角形法。 （2）物体受四个或四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。 （3）正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。 考向1 受力分析及常见共点力平衡问题 1．（2025·北京西城·期末）如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。则（　　） A．悬绳对足球的拉力大小为mgcosα B．悬绳对足球的拉力大小为 C．墙壁对足球的支持力大小为mgsinα D．墙壁对足球的支持力大小为mgtanα 考向2 绳、杆类多物体静态平衡问题 2．（2025·北京东城·期末）如图所示，一根不可伸长的轻绳一端固定在左侧铁架台的点，绳子的另一端固定在右侧铁架台的点，滑轮可以在轻绳上自由滑动，重物通过细线悬挂在滑轮上。静止时，两端的轻绳与水平方向的夹角分别为、，不计一切摩擦。两铁架台保持不动，现保持绳长不变，将绳子的最右端缓慢向上移动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．始终与相等，且保持不变 B．始终与相等，且增大 C．绳两端的拉力始终相等，且都增大 D．始终大于，左端绳上的拉力始终小于右端绳上的拉力 考向3 空间类静态平衡问题 3．箩筐挑东西的简化图如图所示，箩筐口是半径为R的圆。箩筐由a、b、c三根长均为2R的绳吊起，且三根绳和箩筐连接点将箩筐口均分为三等份。箩筐及筐中物品的总质量为m，绳的重力不计，若人挑着箩筐静止不动时，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．三根绳对箩筐的作用力为mg，方向竖直向下 B．每条绳的拉力大小为 C．改用更长的三根绳，每条绳上的拉力将不变 D．a、b两绳拉力的合力与c绳的拉力大小相等方向相反 题型二 动态平衡及临界、极值问题 1．（2025河北·T4·4分）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 知识1 动态平衡问题 1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 知识2 平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等 2.临界问题常见的种类: (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷直，拉力F=0。 (3)两个接触的物体分离，弹力FN=0。 3.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 知识3 摩擦力的突变、极值及临界问题 当物体的受力情况发生变化时，摩擦力的大小和方向往往会发生变化，也可能导致静摩擦力和滑动摩擦力之间的相互转化。 1.分析摩擦力突变问题的方法 （1）在涉及摩擦力的情况中，题目中出现“最大”“最小”或“刚好”等关键词时，一般隐藏着摩擦力突变的临界问题。题意中某个物理量在变化过程中发生突变，可能导致摩擦力突变，则该物理量突变时的状态即为临界状态。 （2）存在静摩擦力的情景中，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态。 （3）确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析。 2.常见的摩擦力突变模型： 分类 诠释 “静—静”突变 当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体仍保持静止，而所受静摩擦力发生“突变”，则“突变”点是静摩擦力为零时 “静—动”突变 物体放在粗糙水平面上，作用在物体上的水平力F从零逐渐增大，当物体开始滑动时，物体受水平面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力 “动—静”突变 滑块以v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置时速度减为零而后静止在斜面上，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力 “动—动”突变 某物体相对于另一物体滑动的过程中，若相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变”，“突变”点为两物体相对速度为零时 1.静摩擦力是被动力，其大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩擦力存在最大值。存在静摩擦力的连接系统，相对滑动与相对静止的临界状态是静摩擦力达到最大值。 2.滑动摩擦力的突变问题：滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的正压力均成正比，发生相对运动的物体，如果接触面的动摩擦因数发生变化或接触面受到的正压力发生变化，则滑动摩擦力就会发生变化。 3.研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质发生变化的分界点。 能力1 掌握处理动态平衡问题的基本方法 方法 特点 步骤 解析法 受三个力：一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 受三个力：一个力恒定，一个力方向不变，第三个力大小、方向均变化 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形(三角形)边、角的变化 (2)确定未知量大小、方向的变化 相似三角形法 受三个力:一个力恒定，其他两个力方向均变化，且力构成的矢量三角形与某几何三角形相似 (1)根据已知条件画出某一状态对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式 (2)确定未知量大小的变化情况 辅助圆法 受三个力:一个力大小、方向不变，另两个力方向均改变，但变化的两个力之间的夹角不变 (1)构建力的矢量三角形，以恒定的力为弦作其外接圆 (2)根据两变化力在圆周上移动过程中对应矢量三角形边长长度的变化判断力的大小变化 利用正弦定理法解决动态平衡问题的思路 (1)先受力分析,判断物体受力情况。 (2)作出辅助线构建力的矢量三角形。 (3)分析题目给出的信息,根据正弦定理确定边角关系,再根据角和边的变化情况判断力 的大小变化情况。 能力2 解决不同受力情况下的动态平衡问题 能力3 掌握解决极值问题的基本方法 1.解析法:通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 2.图解法:根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向 一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 能力4 解决动态平衡及极值问题的必备数学知识 1.正弦定理（或拉密定理）在力学中的应用 正弦定理 拉密定理 ===2R （R为△ABC外接圆的半径） 当三个共点力的合力为0时，其中任意一个力与其他两个力的夹角正弦的比值相等，== 其实质为正弦定理的变形 物体受三个共点力平衡，把表示三个力的有向线段作闭合矢量三角形，求某一个力或分析力的变化 直接画出三个合力为0的共点力，应用拉密定理，比正弦定理更加便捷 2.辅助角公式、“摩擦角”法的应用 图示 辅助角公式 “摩擦角”法 物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值 以图甲为例： Fcos θ=μ（mg-Fsin θ） F= cos θ+μsin θ=sin（α+θ） 其中sin α=，cos α= 即tan α=，Fmin= 以图甲为例： 用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，其中FN与Ff的合力方向一定，“摩擦角”φ满足tan φ==μ。 Fmin=mgsin φ，此时拉力F与水平方向夹角θ=φ 考向1 动态平衡问题 1．（2024·北京东城·期末）如图所示，将一个质量为m的钢球放在倾角为的固定斜面上，挡板竖直放置，钢球处于静止状态。现将挡板沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，整个过程中钢球均处于平衡状态。不考虑钢球与斜面、钢球与挡板间的摩擦力。则钢球对挡板的压力大小与对斜面的压力大小的变化情况（　　） A．一直减小，一直增大 B．一直增大，一直减小 C．先减小后增大，一直减小 D．一直减小，先增大后减小 考向2 临界、极值问题 2．（2025·北京·期中）如图所示为机械手抓住篮球的照片。为便于研究，将机械手简化为三根“手指”，且不考虑篮球的明显形变。抓取点等距分布在同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为，“手指”与篮球间的动摩擦因数为，篮球的重力大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力一定变大 B．只要“手指”对篮球的压力足够大，不论取何值都能抓住篮球 C．若与的关系满足，则一定能抓住篮球 D．若能缓慢抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值 题型三 力电综合问题 1．（2025湖南·T5·4分）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 知识1 电、磁场中的力电综合问题概述 其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力解题思路 1.确定研究对象，根据问题选择“整体法”或“隔离法”确定研究对象。 2.受力分析：按照重力、弹力、摩擦力、静电力、安培力……顺序分析力 3.列方程：根据平衡条件（F合=0）列方程。 能力1 掌握力电平衡问题的分析思路与解析方法 1.在库仑力作用下的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下: 2.分析通电导体在磁场中的平衡的思路 (1)选定研究对象，一般为某段导体棒(线框)。 (2)受力分析时，变三维图为二维图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F安⊥B、F安⊥I，如图所示。 (3)列平衡方程进行求解。 3.用“动态圆”思想处理临界、极值问题 （1）“平移圆”模型 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r=，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行或共线 界定方法 将半径r=的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 （2）“旋转圆”模型 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径r=，如图所示 轨迹圆圆 心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径r=的圆上 界定方法 将一半径r=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 （3）“放缩圆”模型 适用 条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 考向1 力电综合问题 1．（2025·北京西城·期中）如图，光滑细杆水平固定放置，带负电的点电荷a固定于杆的上方，两个带正电的小球b，c的质量相等，电荷量均为q，二者均套在杆上保持静止，且不受杆的弹力。若a，b，c两两距离均为L，静电常数为k，重力加速度大小为g，则（　　） A．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 B．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 C．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 D．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 2．如图所示，质量为m、长为l的直导线用两绝缘细线悬挂于O、，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x轴正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为。则下列说法正确的是（　　） A．磁场可以沿x轴方向 B．若磁场的方向沿y轴的正方向，则 C．若磁场的方向沿z轴的负方向，则 D．改变磁场的方向，保持导线位置不变，则磁感应强度的最小值 考向2 临界、极值问题 3.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是（ ） A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合 D.电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同 4.如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP=OS=d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ） A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 【答案】AC 【解析】粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其运动轨迹如图中轨迹1，可知SP为直径，由几何关系得(2R)2=d2+(d)2，得到R=d，由洛伦兹力提供向心力得qvB=，则v=，故A正确;运动周期T=，由几何知识可得，从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t=T=，故B错误;从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x轴相切，粒子的运动轨迹如图中轨迹2，对应的圆心角为270°，得t1=T，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2=T，所以=，故C正确;沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 力与物体的平衡 目录 01 2 02 构·知能架构 3 03 破·题型攻坚 4 题型一 受力分析与静态平衡问题 4 真题动向 4 必备知识 9 真题动向 与传统文化结合、与生产生活情境结合 必备知识 知识1 轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧模型分析比较 知识2 活结与死结、动杆与定杆的弹力分析 知识3 摩檫力相关问题的易错点 知识4 共点力平衡问题的常用推论 关键能力 能力1 应用整体法与隔离法的能力 能力2 选择合适的方法处理平衡问题的能力 命题预测 考向1 受力分析及常见共点力平衡问题 考向2 绳、杆类多物体静态平衡问题 考向3 空间类静态平衡问题 题型二 动态平衡及临界、极值问题 15 真题动向 与传统文化结合、与生产生活情境结合 必备知识 知识1 动态平衡问题 知识2 平衡中的临界与极值问题 知识3 摩擦力的突变、极值及临界问题 关键能力 能力1 掌握处理动态平衡问题的基本方法 能力2 解决不同受力情况下的动态平衡问题 能力3 掌握解决极值问题的基本方法 能力4 解决动态平衡及极值问题的必备数学知识 命题预测 考向1 动态平衡问题 考向2 临界、极值问题 题型三 力电综合问题 21 真题动向 与电路分析、传感器及现代科学仪器结合 必备知识 知识1 电、磁场中的力电综合问题概述 关键能力 能力1掌握力电平衡问题的分析思路与解析方法 命题预测 考向1 力电综合问题 考向2 临界、极值问题 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，试题以选择题为主，题目难度中等。命题趋势：从单一物体的分析→多物体的静态平衡→与电磁场结合→在真实生产/生活情境中综合分析物体平衡，倾向于物体的受力分析为出发点，以反映生产生活的常见问题为切入点。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 受力分析与静态平衡问题 北京卷T6，3分 动态平衡及临界、极值问题 力电综合问题 2026命题预测 2026年北京高考物理预计将延续近年来从静态识别向动态建模深化的趋势，重点考查学生在真实或科技情境中的运用动态平衡解析法语正交分解法进行科学推理论证的能力。 题型一 受力分析与静态平衡问题 1．（2025北京·T6·3分）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】根据题意，对A受力分析可知，受重力、B的支持力，由于A静止，则A还受B沿斜面向上的静摩擦力，对B受力分析可知，受重力、斜面的支持力、A的压力、拉力、B还受A沿斜面向下的摩擦力，由于B静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B受6个力作用。故选C。 2．（2025陕晋青宁·T4·4分）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】对钢管受力分析，如图所示 若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的摩擦力大小为零。ABC错误，D正确。故选D。 知识1 轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧模型分析比较 轻绳 轻杆 弹性绳 轻弹簧 图示 受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变 受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略 较大，不可忽略 弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以与杆成任意角度 沿着绳，指向绳收缩的方向 沿着弹簧，指向弹簧恢复原长的方向 知识2 活结与死结、动杆与定杆的弹力分析 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “活结”模型 “活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 “晾衣架”中的“活结”问题 1.模型结构示例 2.模型解读 如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。 由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA＝FOB＝F 水平方向：Fsin θ1＝Fsin θ2，结合几何关系知θ1＝θ2＝θ 竖直方向：Fcos θ＋Fcos θ＝mg 故F＝，可知F只与θ有关。 由几何关系：sin θ＝(L为绳的总长)。 可知θ只与两杆之间的水平距离d有关。 3.模型特点：若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变；两杆之间水平距离越远，θ越大，F越大。 知识3 摩檫力相关问题的易错点 1.判断摩擦力有无及方向的三点注意 （1）静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相反，还可能成一定的夹角。 （2）分析摩擦力方向时，要注意静摩擦力方向的“可变性”和滑动摩擦力方向的“相对性”。 （3）受静摩擦力作用的物体不一定是静止的，受滑动摩擦力作用的物体也不一定是运动的。 2.分析计算摩擦力时的三点注意 （1）在确定摩擦力的大小之前，首先分析物体所处的状态，分清其所受的是静摩擦力还是滑动摩擦力。 （2）滑动摩擦力有具体的计算公式，而静摩擦力要借助其他公式判断，如利用平衡条件或牛顿第二定律列方程等。 （3）“Ff=μF压”中F压并不总是等于物体的重力。 知识4 共点力平衡问题的常用推论 1.若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反。 2.若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。 能力1 应用整体法与隔离法的能力 1.整体法与隔离法 整体法 隔离法 研究对象 几个物体组成的一个整体(或系统) 与周围物体分隔开来的物体 选用原则 当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对整体(或系统)的作用时，宜用整体法 在分析整体(或系统)内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法 注意事项 (1)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂的问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法 (2)一般情况下先整体后隔离，即“整体法”优先 (3)在使用隔离法时，优先选择分析受力简单的研究对象 2.应用整体法和隔离法处理平衡问题的基本思路 整体法和隔离法的选择 1.当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。 2.在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。 3.整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。 能力2 选择合适的方法处理平衡问题的能力 1.分析物体静态平衡的三种常用方法 适用条件 注意事项 优点 合成法 物体受三个力作用而平衡 (1)表示三个力大小的线段长度不可随意画 (2)两力的合力与第三个力等大反向 对于物体所受的三个力，有两个力相互垂直或两个力大小相等的平衡问题求解较简单 矢量三 角形法 物体受三个力作用而平衡 把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形 正交分 解法 物体受三个力或三个以上的力作用而平衡 选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的问题求解较方便 2.处理平衡问题的三个技巧 （1）物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。非特殊角时，可考虑用矢量三角形法。 （2）物体受四个或四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。 （3）正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。 考向1 受力分析及常见共点力平衡问题 1．（2025·北京西城·期末）如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。则（　　） A．悬绳对足球的拉力大小为mgcosα B．悬绳对足球的拉力大小为 C．墙壁对足球的支持力大小为mgsinα D．墙壁对足球的支持力大小为mgtanα 【答案】D 【解析】对足球受力分析如图所示 AB．由平衡可知，悬绳对足球的拉力大小为，故AB错误； CD．墙壁对足球的弹力大小为，故C错误，D正确。故选D。 考向2 绳、杆类多物体静态平衡问题 2．（2025·北京东城·期末）如图所示，一根不可伸长的轻绳一端固定在左侧铁架台的点，绳子的另一端固定在右侧铁架台的点，滑轮可以在轻绳上自由滑动，重物通过细线悬挂在滑轮上。静止时，两端的轻绳与水平方向的夹角分别为、，不计一切摩擦。两铁架台保持不动，现保持绳长不变，将绳子的最右端缓慢向上移动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．始终与相等，且保持不变 B．始终与相等，且增大 C．绳两端的拉力始终相等，且都增大 D．始终大于，左端绳上的拉力始终小于右端绳上的拉力 【答案】A 【解析】A B D．因不计滑轮与轻绳间的摩擦，故滑轮两侧轻绳（活结）的张力F始终相等，对滑轮与轻绳接触的结点受三个力平衡，则水平方向有 故 设间绳长为l，两金属杆间距为d，据几何关系有 将绳子的最右端缓慢向上移动到点的过程中，l、d都不变，故始终保持不变，故A正确，BD错误； C．对结点，竖直方向有 始终保持不变，则绳两端的拉力大小始终不变，故C错误。故选A。 考向3 空间类静态平衡问题 3．箩筐挑东西的简化图如图所示，箩筐口是半径为R的圆。箩筐由a、b、c三根长均为2R的绳吊起，且三根绳和箩筐连接点将箩筐口均分为三等份。箩筐及筐中物品的总质量为m，绳的重力不计，若人挑着箩筐静止不动时，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．三根绳对箩筐的作用力为mg，方向竖直向下 B．每条绳的拉力大小为 C．改用更长的三根绳，每条绳上的拉力将不变 D．a、b两绳拉力的合力与c绳的拉力大小相等方向相反 【答案】B 【解析】A．箩筐及筐中物品处于静止状态，根据平衡条件，可知三根绳对箩筐的作用力与重力平衡，大小为，方向竖直向上，故A错误； B．设每根绳与竖直方向的夹角为，根据几何关系可得 解得 对箩筐及筐中物品分析，在竖直方向上根据平衡条件有 解得，故B正确； C．若改用更长的三根绳，即，根据几何关系有 可知减小，故减小，则增大，根据平衡条件有 可得 可知拉力减小，故C错误； D．根据受力分析，可知 a、b两绳的拉力在水平方向的分力的合力与c绳的拉力在水平方向的分力大小相等方向相反，故D错误。故选B。 题型二 动态平衡及临界、极值问题 1．（2025河北·T4·4分）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【解析】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得;故选B。 知识1 动态平衡问题 1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 知识2 平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等 2.临界问题常见的种类: (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷直，拉力F=0。 (3)两个接触的物体分离，弹力FN=0。 3.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 知识3 摩擦力的突变、极值及临界问题 当物体的受力情况发生变化时，摩擦力的大小和方向往往会发生变化，也可能导致静摩擦力和滑动摩擦力之间的相互转化。 1.分析摩擦力突变问题的方法 （1）在涉及摩擦力的情况中，题目中出现“最大”“最小”或“刚好”等关键词时，一般隐藏着摩擦力突变的临界问题。题意中某个物理量在变化过程中发生突变，可能导致摩擦力突变，则该物理量突变时的状态即为临界状态。 （2）存在静摩擦力的情景中，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态。 （3）确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析。 2.常见的摩擦力突变模型： 分类 诠释 “静—静”突变 当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体仍保持静止，而所受静摩擦力发生“突变”，则“突变”点是静摩擦力为零时 “静—动”突变 物体放在粗糙水平面上，作用在物体上的水平力F从零逐渐增大，当物体开始滑动时，物体受水平面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力 “动—静”突变 滑块以v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置时速度减为零而后静止在斜面上，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力 “动—动”突变 某物体相对于另一物体滑动的过程中，若相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变”，“突变”点为两物体相对速度为零时 1.静摩擦力是被动力，其大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩擦力存在最大值。存在静摩擦力的连接系统，相对滑动与相对静止的临界状态是静摩擦力达到最大值。 2.滑动摩擦力的突变问题：滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的正压力均成正比，发生相对运动的物体，如果接触面的动摩擦因数发生变化或接触面受到的正压力发生变化，则滑动摩擦力就会发生变化。 3.研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质发生变化的分界点。 能力1 掌握处理动态平衡问题的基本方法 方法 特点 步骤 解析法 受三个力：一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 受三个力：一个力恒定，一个力方向不变，第三个力大小、方向均变化 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形(三角形)边、角的变化 (2)确定未知量大小、方向的变化 相似三角形法 受三个力:一个力恒定，其他两个力方向均变化，且力构成的矢量三角形与某几何三角形相似 (1)根据已知条件画出某一状态对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式 (2)确定未知量大小的变化情况 辅助圆法 受三个力:一个力大小、方向不变，另两个力方向均改变，但变化的两个力之间的夹角不变 (1)构建力的矢量三角形，以恒定的力为弦作其外接圆 (2)根据两变化力在圆周上移动过程中对应矢量三角形边长长度的变化判断力的大小变化 利用正弦定理法解决动态平衡问题的思路 (1)先受力分析,判断物体受力情况。 (2)作出辅助线构建力的矢量三角形。 (3)分析题目给出的信息,根据正弦定理确定边角关系,再根据角和边的变化情况判断力 的大小变化情况。 能力2 解决不同受力情况下的动态平衡问题 能力3 掌握解决极值问题的基本方法 1.解析法:通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 2.图解法:根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向 一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 能力4 解决动态平衡及极值问题的必备数学知识 1.正弦定理（或拉密定理）在力学中的应用 正弦定理 拉密定理 ===2R （R为△ABC外接圆的半径） 当三个共点力的合力为0时，其中任意一个力与其他两个力的夹角正弦的比值相等，== 其实质为正弦定理的变形 物体受三个共点力平衡，把表示三个力的有向线段作闭合矢量三角形，求某一个力或分析力的变化 直接画出三个合力为0的共点力，应用拉密定理，比正弦定理更加便捷 2.辅助角公式、“摩擦角”法的应用 图示 辅助角公式 “摩擦角”法 物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值 以图甲为例： Fcos θ=μ（mg-Fsin θ） F= cos θ+μsin θ=sin（α+θ） 其中sin α=，cos α= 即tan α=，Fmin= 以图甲为例： 用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，其中FN与Ff的合力方向一定，“摩擦角”φ满足tan φ==μ。 Fmin=mgsin φ，此时拉力F与水平方向夹角θ=φ 考向1 动态平衡问题 1．（2024·北京东城·期末）如图所示，将一个质量为m的钢球放在倾角为的固定斜面上，挡板竖直放置，钢球处于静止状态。现将挡板沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，整个过程中钢球均处于平衡状态。不考虑钢球与斜面、钢球与挡板间的摩擦力。则钢球对挡板的压力大小与对斜面的压力大小的变化情况（　　） A．一直减小，一直增大 B．一直增大，一直减小 C．先减小后增大，一直减小 D．一直减小，先增大后减小 【答案】C 【解析】以球为研究对象，分析受力情况，小球受到重力G、斜面的支持力F2和挡板的支持力F1，由平衡条件得知，F1和F2的合力与G大小相等、方向相反，作出三个位置力的合成图如图所示 根据牛顿第三定律得挡板对钢球的支持力大小等于钢球对挡板的压力大小为，由图看出，F1先减小后增大，F2逐渐减小，当F1和F2垂直时，F1最小。故选C。 考向2 临界、极值问题 2．（2025·北京·期中）如图所示为机械手抓住篮球的照片。为便于研究，将机械手简化为三根“手指”，且不考虑篮球的明显形变。抓取点等距分布在同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为，“手指”与篮球间的动摩擦因数为，篮球的重力大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力一定变大 B．只要“手指”对篮球的压力足够大，不论取何值都能抓住篮球 C．若与的关系满足，则一定能抓住篮球 D．若能缓慢抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值 【答案】D 【解析】A．静止和匀速均为平衡状态，合力为零，所以与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力不变，故A错误； BCD．对篮球受力分析，竖直方向满足 因为静摩擦力 解得 所以想要抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值为 且可得夹角α满足 时，才能将篮球抓起，所以 时，一定不能将篮球抓起，故BC错误，D正确。故选D。 题型三 力电综合问题 1．（2025湖南·T5·4分）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【解析】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力；故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。故选C。 知识1 电、磁场中的力电综合问题概述 其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力解题思路 1.确定研究对象，根据问题选择“整体法”或“隔离法”确定研究对象。 2.受力分析：按照重力、弹力、摩擦力、静电力、安培力……顺序分析力 3.列方程：根据平衡条件（F合=0）列方程。 能力1 掌握力电平衡问题的分析思路与解析方法 1.在库仑力作用下的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下: 2.分析通电导体在磁场中的平衡的思路 (1)选定研究对象，一般为某段导体棒(线框)。 (2)受力分析时，变三维图为二维图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F安⊥B、F安⊥I，如图所示。 (3)列平衡方程进行求解。 3.用“动态圆”思想处理临界、极值问题 （1）“平移圆”模型 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r=，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行或共线 界定方法 将半径r=的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 （2）“旋转圆”模型 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径r=，如图所示 轨迹圆圆 心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径r=的圆上 界定方法 将一半径r=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 （3）“放缩圆”模型 适用 条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 考向1 力电综合问题 1．（2025·北京西城·期中）如图，光滑细杆水平固定放置，带负电的点电荷a固定于杆的上方，两个带正电的小球b，c的质量相等，电荷量均为q，二者均套在杆上保持静止，且不受杆的弹力。若a，b，c两两距离均为L，静电常数为k，重力加速度大小为g，则（　　） A．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 B．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 C．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 D．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 【答案】D 【解析】两个带正电的小球b，c的质量相等，设其质量为，电荷a的电荷量为； 以小球b为研究对象进行受力分析，小球b受到重力mg、c对b的库仑斥力和a对b的库仑引力。根据题意，a、b、c 构成一个边长为L的等边三角形，因此库仑引力与水平方向（即杆的方向）的夹角为 60°。 由于小球静止且不受杆的弹力，所以这三个力的合力为零，由平衡条件有， 解得电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为；故选D。 2．如图所示，质量为m、长为l的直导线用两绝缘细线悬挂于O、，并处于匀强磁场中。当导线中通以沿x轴正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为。则下列说法正确的是（　　） A．磁场可以沿x轴方向 B．若磁场的方向沿y轴的正方向，则 C．若磁场的方向沿z轴的负方向，则 D．改变磁场的方向，保持导线位置不变，则磁感应强度的最小值 【答案】B 【解析】A．若磁感应强度沿x轴方向，则磁场方向与电流平行，导线不受安培力作用，悬线应为竖直方向，故A错误； B．若磁感应强度沿y轴正方向，根据左手定则，导线受到的安培力沿z轴正方向（竖直向上），若重力与安培力平衡，绳子无拉力，可保持静止，此时有 解得，故B正确； C．若磁场的方向沿z轴的负方向，根据左手定则，安培力方向沿y轴的正方向，对导线进行受力分析如图所示 根据平衡条件可得 解得，故C错误； D．改变磁场的方向，保持导线位置不变，作出导线受力动态分析图，如图所示 可知，当安培力最小时，磁感应强度最小，则有 解得磁感应强度的最小值为，故D错误。故选B。 考向2 临界、极值问题 3.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是（ ） A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合 D.电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同 【答案】BC 【解析】由T=，t=T知，电子在磁场中运动时间与轨迹线对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹线长度s=rθ，运动时间越长，θ越大，但半径r=不一定大，s也不一定大，故A错误，B正确。由周期公式T=知，电子做圆周运动的周期与电子的速率无关，所以电子在磁场中的运动周期相同，它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r=可知它们的速率不同，故C正确，D错误。 4.如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP=OS=d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ） A.粒子的速度大小为 B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 【答案】AC 【解析】粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其运动轨迹如图中轨迹1，可知SP为直径，由几何关系得(2R)2=d2+(d)2，得到R=d，由洛伦兹力提供向心力得qvB=，则v=，故A正确;运动周期T=，由几何知识可得，从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t=T=，故B错误;从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x轴相切，粒子的运动轨迹如图中轨迹2，对应的圆心角为270°，得t1=T，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2=T，所以=，故C正确;沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $