精品解析：辽宁省鞍山市第二中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

2026年03月2日九年数学练习题 一、选择题（共10小题30分） 1. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的形式为，，为整数，的值与小数点移动的数位相同，据此即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为； 故选：D 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此即可判断． 【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的除法、同底数幂的乘法等知识．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，主视图是从几何体正面观察到的平面图形，从几何体正面观察到的平面图形共有列小正方形，左侧有块正方形，中间有块正方形，右侧有块正方形． 【详解】解：几何体的主视图如下图所示， 故选：A． 5. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，解分式方程等知识点，根据概率公式正确列出方程是解题的关键． 根据“概率所求情况数与总情况数之比”，列方程求解即可． 【详解】解：设黄球的个数为个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 即：黄球的个数是个， 故选：C． 6. 已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： A． 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，过点B作轴于C，则，进而可得，求出，据此可得答案． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴， 如图所示，过点B作轴于C， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为， 故选：D． 10. 如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，大圆的弦切小圆于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，垂径定理，勾股定理，扇形的面积计算，含直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接、，根据切线的性质得到，由垂径定理可得，根据含直角三角形的性质得到，在中，利用勾股定理计算出，计算出，进而得到，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 大圆的弦切小圆于点， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为： ． 故选：B． 二、填空题（共5小题15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是_________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ∴， 令，即， 解得：， ∵方程有实数根， ∴， 即：， 综上所述：． 故答案为：1． 12. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，三角形内角和定理等知识，由题意得，，从而可得，又是等边三角形，所以，，则有，然后证明，所以，最后由线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图1，在正方形中，动点P以1cm/s的速度自D点出发沿方向运动至A点停止，动点Q以2cm/s的速度自A点出发沿折线运动至C点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记的面积为，且S与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为_____cm2． 【答案】 【解析】 【分析】由图1和图2可知：动点P沿方向运动，动点Q沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点Q运动到点B时，的面积逐渐最大，最大面积是 ，当动点Q沿方向运动，的面积逐渐变小，设正方形的边长为acm，运动了t秒的面积最大，由题意可知：，得，，当时，，点Q在线段上，由三角形面积的求法，即可得答案． 【详解】解：由图1和图2可知：动点P沿方向运动，动点Q沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点Q运动到点B时，的面积逐渐最大，最大面积是，当动点Q沿方向运动，的面积逐渐变小， 设正方形的边长为acm，运动了t秒的面积最大，由题意可知： ， 当，的面积最大， ， ，（舍去），， 当时，， ，可知点Q在线段上， ， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的应用，三角形的面积，解题的关键是求出的面积最大时，，判断点Q在线段上． 14. 如图所示，在中，，，，，则的长度为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 本题可利用平行线分三角形两边成比例的性质，得到对应线段成比例，先求出的长度，再用的长度减去的长度，即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，，点为线段上一点，，连接，将线段所在直线绕点顺时针旋转交延长线于点，所在直线与线段交于点．则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质确定的值，结合三角形内角和定理可得，再根据三角形全等的判定和性质得到，最后构建直角三角形，结合勾股定理计算边长即可． 【详解】解：在平行四边形中，，，，， ， ，即， ， ，， ， ， 又， ， 由旋转可知，，即， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 过作于点M，过作于点N， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ，， 又，， 为中点， ，，， ， ． 三、解答题（共8题） 16. （1）计算：； （2）化简求值：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，负指数幂，零次幂，分式的混合运算，掌握二次根式的化简，分式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，负指数幂，零次幂，再根据加减法即可求解． （2）首先计算括号内的部分，并将除法转化为乘法，然后根据分式乘法运算法则计算求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）将代入得，，计算求解即可； （2）由题意知，点横坐标为，则点横坐标为，当，，可知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，，解得； ∴的值为12； 【小问2详解】 解：由题意知，点横坐标为， ∴点横坐标为， 当，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为9． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于求出坐标． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）7，补全图形见解析 （2）85分 （3）120 【解析】 【分析】本题主要考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出C等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可得出结论． 【小问1详解】 解：（人） C等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个，即84，85， 所以，中位数是（分）； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计成绩为A等级人数为120人． 19. 如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知． （1）如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离； （2）如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用； （1）过点作于，过点作于，证明出四边形是矩形，在中，得出，根据即可求解； （2）作于点，于点，在中，，，算出，证明四边形是矩形，得出，在中求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于，过点作于， 则， 四边形是矩形， ． 在中，，， ， ， 点到底座的距离为． 【小问2详解】 解：如图3，作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵， ， 四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 20. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）该食品的售价为30元/千克 （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； 【小问3详解】 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． （1）若，求的度数． （2）若，求长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【小问1详解】 解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 22. 如图1，在中，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接． （1）探索与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，求的长； （3）如图2，与交于点，若，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理分别求出，再利用角的和差求出即可说明； （2）在上取一点，连接，使得，过点作，垂足为点，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解； （3）将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，设交点为，证明垂直平分，求出，，，证明，得到，证明，推出，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上取一点，连接，使得，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，设交点为， 由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴垂直平分，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，即， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点， ①求线段的长（用含的代数式表示） ②当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；顶点的坐标为 （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、求二次函数的最值、二次函数的图像与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可； （3）①先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可；根据①分点在点的下方和上方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：点，是抛物线上的点， ，解得：， 抛物线的表达式为． ， 抛物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：， 函数的对称轴为直线，开口向下， 当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． 当时，二次函数的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：①设直线的表达式为， 点，， ，解得：， 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时，； 当点在点的上方时，即时，． 综上，线段的长为或． ②当点在点的下方，即时，，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，，，即时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年03月2日九年数学练习题 一、选择题（共10小题30分） 1. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年，我国稀土勘探在四川取得新突破，预期新增稀土资源量吨．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ） A B. C. D. 10. 如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，大圆的弦切小圆于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是_________ 12. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 13. 如图1，在正方形中，动点P以1cm/s的速度自D点出发沿方向运动至A点停止，动点Q以2cm/s的速度自A点出发沿折线运动至C点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记的面积为，且S与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为_____cm2． 14. 如图所示，在中，，，，，则的长度为______ 15. 如图，在平行四边形中，，点为线段上一点，，连接，将线段所在直线绕点顺时针旋转交延长线于点，所在直线与线段交于点．则的长为____________． 三、解答题（共8题） 16. （1）计算：； （2）化简求值：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点． （1）求的值； （2）求的面积． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 19. 如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知． （1）如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离； （2）如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：） 20. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． （1）若，求的度数． （2）若，求长度． 22. 如图1，在中，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接． （1）探索与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，求长； （3）如图2，与交于点，若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点， ①求线段的长（用含的代数式表示） ②当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $