1.2.3 简单复合函数的求导课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的求导 = . = . 3.两函数乘积的求导法则： 1.函数常数倍的求导法则： 2.两函数之和差的求导法则： = . 4.两函数之商的求导法则： = ； = . 对于y=sinx的导数，我们容易求出，那你会求函数y=sin(2x＋1)的导数吗? 问题1：函数y=sinx与 y=sin(2x＋1)结构上有何关联呢？ 先分析这个函数的结构特点． 如果把y与u的关系记作y=f (u)，u和x的关系记作u=g(x)，那么这个"复合"的过程可以表示为y=f (u)=f (g(x))=sin(2x＋1)． 可以发现，若设u=2x＋1，则 y=sinu．函数y=sin(2x＋1)可看作是由y=sinu与u=2x＋1“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数． 一般地，设y=f (u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则y=f (g(x))是关于x的函数，称为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数． 问题2： 例1 求下列函数的导数． 提示：先确定它们是由哪些函数复合形成的，再求导. 例1 求下列函数的导数． 例1 求下列函数的导数． 1.求下列函数的导数． 1.求下列函数的导数． 2.求函数 的导数． 注意∶如果函数表达式中有不止一个字母变量，求导时应注意哪个字母是变量，通常用下标指明是对哪个字母变量求导． 例如， 求复合函数的导数的步骤 注意：①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 知识归纳 13 一般地，设 y=f（u）是关于u的函数，u=g（x）是关于x的函数，则y=f（g（x））是关于x的函数，称为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数. 1.复合函数 2.简单复合函数的求导法则 ，记 () 1. 指出下列复合函数是由哪两个函数复合而成． 1. 指出下列复合函数是由哪两个函数复合而成． (2)函数y＝（8-3x）7可以看成函数y＝u7和函数u＝8-3x的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(u7)′·(8-3x)′＝ . 2.求下列函数的导数． ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1)函数y＝ 可以看成函数y＝ 和函数u＝3x+2的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝( )′·(3x+2)′＝ . ＝ 2.求下列函数的导数． (3) ； (4) 解：(3)函数y＝ 可以看成函数y＝ 和函数u＝2x-3的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′ ＝5(cosu)′·(2x-3)′ 同理，当 时，yx′＝yu′·ux′＝ 综上： ＝ 2.求下列函数的导数． (3) ； (4) ∴yx′＝yu′·ux′＝2(lnu)′·(5x＋6)′＝ 解：(4)函数当 时y＝ 可以 看成函数y＝ 和函数u＝5x+6的复合函数． $