精品解析：广东深圳市宝安中学（集团）初中部2025-2026学年第二学期九年级阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学寒假作业练习 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款80元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，读懂题意是解本题的关键． 正数和负数表示具有相反意义的量，收款记为正，付款记为负，据此求解即可． 【详解】二维码收款100元记作元， 向商家付款应记作负数， 又付款金额为80元， 记作元． 故选：B． 2. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. “如果x、y是实数，那么”是随机事件 B. 为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式 C. 分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件、调查方式、概率和方差的概念，根据知识点逐一判断即可．熟记必然事件与随机事件的区别、调查方式的选择、概率计算及方差的意义是解题的关键． 【详解】解：A、“如果x、y是实数，那么”是必然事件，原说法错误，不符合题意； B、为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽样调查的调查方式，原说法错误，不符合题意； C、分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张的所有可能组合为：，积分别为：，则卡片上的两数之积为正数的概率为，原说法正确，符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知，若，，，则的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例． 由得到，推出，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则及完全平方公式逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 6. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程． 先根据已知条件分别表示出100元费用下电动汽车和燃油车的行驶路程，再结合“电动汽车可行驶总路程是燃油车的9倍”这一核心等量关系列方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， ∴燃油车平均每公里的加油费为元， ∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， ∴可列方程． 故选：D． 8. 如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合菱形的性质，得出，再结合，故，运用勾股定理得，又因为，则是等腰直角三角形，则，结合，证明最后把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， 则， ∴， ∵，的延长线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，30度角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可知判别式大于，据此建立不等式求出的取值范围，进而确定可取的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴可取的值为． 10. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质．根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 11. 已知，则的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 由已知条件得到，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴及函数图象可知，即，于是可得，由图象可知，于是得解． 【详解】解：轴， ， 即：， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，化简绝对值，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 13. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是的中点得到，即可得到，根据点到的距离为1，得到，再证明即可得到答案； 【详解】如图所示，过点O作于H，连接， 为圆直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， 点到的距离为1， ，， ， ， ， 切圆于， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题解题的关键是作出辅助线，算出，，． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算即可． 【详解】解： ． 15. 解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；； 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 16. 为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析；（2）；（3）B讲座的学生有160人，D讲座的学生有208人；补全活动日程表见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图相关联，利用样本估计总体． （1）根据“A”的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数，再求出“D”的人数，补全条形统计图即可； （2）用“E”的人数占比求解即可； （3）用学生总人数分别乘以聆听B，D讲座的学生人数占比即可． 【详解】解：（1）根据主题“A”的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数为：（人）， “D”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）B：（人）， D：（人）， 补全“校园科技节”主题日活动日程表如下： 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 B E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 D 设备检修暂停使用 或“校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 D E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 B 设备检修暂停使用 17. 随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元． （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 （2）“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式． （1）设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值，即可作答． 【小问1详解】 解：设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元， 依题意得： ， 解得： ， 答：“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 【小问2详解】 解：设购进“弗里热”玩偶为m个， 则购进“弗里热”钢笔个，该旗舰店当月销售利润为w元， 依题意得：， 依题意，， 解得：， ∵， ∴当时，w最大，最大值为11600， ∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元． 18. 如图，为的直径，弦于点，连接，过作，交于点，连接，过作交的延长线于点． （1）求证：B是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理、等腰三角形的判定以及含的直角三角形的性质，关键是熟练运用圆的相关定理结合直角三角形的性质进行推理计算． （1）要证明是的切线，需证明，通过证明是直径得到，结合推出，再由即可得，进而证明切线； （2）利用平行线的性质和圆周角定理得到，再通过直径所对的圆周角为直角，从而，最后结合的长度计算． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，D． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 19. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点． （1）直接写出抛物线的表达式_____； （2）若点的坐标为，求抛物线的解析式； （3）记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，最值，对称轴直线的计算是解题的关键． （1）根据“孪生抛物线”的定义求解即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数解析式得到顶点坐标，结合与对称轴直线的位置，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：根据“孪生抛物线”的定义， 可得抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：将点的坐标代入 ， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：抛物线表达式为， 对称轴所在直线为， 当时，， 故顶点坐标为， ∵， ∴，， 当时，即，对、到对称轴的距离进行分类讨论： 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得（舍去），； 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得，（舍去）； 当时，此时、都在对称轴所在直线右边， 当时，取最小值，时，取最大值， 即，， 代入， 化简得， 解得（舍去），（舍去）， 综上，的值为或． 20. 【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形． 【性质初探】 （1）如图1，在对余四边形中，连接，，，，求的度数； 【图形判定】 （2）如图2，在凸四边形中，，，为四边形外一点，且，当时，判断四边形是否为对余四边形？并证明你的结论； 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，，存在点使得四边形为对余四边形，的两邻边长度之比为且两邻边中较长边的长度为，请你求出此时的长． 【答案】（1）；（2）四边形是对余四边形，证明见详解；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据对余四边形得到的大小，证得是等边三角形，再根据等边三角形的性质和三角形内角和定理，即可得到答案； （2）连接、，根据题意先利用“”证得，得到，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到， ，结合和勾股定理逆定理可推出，从而判断四边形是对余四边形； （3）根据的两邻边长度分情况讨论：①当边为较长边时，过点D作交的延长线于点N，连接，先根据对余四边形的定义，易证，进而根据两对应边成比例且夹角相等证得，再由相似三角形对应边成比例和对应角相等，得到，，从而推出和的长度，最后根据勾股定理即可得到的长度；②当边为较长边时，同理可得的长度． 【详解】（1）解：对余四边形中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ； （2）解：四边形是对余四边形，证明如下： 如图2，连接、， ∵， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形，且， ， ， 四边形是对余四边形； （3）解：①如图3所示，当边为较长边时，过点D作交的延长线于点N，连接， 则，， ∵，，四边形为对余四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴； ②如备用图所示，当边为较长边时，过点D作交的延长线于点N，连接， 同①可求得，，， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学寒假作业练习 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款80元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. “如果x、y是实数，那么”是随机事件 B. 为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式 C. 分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定 4. 如图，已知，若，，，则的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 10. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 11. 已知，则的值为______． 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则________． 13. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 16. 为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 17. 随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元． （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 18. 如图，为的直径，弦于点，连接，过作，交于点，连接，过作交的延长线于点． （1）求证：B是的切线； （2）若，，求的长． 19. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点． （1）直接写出抛物线的表达式_____； （2）若点的坐标为，求抛物线的解析式； （3）记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值． 20. 【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形． 【性质初探】 （1）如图1，在对余四边形中，连接，，，，求的度数； 【图形判定】 （2）如图2，在凸四边形中，，，为四边形外一点，且，当时，判断四边形是否为对余四边形？并证明你的结论； 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，，存在点使得四边形为对余四边形，的两邻边长度之比为且两邻边中较长边的长度为，请你求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $