5.2 等差数列（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

选修三 第五章 数列 5.2 等差数列 知识点一 相关概念 1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用表示. 定义表达式为(常数)(，∈N*)或(常数)(∈N*)． 2.等差中项：有三个数，，组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时叫做与的等差中项.可知. 即学即练 1.(25-26高二上·云南玉溪·期末)4与8的等差中项为(   ) A．2 B．6 C．12 D．32 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求等差中项 【分析】由等差中项的性质求4与8的等差中项. 【详解】由等差中项的性质知，4与8的等差中项为. 故选：B 2.(21-22高二·全国·课后作业)设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】利用等差中项求解. 【详解】由等差中项的定义知，，所以，即， 所以，故或. 故选：AB 知识点二 等差数列的基本量公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式：Sn＝na1＋. 即学即练 1.(25-26高二上·广东湛江·期末)在等差数列中，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】方法一，根据等差数列通项公式的基本量的计算，即可求出结果；方法二，利用等差数列通项公式的性质，即可求出结果. 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由，，得， 所以，； 方法二：因为数列是等差数列，所以，即，解得. 故选：B 2.(25-26高二上·广东东莞·期末)记为等差数列的前项和，已知，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和公式列方程计算即可求得结果. 【详解】由题意得,解得， 又，解得, 故选：C 知识点三 等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则(m，n，∈N*)． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则. 4.若项数为偶数，则；；． 若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 5.在等差数列{an}中，若，，则满足的项数使得取得最大值； 若，，，则满足的项数使得取得最小值． 6.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定. 若公差为常数列． 即学即练 1.(2023·四川乐山·一模)设等差数列的前项和，若，，则(    ) A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列，即成等差数列， 即，解得. 故选：C 2.(多选)(25-26高二上·黑龙江大庆·期末)已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有(   ) A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以 ，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 知识点四 等差数列的判断与证明 1.定义法：(，∈N*)(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： (，)是等差数列． 3.通项公式：(，为常数)是等差数列． 4.前项和公式特征：(，为常数)是等差数列． 即学即练 1.(23-24高二下·甘肃庆阳·期中)已知等差数列的前项和为，且，则(    ) A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 2.(23-24高二下·四川绵阳·月考)等差数列的前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前项和分别为， 且， ∴， ∵. 故选：A. 题型01 等差数列的基本量计算 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·天津红桥·月考)记等差数列的前项和为，则(　　) A．130 B．135 C．145 D．150 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得：，再由等差数列的前项和得：， 故选：C. 2.(25-26高二上·山东菏泽·期末)已知为等差数列，，则(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出指定项. 【详解】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B 3.(多选)(2025·重庆·模拟预测)已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 4.(25-26高二上·河北沧州·开学考试)已知数列中，若是等差数列，则___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】已知，则，则，所以； 因为是等差数列，其首项为，公差，可得； 即，由，可得，则. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·广东·期末)已知等差数列中，，则(   ) A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、对数的运算 【分析】根据题意可得，接着计算，再代入即可求解． 【详解】已知等差数列中，， ， ， 则． 故选：D． 2.(25-26高二上·云南昭通·期末)在等差数列中，已知，，若，则(    ) A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可 【详解】由等差数列的性质得，，则， 所以公差，由等差数列的通项公式得，，解得. 故选：C. 3.(25-26高三上·安徽·期末)已知等差数列的前项和为，若，，则(   ) A．3 B．0 C． D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列前项和性质，和等差数列通项公式列出等式求解即可. 【详解】由等差数列性质得：，所以， ，，． 故选：C 4.(25-26高二上·天津·月考)设等差数列的前n项和为，且()，若，则(   ) A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列中的最大(小)项、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 5.(多选)(25-26高二上·河南·月考)已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则当时最小 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解． 【详解】因为，所以，解得，故A错误． 因为，所以 ，所以．故B正确． 因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确． 由等差数列的性质，得是公差为的等差数列， 即是等差数列． 因为，所以成等差数列， 即，解得．故D正确． 故选：BCD． 6.(25-26高三上·上海·月考)在等差数列中，若，，则的值为______. 【答案】28 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 【详解】由题, ，， ,，，，. 故答案为：28 题型02 等差中项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·湖南邵阳·月考)已知，则的等差中项为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求等差中项 【分析】利用等差中项求解. 【详解】，的等差中项为， 故选：B 2.(25-26高三上·广东广州·月考)已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为(   ) A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意得，，则，由基本不等式即可求解． 【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得， 则，当且仅当， 即时等号成立，则的最小值为， 故选：B. 3.(多选)(24-25高二下·全国·课后作业)(多选)下列说法错误的有(    ) A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等差中项的应用 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确. 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义，因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以，因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 4.(25-26高二上·陕西商洛·期末)已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是_____. 【答案】0.7/ 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的简单应用、等差中项的应用 【分析】记构成的等差数列为，进而根据，，结合等差数列性质求解即可. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列(，)， 由题意得，，，，即，. ，，即正中间的一根横梁的长度是. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·湖南岳阳·期末)已知等差数列满足，则等于(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的概念，求出结果即可. 【详解】因为为等差数列，所以，由得，解得. 故选：C. 2.(24-25高二上·全国·课前预习)已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是(    ) A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求等差中项、等差中项的应用 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，，，， 和的等差中项是. 故选：D. 3.(24-25高二上·北京东城·期末)做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求等差中项、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可得，，利用可得结果. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，，，∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是. 故选：B. 4.(20-21高三上·湖南长沙·开学考试)设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果. 【详解】解：由，，成等差数列，可得， 则，，， 可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列. 则，， 则的最大值可能为. 由，，可得. 因为，，，即，所以，则 ，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为. 故选：A. 5.(多选)(2022·江苏南京·模拟预测)已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是(　　) A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列、等差中项的应用 【分析】对于A，利用化简可得答案； 对于B，利用化简可得答案； 对于C，利用化简可得答案；对于D，根据可得答案. 【详解】对于A，因为为等差数列，所以， 即，所以， 化简得，所以，故A正确； 对于B，因为为等差数列，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以， 化简得，所以或，故C不正确； 对于D，因为，且，所以 ， 所以， 所以 ， 所以也为等差数列，且公差为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键. 6.(2025·广西来宾·模拟预测)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以，因此， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为： 题型03 判断或证明等差数列 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二下·辽宁大连·月考)在数列中，，，则数列是(    ) A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【详解】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 2.(23-24高三上·浙江湖州·期末)记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、充要条件的证明 【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】若为等差数列，则数列的前项和为， 若数列的前项和为， 则时，， 所以，， 两式相减得，，所以为等差数列； 综上所述，甲是乙的充要条件. 故选：C. 3.(多选)(2023·重庆·三模)对于数列，若，，则下列说法正确的是(    ) A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断. 【详解】由，， 得，，，所以A选项正确； 又，，两式相减得， 令，可得， 所以不是等差数列，是等差数列，故B选项错误，C正确； 同理，令，则，所以是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，故D正确. 故选：ACD 4.(22-23高二下·上海宝山·开学考试)已知数列的前项和为为数列的前项积，满足(为正整数)，其中，给出下列四个结论：①；②；③为等差数列；④.其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，两式相除整理可证明为等差数列，即可求得，从而可求得，由此得以判断各结论. 【详解】因为 ， 所以当时，，解得或， 又，所以，故，故①正确； 因为，易得，所以， 当时，，所以，则， 所以，则， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 经检验，满足上式，所以，故④正确； 所以，则，所以为等差数列，故③正确； 当时，， 又不符合上式，所以，故②错误. 故答案为：①③④. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·湖南·月考)已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 2.(22-23高三·全国·课后作业)已知数列满足，那么(    )是等差数列 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案. 【详解】由得， ∴，， 故，即有， 故数列是等差数列. 故选：D 3.(25-26高二上·江苏连云港·月考)在数列中，“为等差数列”是“”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的概念以及等差数列的性质即可判断. 【详解】若为等差数列，则由可得，故充分性成立； 若，则的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 不能说明是等差数列， 例如数列为， 故必要性不成立， 所以“为等差数列”是“”的充分条件. 故选：A 4.(24-25高二下·广东茂名·月考)已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于， 所以，所以是等差数列，故D正确，C错误； 若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误； 因为，故A错误． 故选：D． 5.(多选)(21-22高三下·湖北·开学考试)已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是(    ) A．是等差数列 B．是等差数列 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由题可得，进而可得的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，可判断AB，然后通过求和公式计算可判断CD. 【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，① ，② ①+②得：，即， 所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列， 同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，故A，B正确； 所以 ，故C错误； 又，∴，故D正确. 故选：ABD. 6.(25-26高二下·全国·课堂例题)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列；(2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析；(2)【难度】0.94 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】(1)将两边取倒数，即可得到，从而得证； (2)根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【详解】(1)因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； (2)由(1)知， 又，所以，即数列的通项公式为. 题型04 等差数列的片段和性质 典｜例｜精｜析 1.(2023·广东深圳·二模)设等差数列的前n项和为，若，，则(    ) A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ，，解得． 故选：C. 2.(23-24高二下·吉林·开学考试)等差数列的前项和为.若，则(    ) A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以，所以.故B正确. 故选：B. 3.(多选)(23-24高二上·甘肃庆阳·月考)记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则(    ). A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】 ， ， ，，成等差数列，故选项A正确； ， ， ，，， ，即，，成等差数列，故选项B正确； ， 不成立，即选项C错误； ， 成立，即选项D正确； 故选：ABD． 4.(22-23高二上·山东菏泽·期末)张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是_________万步. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列的简单应用 【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前项和公式的性质求解. 【详解】设张大爷在11月的30天的运动步数构成数列，且的前n项和为， 则数列是等差数列，成等差数列， 所以，即， 解得，所以张大爷在11月份的运动步数是万步. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二上·全国·课后作业)已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为(    ) A．130 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列， 即成等差数列，． 故选：C． 2.(25-26高二上·江苏南京·月考)设等差数列的前n项和为，若，，则( ) A． B． C． D．与有关 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算. 【详解】由题可知：成等差数列；所以， 又，所以 故选：C 3.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知等差数列的前项和为，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以，， ，. 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以；所以. 故选：A. 4.(2024高二下·北京·专题练习)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(    )    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列，再根据等差数列及其前n项和的性质进行求解即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设每层有环，则，， 由等差数列的性质可得，，也成等差数列，所以， 所以，所以， 所以中层共有扇面形石板1134块． 故选：B． 5.(多选)(24-25高二下·江西南昌·月考)已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是(   ) A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差 B．若，，则使成立的最大的为4039 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】对A，C，利用等差数列基本量运算求解判断；对B，根据等差数列的单调性结合前项和运算判断；对D，根据成等差数列，计算判断. 【详解】对于A，由，前10项和或前11项和最大，则，所以， ，故A错误； 对于B，由，，则数列单调递减，且， ，所以， ，，则使得成立的最大的为4039，故B正确； 对于C，由，解得，， ，故C正确； 对于D，因为成等差数列，即成等差数列， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 6.(2025高二·全国·专题练习)已知等差数列的前项和为，且，，则______，______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到. 【详解】由于，. 故的公差满足 从而，得，所以，得. 这意味着，所以. 从而，代入得. 故答案为：； 题型05 等差数列的二次函数性质 典｜例｜精｜析 1.(20-21高二上·宁夏石嘴山·月考)已知数列中，前项和，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】对进行配方，结合即可求出的最小值. 【详解】，因为，二次项系数为正数， 所以或时，取最小值为， 故选：C. 2.(24-25高三上·广东东莞·月考)设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为(    ) A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即,所以n的最大值为13， 故选：B 3.(多选)(25-26高二上·浙江舟山·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有(　　) A．若，则数列一定是递增数列 B．若，则 C．一定是关于的二次函数 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求的值，可判断B的真假；根据时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求的值，可判断D的真假. 【详解】对A：根据等差数列的概念，当时，等差数列一定是递增数列，故A正确； 对B：若，则，故B正确； 对C：当时，不是关于的二次函数，故C错误； 对D：当时，，故D正确. 故选：ABD 4.(23-24高二上·江苏南通·期中)设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式______. 【答案】(答案不唯一) 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列前n项和 【分析】由条件得到数列是递增数列；由条件得到为的最小值，因此数列的前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正数.由此我们可以写出满足条件的一个等差数列. 【详解】因为，所以数列是递增数列，又因为，即最小， 只要前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数即可， 所以，满足条件的一个通项公式如、答案不唯一 故答案为：(答案不唯一) 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二上·北京丰台·期末)已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和(    ) A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、判断数列的增减性 【解析】利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值. 【详解】由数列为等差数列，且，得， 故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值， 故选：A. 2.(22-23高二下·河南郑州·月考)已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用下标和性质和前n项和公式可判断的符号，然后可得. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以 又，所以 所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，所以当时，取得最大值. 故选：A 3.(21-22高二下·湖南·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为(    ) A．1010 B．1011 C．1012 D．2021 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列前项和的图象特征，由已知条件先确定抛物线的开口方向和零点范围，根据零点范围确定对称轴范围，进而结合二次函数的单调性和对称性得到答案. 【详解】由于等差数列的前项和的形式， 图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成， 由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间， 因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为, ∴取得最小值时n的值为1011． 故选： 4.(2023·河北·三模)设等差数列的前项和为，若，那么等于(    ) A．10 B．80 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用等差数列前项和的结构特征假设，从而利用题设条件列式求得，进而得解. 【详解】因为等差数列的前项和为，所以设， 则，即， 两式相减，得，所以， 所以. 故选：D. 5.(多选)(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是(    ) A． B． C．当时最小 D．时的最小值为. 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、判断数列的增减性 【分析】由等差数列是递增数列可得公差可对A判断求解；由可求得可对B判断求解；由再结合二次函数性质即可对C求解判断；令即即可对D判断求解． 【详解】A：等差数列是递增数列可得公差，故A正确； B：由，即，解得，故B正确； C：由， 因为所以可得二次函数图象开口向上，对称轴为， 由于为正整数，所以当时，取得最小值，故C正确； D：令，即，即，解得或，故D错误； 故选：ABC. 6.(2023·上海青浦·二模)已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意数列的通项公式为，,满足 ，且对任意的恒成立， 当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得 ，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型06 两个等差数列的通项之比与前项和之比 典｜例｜精｜析 1.(23-24高三上·贵州贵阳·月考)两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 2.(24-25高二下·重庆·月考)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列性质计算、等差数列的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 3.(多选)(22-23高二上·湖南益阳·期末)已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差中项以及等差数列求和公式可得出，即可得出正整数的可能取值. 【详解】由等差中项以及等差数列求和公式可得， 又因为，. 故选：ACD. 4.(24-25高二下·陕西渭南·期末)已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(2022·湖北武汉·三模)设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则(    ) A． B．-1 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列中，，，故， 又，故，则，故. 故选：C. 2.(2025·湖北·模拟预测)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 3.(25-26高二上·江苏南京·期末)等差数列，的前项和分别记为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据下标和性质，结合求和公式求解即可. 【详解】因为，所以；所以. 故选：D 4.(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又 ，所以， 整理得 ，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 5.(多选)(24-25高二上·江苏镇江·月考)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有(    ) A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，，所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以，所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 6.(25-26高二上·河南洛阳·月考)已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为______. 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设，，由通项与前项n和的关系利用相减法可得通项，，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，， 所以可设，， 所以时，， 又满足上式，所以， 时，， 又满足上式，所以，，则， 因为，所以是63的正因数，即，3，7，9，21，63，又， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故答案为：2. 题型07 等差数列的奇偶项的和 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二上·四川雅安·月考)一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是(    ) A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 2.(25-26高二上·天津·月考)等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为(   ) A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且，所以， 又，所以有，解得， 故选：B. 3.(多选)(20-21高二上·湖北·期中)已知数列的前项和满足，下列说法正确的是(    ) A．若首项，则数列的奇数项成等差数列 B．若首项，则数列的偶数项成等差数列 C．若首项，则 D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、判断等差数列、等差数列奇数项或偶数项的和、根据数列的单调性求参数 【解析】根据递推公式，得到，与已知式子作差，得到 ，同样的方法推出，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】由①得②， ①②可得 ③， 所以④， ③④可得， 因此数列从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差； 若，即，则，即，所以； 由得，则； 由得，则； 所以，， 因此数列的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确； 此时 ，即C正确； 因为成公差为的等差数列，也成公差为的等差数列； 为使对任意，恒成立， 只需， 若，由，则；由， 可得；由得 所以，解得，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据已知条件，由，得出，确定数列从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；(求解本题时，要注意的范围). 4.(20-21高三上·广东汕头·月考)已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_______，_______. 【答案】 146 【难度】0.85 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和、利用an与sn关系求通项或项 【解析】根据已知与的关系式，利用求数列的通项公式；由所得通项公式有奇数项通项公式为，求前9项中奇数项的和即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， ∴，∴奇数项通项为，， . 故答案为：；146. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高三上·天津河西·期末)在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于(   ) A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 2.(25-26高二上·江苏苏州·期中)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为(    ) A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为，则， 此数列共有19项. 故选：B 3.(2025高三·全国·专题练习)一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为(   ) A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】由等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 4.(23-24高二上·陕西榆林·月考)已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 5.(多选)(24-25高二上·全国·课后作业)已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为(    ) A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】举反例排除A，利用等差数列的求和公式判断B，利用等差数列奇数项与偶数项和，结合等差数列的性质判断C，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为数列是递减的等差数列，所以， 不妨举例数列为， 则9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数，因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列前10项中，奇数项的和为， 偶数项的和， 所以，设，则，解得， 所以公差，故C正确； 对于D，，则， ，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 6.(25-26高二上·全国·单元测试)已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 【答案】56 【难度】0.65 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得，则． 故答案为：56. 题型08 等差数列的项的绝对值的和 典｜例｜精｜析 1.(2024·内蒙古包头·一模)已知等差数列中，，，设，则(    ) A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 2.(25-26高二上·天津津南·月考)在等差数列中，，，求(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 3.(多选)(20-21高三下·河北·月考)已知数列满足，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值为0 D．当且仅当时，取最大值30 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大(小)项、等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】由递推式可知数列是等差数列，由，，可求得公差，从而可得数列的通项公式，即可判断选项；当时，，当时，，当时，，从而可求得，即可判断选项；当时，取得最小值为0，即可判断选项；由，可知当或时，取最大值30，从而判断选项． 【详解】由，可得， 所以数列是等差数列， 因为，，所以， 所以，故正确； 当时，，所以当时，，当时，， 所以当时，， 当时， ， 所以，故错误； ，当时，取得最小值为0，故正确； 当或时，取最大值30，故错误． 故选：AC 4.(2023·上海长宁·三模)已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】构造函数，则的图像与直线至少有个公共点，确定，，得到，得到答案. 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有个公共点， 横坐标分别为，，，，， 根据绝对值函数的性质知：当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值， 此时最多有个交点，不满足题意， 当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点， 故， 且，故，即， ，故，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，再根据其性质得到是解题的关键. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二·全国·假期作业)已知数列的前项和，(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【解析】根据前项和，得到；根据通项公式去绝对值，利用等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】∵，∴当时，， 当时，， 令，解得， 令 ， 故选：D. 2.(20-21高二上·全国·课后作业)若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，通过计算排除这种情况，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时， ， 解得，不满足题意，舍去； 当时， ， 即，解得或，满足题意，故满足条件的的个数有两个， 故选：C. 3.(19-20高二·全国·课后作业)数列的前项和，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【解析】利用与关系可求得数列的通项公式，进而得到前项各项的正负，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】当时，； 当时，， 经检验，当时，不符合，. 令，又，解得：且. . 故选：C. 4.(25-26高三上·黑龙江·期中)单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 5.(多选)(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A． B．取得最大值时， C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A；根据数列的项的正负情况可以否定B；根据前16项都是非负值可计算判定C；由 可计算后否定D. 【详解】因为数列的前项和， 则， ， 当时也成立，所以，故A正确； 由，得，当时，当时，， 所以取得最大值时，或，故B错误； 因为当时，，当时， 所以，故C正确； 因为 ，故D错误. 故选：AC. 6.(2022高三·上海·专题练习)对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________. 【答案】 或 【难度】0.4 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、数列求和的其他方法 【分析】利用前利用前项和的定义展开，然后每项分一组，最后剩下项，结合周期数列的性质即可求得； 先求出的前项和，然后将问题转化为，通过讨论与两种情况下求得方程的根，即可得到的值. 【详解】(1)因为数列是周期为的周期数列，，则 ， 所以. 故答案为：. (2)因为，所以， 所以当时，的前项和为， 当时，的前项和为； 满足，即，. 而， (1)当时，， 所以，解得或； (2)当时，， 所以，解得不是整数，舍去. 故答案为：或. 【点睛】此题两个小问，第一小问解题的关键是弄清楚数列求和的定义，利用定义将各前项和求出化简即可；第二小问通项公式中含有绝对值符号，所以需要用到分类讨论的思想，分别求出. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修三 第五章 数列 5.2 等差数列 知识点一 相关概念 1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用表示. 定义表达式为(常数)(，∈N*)或(常数)(∈N*)． 2.等差中项：有三个数，，组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时叫做与的等差中项.可知. 即学即练 1.(25-26高二上·云南玉溪·期末)4与8的等差中项为(   ) A．2 B．6 C．12 D．32 2.(21-22高二·全国·课后作业)设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为(    ) A． B． C． D． 知识点二 等差数列的基本量公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式：Sn＝na1＋. 即学即练 1.(25-26高二上·广东湛江·期末)在等差数列中，，，则(   ) A． B． C． D． 2.(25-26高二上·广东东莞·期末)记为等差数列的前项和，已知，，则(    ) A． B． C． D． 知识点三 等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则(m，n，∈N*)． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则. 4.若项数为偶数，则；；． 若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 5.在等差数列{an}中，若，，则满足的项数使得取得最大值； 若，，，则满足的项数使得取得最小值． 6.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定. 若公差为常数列． 即学即练 1.(2023·四川乐山·一模)设等差数列的前项和，若，，则(    ) A．18 B．27 C．45 D．63 2.(多选)(25-26高二上·黑龙江大庆·期末)已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有(   ) A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 知识点四 等差数列的判断与证明 1.定义法：(，∈N*)(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： (，)是等差数列． 3.通项公式：(，为常数)是等差数列． 4.前项和公式特征：(，为常数)是等差数列． 即学即练 1.(23-24高二下·甘肃庆阳·期中)已知等差数列的前项和为，且，则(    ) A．16 B．18 C．24 D．26 2.(23-24高二下·四川绵阳·月考)等差数列的前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 题型01 等差数列的基本量计算 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·天津红桥·月考)记等差数列的前项和为，则(　　) A．130 B．135 C．145 D．150 2.(25-26高二上·山东菏泽·期末)已知为等差数列，，则(    ) A． B． C．1 D．2 3.(多选)(2025·重庆·模拟预测)已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高二上·河北沧州·开学考试)已知数列中，若是等差数列，则___________． 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·广东·期末)已知等差数列中，，则(   ) A．8 B．7 C．6 D．5 2.(25-26高二上·云南昭通·期末)在等差数列中，已知，，若，则(    ) A．48 B．49 C．50 D．51 3.(25-26高三上·安徽·期末)已知等差数列的前项和为，若，，则(   ) A．3 B．0 C． D．6 4.(25-26高二上·天津·月考)设等差数列的前n项和为，且()，若，则(   ) A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 5.(多选)(25-26高二上·河南·月考)已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则当时最小 D．若，则 6.(25-26高三上·上海·月考)在等差数列中，若，，则的值为______. 题型02 等差中项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·湖南邵阳·月考)已知，则的等差中项为( ) A． B． C． D． 2.(25-26高三上·广东广州·月考)已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为(   ) A． B． C． D．2 3.(多选)(24-25高二下·全国·课后作业)(多选)下列说法错误的有(    ) A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 4.(25-26高二上·陕西商洛·期末)已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是_____. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·湖南岳阳·期末)已知等差数列满足，则等于(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 2.(24-25高二上·全国·课前预习)已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是(    ) A．8 B．6 C．4.5 D．3 3.(24-25高二上·北京东城·期末)做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是(   ) A． B． C． D． 4.(20-21高三上·湖南长沙·开学考试)设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(2022·江苏南京·模拟预测)已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是(　　) A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为 6.(2025·广西来宾·模拟预测)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 题型03 判断或证明等差数列 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二下·辽宁大连·月考)在数列中，，，则数列是(    ) A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 2.(23-24高三上·浙江湖州·期末)记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.(多选)(2023·重庆·三模)对于数列，若，，则下列说法正确的是(    ) A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 4.(22-23高二下·上海宝山·开学考试)已知数列的前项和为为数列的前项积，满足(为正整数)，其中，给出下列四个结论：①；②；③为等差数列；④.其中所有正确结论的序号是__________. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·湖南·月考)已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.(22-23高三·全国·课后作业)已知数列满足，那么(    )是等差数列 A． B． C． D． 3.(25-26高二上·江苏连云港·月考)在数列中，“为等差数列”是“”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(24-25高二下·广东茂名·月考)已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(21-22高三下·湖北·开学考试)已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是(    ) A．是等差数列 B．是等差数列 C． D． 6.(25-26高二下·全国·课堂例题)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列；(2)求数列的通项公式 题型04 等差数列的片段和性质 典｜例｜精｜析 1.(2023·广东深圳·二模)设等差数列的前n项和为，若，，则(    ) A．0 B． C． D． 2.(23-24高二下·吉林·开学考试)等差数列的前项和为.若，则(    ) A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 3.(多选)(23-24高二上·甘肃庆阳·月考)记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则(    ). A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 4.(22-23高二上·山东菏泽·期末)张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是_________万步. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二上·全国·课后作业)已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为(    ) A．130 B．150 C．180 D．210 2.(25-26高二上·江苏南京·月考)设等差数列的前n项和为，若，，则( ) A． B． C． D．与有关 3.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知等差数列的前项和为，且，则(   ) A． B． C． D． 4.(2024高二下·北京·专题练习)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(    )    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 5.(多选)(24-25高二下·江西南昌·月考)已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是(   ) A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差 B．若，，则使成立的最大的为4039 C．若，，则 D．若，，则 6.(2025高二·全国·专题练习)已知等差数列的前项和为，且，，则______，______. 题型05 等差数列的二次函数性质 典｜例｜精｜析 1.(20-21高二上·宁夏石嘴山·月考)已知数列中，前项和，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高三上·广东东莞·月考)设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为(    ) A．14 B．13 C．11 D．7 3.(多选)(25-26高二上·浙江舟山·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有(　　) A．若，则数列一定是递增数列 B．若，则 C．一定是关于的二次函数 D．若，则 4.(23-24高二上·江苏南通·期中)设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式______. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二上·北京丰台·期末)已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和(    ) A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 2.(22-23高二下·河南郑州·月考)已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 3.(21-22高二下·湖南·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为(    ) A．1010 B．1011 C．1012 D．2021 4.(2023·河北·三模)设等差数列的前项和为，若，那么等于(    ) A．10 B．80 C． D． 5.(多选)(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末)等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是(    ) A． B． C．当时最小 D．时的最小值为. 6.(2023·上海青浦·二模)已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____. 题型06 两个等差数列的通项之比与前项和之比 典｜例｜精｜析 1.(23-24高三上·贵州贵阳·月考)两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·重庆·月考)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 3.(多选)(22-23高二上·湖南益阳·期末)已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·陕西渭南·期末)已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 变｜式｜巩｜固 1.(2022·湖北武汉·三模)设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则(    ) A． B．-1 C．1 D． 2.(2025·湖北·模拟预测)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高二上·江苏南京·期末)等差数列，的前项和分别记为，，若，则(   ) A． B． C． D． 4.(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.(多选)(24-25高二上·江苏镇江·月考)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有(    ) A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 6.(25-26高二上·河南洛阳·月考)已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为______. 题型07 等差数列的奇偶项的和 典｜例｜精｜析 1.(22-23高二上·四川雅安·月考)一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是(    ) A．4 B．8 C．12 D．20 2.(25-26高二上·天津·月考)等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为(   ) A．3 B． C． D． 3.(多选)(20-21高二上·湖北·期中)已知数列的前项和满足，下列说法正确的是(    ) A．若首项，则数列的奇数项成等差数列 B．若首项，则数列的偶数项成等差数列 C．若首项，则 D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是 4.(20-21高三上·广东汕头·月考)已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_______，_______. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高三上·天津河西·期末)在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于(   ) A．51 B．100 C．150 D．200 2.(25-26高二上·江苏苏州·期中)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为(    ) A．10 B．19 C．21 D．29 3.(2025高三·全国·专题练习)一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为(   ) A．31 B．30 C．29 D．28 4.(23-24高二上·陕西榆林·月考)已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二上·全国·课后作业)已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为(    ) A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 6.(25-26高二上·全国·单元测试)已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 题型08 等差数列的项的绝对值的和 典｜例｜精｜析 1.(2024·内蒙古包头·一模)已知等差数列中，，，设，则(    ) A．245 B．263 C．281 D．290 2.(25-26高二上·天津津南·月考)在等差数列中，，，求(   ) A． B． C． D． 3.(多选)(20-21高三下·河北·月考)已知数列满足，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值为0 D．当且仅当时，取最大值30 4.(2023·上海长宁·三模)已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是__________. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二·全国·假期作业)已知数列的前项和，(    ) A． B． C． D． 2.(20-21高二上·全国·课后作业)若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为(    )． A． B． C． D． 3.(19-20高二·全国·课后作业)数列的前项和，则等于(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高三上·黑龙江·期中)单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二上·陕西榆林·期末)已知数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A． B．取得最大值时， C． D． 6.(2022高三·上海·专题练习)对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $